XXX Internationella Matematikolympiaden

XXX Internationella Matematikolympiaden
Braunschweig, Västtyskland 1989
Första dagen, 18 juli, 1989
1. Visa att mängden {1, 2, . . . , 1989} kan skrivas som unionen av 117 disjunkta delmängder Ai , i =
1, 2, . . . , 117, sådana att
(i) varje Ai innehåller 17 element;
(ii) summan av elementen i varje Ai är densamma.
2. I en spetsvinklig triangel ABC skär bisektrisen till vinkeln A den kring triangeln ABC omskrivna cirkeln i ytterligare en punkt A1 . Punkterna B1 och C1 definieras på liknande sätt. Låt A0 vara
skärningspunkten mellan linjen AA1 och bisektriserna till yttervinklarna vid B och C. Punkterna B0
och C0 definieras på liknande sätt. Visa att
(i) arean av triangeln A0 B0 C0 är två gånger så stor som arean av sexhörningen AC1 BA1 CB1 ;
(ii) arean av triangeln A0 B0 C0 är minst fyra gånger så stor som arean av triangeln ABC.
3. Låt n och k vara positiva heltal och låt S vara en mängd, med n olika punkter i planet, sådan att
(i) tre punkter i S aldrig ligger i rät linje och
(ii) till varje punkt P i S finns minst k punkter i S med samma avstånd till P .
Visa att
k<
1 √
+ 2n.
2