Plan rörelse – Cartesiskt koordinatsystem

Plan rörelse – Cartesiskt koordinatsystem
Läge:
𝑟̅ = 𝑥𝑒̂𝑥 + 𝑦𝑒̂𝑦 eller 𝑟̅ = 𝑥, 𝑦, 0
Hastighet:
𝑣̅ = 𝑟̅̇ =
𝑣𝑥 =
𝑣𝑦 =
𝑑𝑑 𝑑𝑑
, ,0
𝑑𝑑 𝑑𝑑
𝑑𝑑
är hastighetens 𝑥-komposant
𝑑𝑑
𝑑𝑑
är hastighetens 𝑦-komposant
𝑑𝑑
𝑣 = 𝑣̅ =
𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2
Acceleration:
𝑑2 𝑥 𝑑2 𝑦
,
,0
𝑎� = 𝑣̅̇ =
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2
𝑎𝑥 =
𝑎𝑦 =
𝑑2 𝑥
är accelerationens 𝑥-komposant
𝑑𝑡 2
𝑑2 𝑦
är accelerationens 𝑦-komposant
𝑑𝑡 2
𝑎 = 𝑎� =
𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2
FHL055 HT 2012 – F12
Plan rörelse – Normal-/tangentkoordinatsystem
Läge:
Saknas!
Hastighet:
𝑣̅ = 𝑣𝑒̂𝑡
𝑒̂𝑛
Acceleration:
𝑣2
𝑎� = 𝑣̇ 𝑒̂𝑡 + 𝑒̂𝑛 = 𝑎𝑡 𝑒̂𝑡 + 𝑎𝑛 𝑒̂𝑛
𝜌
𝑎𝑡 = 𝑣̇ ändrar kroppens hastighet
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝜌
ändrar hastighetsvektorns riktning
𝜌 är rörelsebanans krökningsradie
FHL055 HT 2012 – F12
𝑎�
𝑒̂𝑡
𝑣̅
Plan rörelse – Polärt koordinatsystem
Läge:
𝑟̅ = 𝑟, 𝜃
𝑎�
Hastighet:
𝑣̅ = 𝑟̇ 𝑒̂𝑡 + 𝑟𝜃̇𝑒̂𝜃
Acceleration:
𝑎� = 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 𝑒̂𝑟 + 2𝑟̇ 𝜃̇ + 𝑟𝜃̈ 𝑒̂𝜃 = 𝑎𝑟 𝑒̂𝑟 + 𝑎𝜃 𝑒̂𝜃
FHL055 HT 2012 – F12
origo
𝑒̂𝜃
𝑟
𝜃
𝑣̅
𝑒̂𝑟