1
KOMIHÅG 8:
--------------------------------• Rörelsemängd: p = mv ,
• Kinematiska storheter: r ( t ) , v( t ) , a ( t )
• Kinematiska samband med begynnelsevillkor.
!
Föreläsning 9:
!
!
!
• ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM
-Cylindriska koordinatsystem.
!
!
!
!
!
De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan, och z beskriver rörelsen i normalriktningen till planet.
– radiell riktning ut från en z -axel till planet representeras av
enhetsvektorn er :
e = (cos",sin",0)
!
! r
– transversell riktning är den riktning partikeln rör sig om bara
!
dess vinkelkoordinat
! " i planet ändras. Lämplig enhetsvektor
fås genom att studera förändringsvektorn der / d" .
!
der!
e" =
= (#sin",cos",0)
d!"
som är en enhetsvektor.
!
Kinematiken i ett fullständigt cylindriskt
system:
-Läget:
r = rer + zez .
-Hastighet:
v = r˙ = r˙ er + r e˙ r + z˙ ez = r˙ er + r"˙ der + z˙ ez
d"
˙
v = r˙ er + r" e" + z˙ ez .
-Acceleration:
˙"˙e" + r˙"˙e" + r"˙˙e" + r"˙e˙" + ˙z˙ez .
a = v˙ = ˙r˙er + r!
Men den näst sista termen kan inte stå som den är. Varför? En
de
extra räkning ger:
e˙" = "˙ " = #"˙er ,
d"
så att slutligen: a = ˙r˙ " r#˙ 2 er + r#˙˙ + 2 r˙#˙ e# + ˙z˙ez .
(
!
!
) (
)
2
Problem: Beskriv hastighet, fart och acceleration i en
likformig cirkelrörelse med radie R.
Lösning: Cirkelbanan ligger i ett plan z = 0 . Avståndet till
centrum och farten är konstanta, dvs
v = r˙ er + r"˙e" = R"˙e" .
˙
Farten kan beskrivas med v =!R" . Enhetsvektorn e" pekar i
tangentens riktning.
! Accelerationen för all plan rörelse kan också skrivas med z = 0 :
a = ˙r˙ " r#˙ 2 er + r#˙˙ + 2 r˙#˙ e#
!
!
Eftersom banan är cirkulär med en konstant fart försvinner en
del termer. Alltså
!
v2
˙
a = " er , där v = R" .
!
R
Accelerationen är riktad in mot banans centrum. Vi beräknar
storleken av accelerationen:
v 2!
a= .
!
R
(
!
) (
)
3
-Naturligt koordinatsystem –
tangent- och normalriktning
Betrakta rörelse längs ett givet spår, typ järnväg.
•En koordinat (sträckan s)
• Två naturliga riktningar i planet:
tangentriktning och normalriktning.
- Hastigheten v är intimt förknippad med den momentana
tangentriktningen och sträckan längs spåret.
Hastighetens riktningsvektor:
!
v
et = , där v = v = s˙ .
v
!
Streckan längs spåret kan definieras ur fartens tidsberoende:
!
4
Som en följd av dessa två saker kan hastigheten beskrivas
fullständigt i det naturliga systemet:
v = s˙ et = vet
Under ett kort tidsintervall kan vi betrakta rörelsen från centrum
av en tangerande cirkel till banan. Inför en tangerande cirkel
! med radie " , så att z = 0 definierar cirkelns plan. Hastigheten är
då tangent till cirkelbågen.
˙e , så att v = "#˙ .
Vi har i detta
system
v
=
"
#
#
!
!
I samma system beskrivs accelerationen som
˙˙ # "$˙ 2 er + "$˙˙ + 2 "˙ $˙ e$ , med "˙ = "
˙˙ = 0 , dvs
a= "
!
!
a = "#$˙ 2 e + #$˙˙e .
(
) (
r
!
)
$
Byter vi ut cylinderriktningarna
med de naturliga riktningarna
!
dvs e" = et och er = "en , samt använder v = "#˙ , och v˙ = "#˙˙, får
!
vi
!
– Accelerationen i det naturliga systemet:
!
!
!
2
v
a = v˙ et + en .
"
!
5
KOMIHÅG 9:
--------------------------------Hastighet och acceleration kan beskrivas i olika
koordinatsystem:
• Hastighet:
Cylinderkomponenter
v = r˙ er + r"˙e" + z˙ ez
Naturliga komponenter
v = vet
• Acceleration:
! Cylinderkomponenter
a = ˙r˙ " r#˙ 2 er + r#˙˙ + 2 r˙#˙ e# + ˙z˙ez
!
Naturligt komponenter
2
v
a = v˙ et + en
"
!
---------------------------------Föreläsning 10:
(
!
) (
)
Typiska partikelrörelser och
accelerationsriktningar
Rak, uppbromsande rörelse:
Svängningsrörelse:
6
Likformig cirkelrörelse:
Pendelrörelse:
!
För att förstå accelerationen vid likformig cirkelrörelse och vid
pendelrörelse har man hjälp av den naturliga uppdelningen
2
v
a = v˙ et + en .
"
-När farten ( v ) är konstant eller maximal (alternativt minimal)
försvinner tangentkomponenten, ty då är derivatan v˙ = 0 .
-När farten är noll försvinner normalkomponenten.
!
!
7
Problemlösning:
Problem 1.
För höghastighetståget måste backens krökningsradie " vara
tillräckligt stor. Bestäm den undre gränsen för krökningsradien
om tåget skall kunna ha farten v =360 km/h utan att
accelerationen överskrider värdet g (tyngdaccelerationen).
!
Lösning:
Kinematik: Naturlig uppdelning
av accelerationen ger
!2
2
a = v˙et + v en = v !en .
"
"
Villkor (riktningen av acc är inte viktig, bara storleken):
v2
# g,
"
!
!
v2
" # =1 km.
dvs, SVAR:
g
!
!
8
Problem 2. Satelliten har konstant vinkelhastighet " .
Teleskoparmarna rör sig så att sonderna P rör sig med konstant
radiell hastighetskomponent r˙ =V. Bestäm storleken på
sondernas acceleration när sonderna befinner sig på avståndet r
!
från rotationsaxeln.
Lösning:
!
Kinematik ( z = 0 ):
!
v = r˙ er + r"˙e" = Ver + r"e# .
a = ˙r˙ " r#˙ 2 er + r#˙˙ + 2 r˙#˙ e# = "r# 2 er + 2V# e$
!
Storleken
(beloppet) av accelerationen:
(
!
!
!
) (
a= !
r 2" 4 + 4V 2" 2 .
!
)
9
Problem3: En partikels hastighet längs en s-axel ges av
uttrycket
v = cs 3/ 2 , c = 5 mm -1/ 2 s !1
Bestäm accelerationen i läget s=2 mm.
Lösning: Ur definitionen
dv dv ds
(a = ) =
dt ds dt
Skrivet på detta sätt kan vi sätta in:
dv 3 1/ 2
= cs
ds 2
samt det givnas hastighetsuttrycket. Vi får
accelerationsuttrycket:
3
3
a = cs1/ 2 !cs 3/ 2 = c 2s 2
2
2
Numeriskt:
a = 1.5! 52 ! 22 mm / s2 = 150 mm / s2
y
x
r
P
y
!
O
x
Problem 4: En punkt P är bestämd av lägevektorn
r = b 1 cos ! i + b 2 sin ! j , där b 1 och b 2 är konstanter och ! är
vinkeln mellan lägevektorn och x-axeln. Om vinkeln ! ökar i
10
konstant takt d ! /dt= ! , visa att P rör sig som på en elliptisk
bana med en acceleration som är proportionell mot avtåndet r
och är riktad längs ortsvektorn r mot origo.
Lösning: Det enda tidsberoendet i lägevektorn finns i vinkeln.
Eftersom vinkelhastigheten är konstant kan vi direkt ersätta
vinkeln med tidsfunktionen
! = "t
dvs
r = ( b 1 cos ! t, b 2 sin ! t)
Vi ser att ortsvektorn pekar på en ellips eftersom ekvationen
! x $ 2 ! y $2
# & +# & =1
" b 1%
" b2 %
för en ellips kan satisfieras. Observera att vinkelns tidsberoende
inte spelar någon roll för banans form.
Kinematiken kan analyseras med hjälp av definitionerna för
hastighet och acceleration.
hastigheten:
v = ˙r = ! ( "b 1 sin !t, b 2 cos !t )
accelerationen:
a = ˙v = !" 2 (b 1 cos "t, b 2 sin "t ) = !" 2 r
Vi ser just att accelerationens riktning är mot origo hela tiden,
samt att storleken är proportionell mot avståndet till origo.
