Partikel i cirkulär rörelse – Rörelse i cirkelbana – Rörelse på konstant radie kring ett centrum
Vinkelhastighet
dθ
= θ& = ω
dt
r
θ
Rörelsen beskrivs lämpligen med hjälp av ett koordinatsystem n,t
med origo i partikeln.
t
n
1
I koordinatsystemet n,t inför vi de två basvektorerna
e~t
och
e~n .
En basvektor har beloppet 1 och i vårt rätvinkliga koordinatsystem är då de båda basvektorerna
vinkelräta mot varandra.
e~t
t
1
~
en
n
v~ = v ⋅ ~
et
1
(periferihastighet)
2
ds
vt
Sträcka längs bågen
ds = r ⋅ dθ
Periferihastighet (hastighet längs bågen)
r
vt =
dθ
ds r ⋅ dθ
dθ
=
=r⋅
dt
dt
dt
Vilket också kan skrivas
vt = r ⋅ θ&
Eller också vanligt som
vt = r ⋅ ω
Hastighet och acceleration
v~ = v ⋅ e~t
(periferihastighet)
Acceleration är hastighet deriverad med avseende på tiden
d (v ⋅ ~
et ) dv ~
de~
a~ =
=
⋅ et + v ⋅ t
dt
dt
dt
För att klara denna derivering måste vi utreda vad
tidsderivatan av basvektorn blir
de~t
=?
dt
3
Δθ
e~t 2
e~t 1
Δθ
Basvektorer i tangentiell riktning vid två olika lägen med vinkelskillnad Δθ
Δ~
e
γ
~
et 2 = e~t1 + Δe~t
e~t 1
Δθ
Samband mellan basvektorerna i två olika punkter på cirkelbanan
När vinkeln Δθ går mot noll blir vinkeln γ rät.
4
de~t = det ⋅ e~n
~
et
dθ
d e~ t
består av en skalär del och en basvektor
Betrakta geometrin ovan. Vi ser då också att den skalära delen
d~
et = dθ ⋅ e~n
Vi kan då skriva
Derivatan av detta med avseende på tiden blir då
d~
et = det ⋅ e~n
det = e~t ⋅ dθ = dθ
de~t dθ ~
=
⋅ en
dt
dt
Vi återvänder nu till uttrycket för acceleration vid cirkulär rörelse
de~
dv~ d (v ⋅ e~t ) dv ~
a~ =
=
=
⋅ et + v ⋅ t
dt
dt
dt
dt
Då vi nu vet att v = r ⋅
de~t dθ ~
dθ
och att
=
⋅ en kan accelerationen skrivas
dt
dt
dt
2
dv ~
⎛ dθ ⎞ ~
a~ =
⋅ et + r ⋅ ⎜
⎟ ⋅ en
dt
⎝ dt ⎠
5
2
dv ~
⎛ dθ ⎞ ~
a~ =
⋅ et + r ⋅ ⎜
⎟ ⋅ en
dt
⎝ dt ⎠
at
Accelerationen består alltså av två delar
Tangentialacceleration
at =
dv
dt
v
ω
r
Normalacceleration
an = r ⋅ ω
an
2
Normalacceleration kallas också Centripetalacceleration
Cirkulär rörelse – Total acceleration
at
2
aTOT = at + a n
aTOT
r
2
an
6
