Stegproblemet Katedralskolans Matematiktävling Januari 2017
Hugo Granström N15D Katedralskolan Uppsala
Jag kommer anta att alla sträckor är större än 0 eftersom att ingen av sträckorna kan vara
noll för att den här konstruktionen ska finnas i verkligheten. Därmed kan jag också dividera
med alla sträckor utan att stöta på problem med division med noll.
Triangeln adh är topptriangel till triangeln (a+b)dy och de har två gemensamma vinklar, en
rät vinkel var och vinkel mellan d och a. Trianglarna är därmed likformiga och av det följer
att:
β
π¦
=
πππ£ππ‘πππ(1)
π π+π
Triangeln bch är topptriangel till triangeln (a+b)cx då de har två gemensamma vinklar, en rät
vinkel var och vinkeln mellan sidorna b och c. De är likformiga och därför:
β
π₯
=
πππ£ππ‘πππ(2)
π π+π
För att kombinera ekvationerna behövs en gemensam faktor brytas ut och jag väljer att
bryta ut b i ekvation(1):
β
π¦
=
(ππ’ππ‘ππππππππ πππ (π + π))
π
π+π
β(π + π)
= π¦ (ππ’ππ‘ππππππππ πππ π ππβ πππ£ππ πππ πππ β)
π
π+π =
π=
π¦π
(π π’ππ‘ππβπππ πππ π)
β
π¦π
− π (π π’ππ π‘ππ‘πππππππ π π πππ£ππ‘πππ(2)
β
β
π₯
=
π π+π
β
π₯
π₯
π₯β
=
= π¦π =
(ππΏ: πöππäππ π π πäππππππ πππ β)
π¦π
π¦π
π¦π
−π π+
−π
β
β
β
β
π¦π πβ
−
β
β
=
π₯β
π¦π
β
π₯β
=
(ππ’ππ‘ππππππππ πåππ πππ πππ βπππ π£äππ π‘ππ ππππ πäπππππ)
π¦π − πβ π¦π
β
β=
π₯β π¦π − πβ π₯β(π¦π − πβ)
×
=
(β πöπππππ‘ππ ππππ‘, ππ’ππ‘ππππππππ ππ π ππππππ‘ππ ππ)
π¦π
β
π¦πβ
β=
π¦ππ₯ − πβπ₯
π¦ππ₯ πβπ₯
π₯β
=
−
= π₯−
(ππ’ππ‘ππππππππ πππ π¦)
π¦π
π¦π
π¦π
π¦
βπ¦ = π₯π¦ − π₯β (πππππ‘πππ πππ π₯β)
βπ¦ + π₯β = π₯π¦ (πππ¦π‘ ππ‘ β ππΏ)
β(π¦ + π₯) = π₯π¦ (πππ£ππ πππ πππ (π¦ + π₯))
β=
π₯π¦
π₯+π¦
Det uttrycket beskriver hur högt över marken stegarna korsar varandra om den ena stegen
når x l.e. upp på väggen och den andra y l.e. upp på den andra väggen. Avståndet mellan
väggarna spelar ingen roll. Den här formeln ser för övrigt ut som formeln för att räkna ut
ersättningsresistansen i en parallellkoppling med en förgrening (en ledning delar sig i två).
Svaret på frågan blir därmed:
β=
5 × 10
50
10
=
=
≈ 3,3 π
5 + 10
15
3
Svar: Stegarna korsar varandra 3,3 meter (exakt 10/3) över marken om den ena når 10 meter
upp på den motsatta väggen och den andra når 5 meter upp på den motsatta väggen.
