Fysik HT2013 JI/Arlandagymnasiet MATEMATISKA RÖRELSEBESKRIVNING Då ett föremål rör sig är dess läge s alltid en funktion av tiden t: π = π (π‘) Den matematiska innebörden av momentanhastigheten är gränsvärdet för kvoten βπ ⁄βπ‘, när βπ‘ går mot noll: βπ βπ‘→0 βπ‘ π£ = lim Men detta känner vi igen som definition på en derivata. Momentanhastigheten är tidsderivatan av förflyttningen: π£ = π ´(π‘) Den matematiska definitionen på begreppet momentanacceleration är också ett gränsvärde: βπ£ βπ‘→0 βπ‘ π = lim Momentanaccelerationen är alltså derivatan av den funktion som beskriver hastigheten vid olika tidpunkter: π = π£´(π‘) Eftersom hastigheten i sin tur är derivatan av förflyttningen, kan accelerationen skrivas: π = π ´´(π‘) Momentanaccelerationen är andraderivatan av förflyttningen. Så snart man känner ett föremåls läge som funktion av tiden, kan man alltså genom att derivera denna funktion bestämma både hastigheten och accelerationen vid godtyckliga tidpunkter. Vi ska tillämpa den matematiska modellen på några enkla exempel. 1 Fysik HT2013 JI/Arlandagymnasiet 1. Vid en viss rätlinjig rörelse är läget proportionellt mot tiden: π = ππ‘ Hur stor är hastigheten och accelerationen? π£ = π ´(π‘) = π π = π£´(π‘) = 0 Hastigheten är alltså konstant och lika med proportionalitetskonstanten k. Accelerationen är noll. Rörelsen är likformig. 2. Vid en annan rätlinjig rörelse är läget s en andragradsfunktion av tiden: π = π΄π‘ + π΅π‘ 2 där A och B är konstanter med kända värden. Vilken är hastigheten och accelerationen? Hastigheten är: π£ = π ´(π‘) = π΄ + 2π΅π‘ Genom att i detta uttryck sätta π‘ = 0 får vi värdet på utgångshastigheten π£0 : Vidare får vi accelerationen: π£0 = π΄ π = π£´(π‘) = 2π΅ Accelerationen är alltså konstant. Rörelsen är likformig accelererad. Sätter vi in ingångshastigheten π£0 = π΄ och accelerationen π = 2π΅ i uttrycket för π£ och π får vi de välkända formlerna: π£ = π£0 + ππ‘ π = π£0 π‘ + ππ‘ 2 2 3. Vi förutsätter en rörelse med konstant acceleration och härleder de uttryck som då gäller för π£ och π . 2 Fysik HT2013 JI/Arlandagymnasiet π = ππππ π‘πππ‘ = π Vi vet att π£´(π‘) = π. Vilken hastighetsfunktion π£(π‘) skall man derivera för att få konstanten π? Denna hastighetsfunktion π£(π‘) vars derivata är den konstanta accelerationen är den primitiva funktionen till accelerationsfunktionen π = π, dvs.: π£(π‘) = ππ‘ + π Vilken innebörd har konstanten π? Vi sätter π‘ = 0 och får: π£0 = π Konstanten b är alltså lika med utgångshastigheten π£0 , och vi kan skriva: π£ = π£0 + ππ‘ Funktionen π£ är i sin tur derivatan av en lägesfunktion π (π‘), som är en primitivfunktion till hastighetsfunktionen och måste ha följande utseende: π (π‘) = π£0 π‘ + ππ‘ 2 +π 2 där π är en konstant. Om vi förutsätter att läget π är noll vid tiden π‘ = 0, får vi: Lägesfunktionen är således: π (0) = π = 0 ππ‘ 2 π = π£0 π‘ + 2 Vi har utfört en matematisk härledning av formlerna vid likformig accelererad rörelse. 3