Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller

Algebra och icke-linjära modeller
manada.se
2
manada.se
𝑥 2 = 25
Ekvation har 2 lösningar
𝑥 = ± 25
𝑥2 = −5
𝑥1 = 5
Kontroll: 52 = 25 respektive (−5)2 = 25
𝑥2 = 3
Ekvation har 2 lösningar
𝑥=± 3
𝑥1 = 3 ≈ 1,73
Exakt svar
𝑥2 = − 3 ≈ − 1,73
Närmevärde
manada.se
Lös andragradsekvationerna:
a) (𝑥 + 24)(𝑥 − 2) = 0
𝑥 + 24 = 0 𝑥 − 2 = 0
𝑥1 = −24 𝑥2 = 2
b) 𝑥 2 + 11𝑥 = 0
𝑥(𝑥 + 11) = 0
𝑥1 = 0 𝑥 + 11 = 0
𝑥2 = −11
Minst en av faktorerna 𝑥 + 24 eller 𝑥 − 2
måste vara 0, för att produkten ska bli 0
Svar: 𝑥1 = −24, 𝑥2 = 2
Skriv VL i faktor form genom att bryta ut x
Minst en av faktorerna i VL måste vara 0, för
att produkten ska bli 0
Svar: 𝑥1 = 0, 𝑥2 = −11
manada.se
Lös andragradsekvation:
c) 9𝑥 2 = −15𝑥
Samla termer i VL
9𝑥 2 + 15𝑥 = 0
Faktorisera VL genom att bryta ut x
𝑥(9𝑥 + 15) = 0
Minst en av faktorerna i VL måste vara
0, för att produkten ska bli 0
𝑥1 = 0
9𝑥 + 15 = 0
9𝑥 = −15
−15 −5
5
5
𝑥2 =
=
=−
Svar:
𝑥
=
0,
𝑥
=
−
1
2
9
3
3
3
Den här metoden kallas Nollproduktmetoden.
manada.se
Ange en andragradsekvation med rötterna 𝒙𝟏 = 𝟓 och 𝒙𝟐 = 𝟐.
Vi skriver vänstra ledet (VL) i faktorform och låter HL=0
Det ena faktorn ska vara 0 när 𝒙 = 5
Det villkoret stämmer för faktorn 𝑥 − 5:
𝑥−5=0↔𝑥 =5
Det andra faktorn ska vara 0 när 𝒙 = 2
Det villkoret stämmer för faktorn 𝑥 − 2:
𝑥−2=0↔𝑥 =2
Vi bildar en produkt av faktorer i vänstra ledet och sätter HL=0
𝑥−5 𝑥−2 =0
Ekvationen uppfyller kraven
Vi kan utveckla vänster led och multiplicera uttryck inom parenteser med varandra
𝑥 2 − 7𝑥 + 10 = 0
Svar: 𝒙 − 𝟓 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 eller 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎
Lekparkens fotbollsplan har en längd som är 6 meter större än bredden.
Planens area är 352 m2 . Vilka mot har fotbollsplanen?
𝒙𝟐
𝟔𝒙
𝒙
6
𝒙
𝒙+6
𝑥 𝑚 – bredden
𝑥 + 6 𝑚 – längden
𝑥 𝑥 + 6 = 352 ⟹ekvation för
fotbollsplans area som kan utvecklas
𝑥 2 + 6𝑥 = 352
Vi skriver om ekvationen så att vänstra ledet blir
ett uttryck i kvadrat.
Vi ska göra en kvadratkomplettering
Uttrycket 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 kan skrivas om till (𝑥 + 3)2 med 1:a kvadreringsregeln.
Därför adderar vi 9 till båda led i ekvationen 𝑥 2 + 6𝑥 = 352 och får ⟹
manada.se
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 352 + 9
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 361
(𝑥 + 3)2 = 361
𝑥 + 3 = ± 361
𝑥 + 3 = ±19
Förenkla HL
Utnyttja att (𝑥 + 3)2 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 9
Vi får två lösningar:
𝑥 = −3 + 19 = 16 och
𝑥 = −3 − 19 = −22
Den negativa lösningen är inte
intressant eftersom en sträcka
alltid är positiv
Bredden är 16 m och längden är 16+6= 22 m.
Svar: Planets mått är 22×16
manada.se
Det här sätt att skriva om vänsterledet till en kvadrat kan vi visa med hjälp av
figurer
𝒙
𝒙
𝟐
𝒙
𝟔𝒙
𝒙
6
𝒙+6
Vi omfördelas figurens yta.
𝒙
𝟐
𝒙
3
3x
32
𝒙
𝒙𝟐
3x
𝒙+3
3x 3x
3 3
𝒙
𝒙+3
3
Om vi lägger till en liten kvadrat
med area 32 = 9 𝑚2
Så bildas en stor kvadrat med
sidan (𝑥 + 3) 𝑚
Namnet kvadratkomplettering kommer av att man kompletterar ekvationens
båda led med en kvadrat
Vi har kompletterat vår figur med en kvadrat med area 32 m2 som motsvarar
additionen med 9 i areaekvation: 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 352 + 9
manada.se
x - 6x + 8  0
2
x  px  q  0
2
Lösningsformeln
2
p
 p
x      q
2
2
𝒙=
Halva koefficienten
för 𝑥 med ombytt
tecken
Kvadraten på halva
koefficienten för 𝑥
Konstanta termen
med ombytt tecken
Skriv detta med egna ord
manada.se
En andragradsekvation av formen
x  px  q  0
2
har lösningar
𝑝
𝒙𝟏 = − +
2
𝑝
2
2
−𝑞
𝑝
och 𝒙𝟐 = − 2 −
𝑝
2
2
−𝑞
manada.se
𝑦 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 8
𝑥 2 − 6𝑥 + 8 = 0
1
Symmetrilinje
6
𝑥=+ ±
2
1
Minimipunkt (3, −1)
𝑦 = 32 − 6 ∙ 3 + 8
𝑦 = 9 − 18 + 8 = −1
6
2
2
−8
𝑥 = 3 ± (3)2 −8
𝑥 =3± 9−8
𝑥 =3± 1
𝑥 =3±1
𝑥1 = 3 + 1 = 4
𝑥2 = 3 − 1 = 2
manada.se
𝑥 2 − 6𝑥 + 11
0
𝑥 2 − 6𝑥 + 9
0
0
Ett nollställe
Inget nollställe
x
𝑥 2 − 6𝑥 + 8
p
 negativ värde
2
x
p
 noll
2
x  px  q  0
2
Två nollställen
x
p
 positivt värde
2
1
0 N 7
Talmängd är avgränsad samling av tal som
beskrivs ofta med hjälp av symbolen {} t.ex.
{ -1, -0.5, 0, 0.3, 2, 27}
-1
π
Z
𝟕
𝟗
N Naturliga tal: de positiva heltalen (0), 1, 2, 3, 4...
Q
-8 - 𝟏
𝟐
𝟑
𝟓
R
Z Hela tal: alla hela tal, positiva som negativa
Q Rationella tal: kan skrivas som en kvot mellan två hela tal (Nämnaren ≠ 0)
Irrationella tal: det irrationella talet 𝝅 t ex har ett exakt värde som inte kan
uttryckas med ett ändligt tal och anges därför vanligen
ungefärligt, approximativt, med 3.14
R Reella tal: de rationella och de irrationella talen tillsammans.
Mot varje punkt på tallinjen svarar ett reellt tal
C Komplexa tal: sammansatt av en reell och en imaginär del. Dessa tal
har kommit till för att vi skall få ett svar på frågan: hur mycket är −1?
√2
x 1  0
2
x  1
x   1
2
Ekvationen saknar reella lösningar
Det finns inte något reellt tal vars
kvadrat är negativ
Vi inför ett nytt tal 𝑖 med egenskaper att 𝑖2 = − 1
Talet 𝑖 kallas imaginärt tal
x i
2
x i
x  i
2
2
Komplext tal
z  a  bi
Realdel
Imaginärdel
• Ett komplext tal 𝒛 kan skrivas som 𝑧 =
𝑎 + 𝑏𝑖 där 𝒂 och 𝒃 är reella tal.
• 𝑖 kallas den imaginärt tal och har
egenskapen 𝑖2= − 1
• Tal består av två delar
I det komplexa talplanet är alla komplexa tal punkter.
𝒙-axeln är reella axeln (Re) med våra reella tal
𝒚-axeln är den imaginära axeln (Im) med de imaginära talen
Im𝒚
𝑧 = 3 + 2𝑖
Real del
xRe
Imaginär del
z  3 2i
z  2i
z  2i
z  2  i
z i
Skriv som ett imaginärt tal
 25
ab  a  b
25  (1)  25  (1)  5  i  5i
 25  5i
Lös ekvationen
3x  45  18 x
2
3x  18 x  45  0
x  3  ( 6   1)
x  6 x  15  0
x  3 ( 6  i )
x  3  9  15
x  3 6 i
x  3 6
x1  3  6  i
2
2
x  3  ( 1)  6
2
x2  3  6  i