Stegproblemet Katedralskolans Matematiktävling Januari 2017

advertisement
Stegproblemet Katedralskolans Matematiktävling Januari 2017
Hugo Granström N15D Katedralskolan Uppsala
Jag kommer anta att alla sträckor är större än 0 eftersom att ingen av sträckorna kan vara
noll för att den här konstruktionen ska finnas i verkligheten. Därmed kan jag också dividera
med alla sträckor utan att stöta på problem med division med noll.
Triangeln adh är topptriangel till triangeln (a+b)dy och de har två gemensamma vinklar, en
rät vinkel var och vinkel mellan d och a. Trianglarna är därmed likformiga och av det följer
att:
ℎ
𝑦
=
𝑒𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛(1)
𝑎 𝑎+𝑏
Triangeln bch är topptriangel till triangeln (a+b)cx då de har två gemensamma vinklar, en rät
vinkel var och vinkeln mellan sidorna b och c. De är likformiga och därför:
ℎ
𝑥
=
𝑒𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛(2)
𝑏 𝑎+𝑏
För att kombinera ekvationerna behövs en gemensam faktor brytas ut och jag väljer att
bryta ut b i ekvation(1):
ℎ
𝑦
=
(𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑑 (𝑎 + 𝑏))
𝑎
𝑎+𝑏
ℎ(𝑎 + 𝑏)
= 𝑦 (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑑 𝑎 𝑜𝑐ℎ 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑑 ℎ)
𝑎
𝑎+𝑏 =
𝑏=
𝑦𝑎
(𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎ℎ𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑑 𝑎)
ℎ
𝑦𝑎
− 𝑎 (𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑏 𝑖 𝑒𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛(2)
ℎ
ℎ
𝑥
=
𝑏 𝑎+𝑏
ℎ
𝑥
𝑥
𝑥ℎ
=
= 𝑦𝑎 =
(𝑉𝐿: 𝑓ö𝑟𝑙ä𝑛𝑔 𝑎 𝑖 𝑛ä𝑚𝑛𝑎𝑟𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑑 ℎ)
𝑦𝑎
𝑦𝑎
𝑦𝑎
−𝑎 𝑎+
−𝑎
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
𝑦𝑎 𝑎ℎ
−
ℎ
ℎ
=
𝑥ℎ
𝑦𝑎
ℎ
𝑥ℎ
=
(𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑏å𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑑 𝑚𝑒𝑑 ℎ𝑒𝑙𝑎 𝑣ä𝑛𝑠𝑡𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑑𝑠 𝑛ä𝑚𝑛𝑎𝑟𝑒)
𝑦𝑎 − 𝑎ℎ 𝑦𝑎
ℎ
ℎ=
𝑥ℎ 𝑦𝑎 − 𝑎ℎ 𝑥ℎ(𝑦𝑎 − 𝑎ℎ)
×
=
(ℎ 𝑓ö𝑟𝑘𝑜𝑟𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑜𝑟𝑡, 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛 𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠𝑒𝑟)
𝑦𝑎
ℎ
𝑦𝑎ℎ
ℎ=
𝑦𝑎𝑥 − 𝑎ℎ𝑥
𝑦𝑎𝑥 𝑎ℎ𝑥
𝑥ℎ
=
−
= 𝑥−
(𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑑 𝑦)
𝑦𝑎
𝑦𝑎
𝑦𝑎
𝑦
ℎ𝑦 = 𝑥𝑦 − 𝑥ℎ (𝑎𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑑 𝑥ℎ)
ℎ𝑦 + 𝑥ℎ = 𝑥𝑦 (𝑏𝑟𝑦𝑡 𝑖𝑡 ℎ 𝑉𝐿)
ℎ(𝑦 + 𝑥) = 𝑥𝑦 (𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑑 (𝑦 + 𝑥))
ℎ=
𝑥𝑦
𝑥+𝑦
Det uttrycket beskriver hur högt över marken stegarna korsar varandra om den ena stegen
når x l.e. upp på väggen och den andra y l.e. upp på den andra väggen. Avståndet mellan
väggarna spelar ingen roll. Den här formeln ser för övrigt ut som formeln för att räkna ut
ersättningsresistansen i en parallellkoppling med en förgrening (en ledning delar sig i två).
Svaret på frågan blir därmed:
ℎ=
5 × 10
50
10
=
=
≈ 3,3 𝑚
5 + 10
15
3
Svar: Stegarna korsar varandra 3,3 meter (exakt 10/3) över marken om den ena når 10 meter
upp på den motsatta väggen och den andra når 5 meter upp på den motsatta väggen.
Download
Random flashcards
Svenska

105 Cards Anton Piter

organsik kemi

5 Cards oauth2_google_80bad7b3-612c-4f00-b9d5-910c3f3fc9ce

Fysik

46 Cards oauth2_google_97f6fa87-d6cd-4ae9-bcbf-0f9c2bb34c13

Create flashcards