Introduktion till matematik - skalan

Innehållsförteckning
Inledning ................................................................................................................. 2
Vad är matematik .................................................................................................. 3
Det matematiska språket ..................................................................................... 4
Några begrepp ur mängdläran ............................................................................ 4
Talmängder .......................................................................................................... 5
Mängdoperationer, den tomma mängden ...................................................... 9
Några begrepp ur logiken .................................................................................. 13
Öppen utsaga ..................................................................................................... 14
Kombination av utsagor ..................................................................................... 14
Negation av utsagor ......................................................................................... 15
Implikationer och ekvivalenser....................................................................... 17
Matematisk sats ................................................................................................. 23
Indirekt bevis .................................................................................................. 25
Exempel och övningar i anslutning till några
geometriska grundbegrepp ............................................................................... 27
Facit ........................................................................................................................ 29
Inledning
I avsnitten ”Vad är matematik” och ”Det matematiska språket” beskrivs
vad matematik är. Beskrivningen är färgad av författarens personliga åsikter. I avsnitten ”Några begrepp ur mängdläran” och ”Några begrepp ur
logiken” introduceras användbara och vanligt förekommande symboler och
beteckningar inom matematiken. Speciellt beaktas de möjligheter som ges
till att underlätta beskrivningen av logiska resonemang.
När man läser matematisk text kan man inte ”busa på”. Det är helt normalt
att det är mycket man inte förstår vid en första genomläsning. Man går då
tillbaka och läser om texten sakta och eftertänksamt. Kanske skriver man på
kladdpapper upp en svårtolkad mening och försöker, genom att formulera
om och exemplifiera, förstå vad som menas! Man får då inte ha ambitionen
att förstå allt in i minsta detalj innan man går vidare. I så fall kommer man
inte många rader framåt. En del klarnar längre fram i texten genom studium av exempel och lösning av övningar. Att somligt är svårförståeligt en
längre tid får man acceptera.
Försök att ha nämnda beskrivning för ögonen när du läser matematisk text.
Du kommer då att märka att sådan läsning blir enklare och enklare. Den
förbättrade förmåga du härigenom får i att läsa komplicerad text har du
glädje av i alla sammanhang.
Det är ingen slump att detta häfte innehåller blanka sidor. Dessa sidor är
avsedda för läsarens egna anteckningar.
Alla synpunkter på innehållet i detta häfte är välkomna och kan lämnas till
Clas Nordin
Mälardalens högskola
Mobil:0706 392652
Box 883, 721 23 Västerås
Mail: [email protected].
2
Vad är matematik
Matematik betyder olika saker för olika människor. Detta är helt naturligt
eftersom matematik är ett mycket brett ämne. Det innehåller allt från räkning med de fyra räknesätten till avancerad matematisk forskning.
Efterhand som specifika delar av matematiken under senare hälften av
1900-talet vuxit sig tillräckligt starka har matematiken gett upphov till nya
”matematikämnen”. Exempel på sådana är matematisk statistik, numerisk
analys och optimeringslära. Dessa ämnen sammanfattas i många sammanhang under benämningen ”tillämpad matematik”. När man talar om matematik som ämne avses oftast både ”matematik av klassiskt snitt” och ”tilllämpad matematik”. Vid Mälardalens högskola är därför den fastställda
ämnesbenämningen matematik/tillämpad matematik.
Eftersom denna ämnesbenämning är lång och krånglig säger och skriver
man när det inte kan missförstås bara matematik i stället för matematik/tillämpad matematik.
Matematik finns på olika svårighets- och abstraktionsnivåer. En uppdelning
i olika typer av matematik är följande:
1 den matematik som inom grundläggande matematisk forskning nyskapas och utvecklas utan direkt sikte på omedelbar praktisk tillämpning
2 den matematik (det matematiska språk) som tekniker, naturvetare och
samhällsvetare använder för att beskriva och förutsäga mer eller mindre
komplicerade förlopp och för att kommunicera inom det egna ämnesområdet
3 den matematik (det matematiska språk) som används i vardagslivet.
Matematik av typ 3 är den som de flesta människor förknippar med ordet
matematik. Är man förtrogen med den så kan man använda de fyra räknesätten i enkla matematiska modeller. Man klarar också procenträkning, förstår enkla statistiska begrepp och kan tolka tabeller och diagram. Denna
nivå motsvarar ungefärligen innehållet i gymnasieskolans kurser Matematik kurs A och Matematik kurs B.
För de allra flesta som studerar matematik på högskole- och universitetsnivå är syftet att bli förtrogen med grundläggande och utvalda delar av
matematiken under punkt 2. Förtrogenheten skall vara av den arten att
man i en framtida yrkesverksamhet på egen hand skall kunna lära sig annan liknande matematik.
I Sverige finns flera hundra matematiker som arbetar med matematik av
typ 1. Det har visat sig att det mesta av denna matematik också, även om
det ibland dröjer ett tag, finner tillämpningar. Ett på senare år omtalat exempel är när man fann kopplingar mellan funna elementarpartiklar och en
speciell matematisk struktur i en viss mängd. Med hjälp härav kunde man
troliggöra existensen av ytterligare elementarpartiklar som fysiker senare
kunde verifiera experimentellt.
3
Ett viktigt moment vid matematikstudier består av den ständigt återkommande träningen i förmågan att utifrån givna förutsättningar dra korrekta
slutsatser. Den förbättring av denna förmåga som matematikstudier ger är
en värdefull bieffekt som man, utan att vara medveten om det, använder i
alla möjliga andra sammanhang.
Det matematiska språket
Den viktigaste delen i det matematiska språket består av ett vanligt språk,
t ex svenska. Med hjälp härav definierar man nya begrepp, symboler m m
och utvecklar matematiken genom att formulera och bevisa satser.
Syftet med en definition är att i ett visst sammanhang införa en bekväm benämning på något som man annars skulle behöva referera till på ett mer
omständligt sätt. Definitionen av ett nytt begrepp kan naturligtvis utgå
ifrån definition(-er) av tidigare begrepp.
Utgångspunkten när man bygger matematisk teori från grunden är ett antal
axiom. Med ett axiom avses här en grundsats som inte själv är föremål för
bevis men som tjänar som utgångspunkt för bevis av andra satser i uppbyggnaden av teorin. Aritmetik, dvs den del av matematiken som behandlar de fyra räknesätten kan konstrueras utifrån Peanos fem axiom. Euklides,
grekisk matematiker verksam i Alexandria 300 f kr, beskriver i sitt verk
Elementa euklidisk geometri med utgångspunkt från ett antal axiom.
Vid bevis av en ny sats, i samband med uppbyggnaden av ny matematisk
teori, får man använda axiom och tidigare bevisade satser. Bevis av den
första satsen måste göras enbart med hjälp av axiom.
Låt oss illustrera några av begreppen genom resonemang i anslutning till
följande sats:
Sats
Vinkelsumman i en triangel är 180 grader
För att denna sats skall ha mening får det inte råda något tvivel om vad
som menas med begreppen vinkelsumma i en triangel respektive 180 grader. Begreppen bygger på gjorda definitioner. Vid definition av vinkelsumma är det naturligt att använda tidigare definierade begrepp som
summa och vinkel. 180 är ett tal och bygger naturligtvis på talbegreppet.
Innebörden av ”frasen” 180 grader måste naturligtvis definieras o s v.
Övning 1
Bevisa satsen under förutsättningen att den som skall läsa och förstå beviset är bekant med alla de axiom, definitioner och tidigare satser som beviset
refererar till.
Några begrepp ur mängdläran
Mängdlära är en avancerad matematisk disciplin, införd av den tyske matematikern Cantor i slutet av 1800-talet. I denna teori används definitioner
4
och beteckningar som är användbara även i mindre avancerade sammanhang. Några av dessa skall beskrivas i detta avsnitt.
I matematiken arbetar man med objekt av olika slag, t ex punkter, tal, räta
linjer och polynom. Man har ofta anledning att intressera sig för en samling
av objekt och betrakta denna samling som en enhet. En sådan samling av
objekt kallas en mängd och objekten som samlingen består av kallas mängdens element.
Om man vill fortsätta ett resonemang kring en viss mängd är det bekvämt
att ge den en beteckning.
Exempel 1
M={efternamn på de personer mantalsskrivna i Västerås 1998-01-01 som
fyller år i januari}
Detta läses ”mängden av efternamn på de personer mantalsskrivna i Västerås 1998-01-01 som fyller år i januari”. Klamrarna { } kallas i detta sammanhang mängdklamrar. Elementen i mängden är efternamn. Nordin är ett
element i mängden eftersom det 1998-01-01 fanns en person mantalsskriven
i Västerås med födelsedag i januari som hette Clas Gustaf Nordin. Förmodligen är Andersson ett element i M.
Övning 2
a) Motivera förmodan att Andersson är ett element i M.
b) Kan du genom att bara utnyttja kunskap om dig själv avgöra om ditt
eget efternamn är ett element i mängden M? Motivera!
c) Ange ett tal, så litet som möjligt, som är sådant att antalet element i M
säkert är mindre än detta tal. Motivera ditt val.
Det finns ett bestämt ändligt antal element i M. Man säger att M är ändlig.
Om en mängd ej är ändlig kallas den oändlig. Lägg märke till hur vi här definierar begreppet ändlig mängd och sedan använder detta begrepp för att
definiera vad som menas med en oändlig mängd.
Övning 3
a) Ge ett exempel på en ändlig mängd.
b) Ge ett exempel på en oändlig mängd.
Talmängder
Nedan visas hur man kan beskriva den oändliga mängden N av naturliga
tal.
N={naturliga tal} ={0, 1, 2, 3, ...}
Denna rad läses ”N är lika med mängden av naturliga tal är lika med
mängden av talen 0,1,2,3 osv.”
5
Elementen i N består av alla naturliga tal 0, 1, 2, 3, ... . Efter trean finns ett
kommatecken följt av fyra prickar. De tre första prickarna efter kommatecknet står för en konvention som innebär att uppräkningen skall fortsätta
på det sätt som den påbörjade uppräkningen antyder. Den sista punkten,
som föregås av ett mellanslag, är den vanliga punkt som man använder då
man avslutar en mening.
En viktig symbol är ”tillhörtecknet”
och ”tillhörintetecknet” . Man
skriver
som läses ”7 tillhör N” med innebörden att 7 är ett element i
N. Enklare säger man förstås att 7 är ett naturligt tal. Det är enkelt att inse
hur man läser
och vad detta innebär.
N är en standardbeteckning i all matematisk litteratur över hela världen på
mängden av naturliga tal, eventuellt med undantag av äldre litteratur där
talet 0 kan vara undantaget från mängden.
Resten av detta avsnitt definierar andra viktiga talmängder och anger deras
standardbeteckningar. Beteckningarna är internationella. Det är en bra idé
att lära sig dem och vad de står för så snart som möjligt.
Z={hela tal} ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...} = {0, ± 1, ± 2, …}
Se ovan hur man läser beteckningen för naturliga tal och fundera ut hur
man kan läsa ovanstående rad.
Q ={rationella tal}={tal som kan skrivas på formen a/b där a∈Z och b∈Z och
där b≠0}
Övning 4
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Visa med hjälp av definitionen att 3,14 är ett rationellt tal.
Visa med hjälp av definitionen att 0 ∈ Q .
Visa med hjälp av definitionen att –10 är ett rationellt tal.
Vilka av de hela talen är rationella?
Ge exempel på ett rationellt tal som inte tillhör talmängden Z.
Ge exempel på ett x som är sådant att x ∈ Z men x ∉ N .
Naturliga tal, möjligtvis med undantag av talet 0, är enkla att koppla till
vardagslivet. De används när man räknar antal. De flesta människor känner inte heller något hinder att använda negativa tal, åtminstone inte i Sverige där temperaturer under noll grader betecknas med hjälp av ett minustecken. Rationella tal är inte heller svåra att koppla till vardagslivet. De
flesta människor är medvetna av innebörden då man säger att någon skall
ärva 2/7, ”två sjundedelar”, av den totala kvarlåtenskapen. Möjligtvis kan
det ålderdomliga ordet kvarlåtenskap ställa till problem!
Observera att man med 12 symboler (10 siffror, minustecken och bråkstreck) på ett lättfattligt sätt kan ange vilket som helst rationellt tal. En fantastisk uppfinning! Eftersom Q omfattar N och N är oändlig så är även Q
oändlig.
6
Att det finns tal som inte är rationella insåg redan den grupp av grekiska
matematiker som förknippas med Pythagoras och verkade i Grekland mellan 585 f kr och 400 f kr. Från denna tid finns ett bevis för att längden av
diagonalen i en kvadrat där sidlängden är 1 enhet inte kan uttryckas på
formen a/b där a och b är heltal och b inte lika med noll. Samma bevis används fortfarande när man bevisar att 2 inte är rationellt.
Tal som inte är rationella kallas irrationella. Ir är en förled som betyder icke.
Mängden av irrationella tal är också oändlig och man kan i en viss, här inte
definierad mening, säga att de irrationella talen är fler än de rationella. Observera att ordet ”fler” här inte kan ha den vanliga innebörden eftersom de
båda talmängderna bägge är oändliga.
För att namnge irrationella tal räcker det inte med de 12 symbolerna ovan.
Irrationella tal som man ofta refererar får egna beteckningar. π och e är två
viktiga exempel på sådana tal.
Den talmängd som består av alla rationella och alla irrationella tal tillsammans kallas mängden av reella tal och betecknas R. Det är denna talmängd
som du är van att illustrera på tallinjen.
Talmängden R kan utvidgas till en ”större” talmängd, C={komplexa tal,
mängden av alla komplexa tal. Att talmängden är större innebär att den
förutom alla reella tal också innehåller andra slags tal. Dessa andra tal kallas icke-reella. Ett av talen i denna talmängd betecknas i och uppfyller
i 2 = −1 . C illustreras i det komplexa talplanet.
Sammanfattning av viktiga talmängder
N = {naturliga tal} = {0, 1, 2, 3, ...}
Z = {hela tal} = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...} = {0, ± 1, ± 2, …}
Q = {rationella tal} =
= {tal som kan skrivas på formen a/b där a∈Z och b∈Z och b≠0}
R = {reella tal}
C ={ komplexa tal}
Övning 5
a) Ange minst tre reella tal som inte är rationella.
b) Ange minst ett rationellt tal som inte är ett heltal.
c) Ange minst ett heltal som inte är ett naturligt tal.
Övning 6
Med ett decimaltal avses reellt tal på formen a1a2 ...an ,b1b2 ...bm (m stycken
decimaler) där alla talen a1 , a2 ,...,an ,b1 ,b2 ,...,bm är naturliga tal och
a1 ≠ 0 och bm ≠ 0 .
a) Visa med hjälp av definitionen att varje decimaltal är ett rationellt tal.
b) Ge exempel på ett rationellt tal som inte är ett decimaltal.
7
Illustration av mängder
När man skall illustrera samband och relationer mellan mängder använder
man ofta plana rundade figurer.
Figuren illustrerar en mängd som betecknats med A. Man tänker sig att
elementen i A ligger innanför den runda kurvan.
Nedanstående figur illustrerar att varje rationellt tal är reellt och att de irrationella talen består av de reella tal som inte är rationella. De irrationella
talen skall tänkas ligga i den del som är innanför den innersta kurvan och
utanför den yttersta kurvan.
Illustration av reella intervall
Nedan finns en vanlig variant av standardbeteckningar för de mängder av
reella tal som kallas intervall. I figurerna bredvid visas en vanlig variant på
hur de illustreras. Eftersom dessa standardbeteckningar kommer att användas flitigt i flera kurser är det bra att lära sig dem utantill så snart som
möjligt.
[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}
[a, b) = {x : a ≤ x < b}
(a, b] = {x : a < x ≤ b}
(a, b) = {x : a < x < b}
[a, ∞) = {x : x ≥ a}
(a, ∞) = {x : x > a}
8
(− ∞, b) = {x : x < b}
(− ∞, b] = {x : x ≤ b}
Anmärkning
I beteckningarna ovan så läser man tecknet : ”sådana att”. En annan vanlig
beteckning för frasen ”sådana att” är (ett lodrät streck). Den första beteckningen kan fullständigt läsas ”mängden av x sådana att a är mindre än
eller lika med x som är mindre än eller lika med b.
Övning 7
Illustrera intervallen
a) (3,4)
b) [-1,0)
c) (0,3]
d) (- ∞ ,-1)
e) [2,5]
Mängdoperationer, den tomma mängden
Unionsmängd
Låt A och B beteckna mängder.
Unionen av A och B eller unionsmängden av A och B betecknad
är
den mängd som består av de element som är antingen i A eller i B eller i
båda om A och B har gemensamma element. Man skriver
Detta läses ”A union B är lika med mängden av alla element x sådana att x
tillhör A eller x tillhör B”. Här är ordet eller ett så kallat logiskt eller. Innebörden är att x är ett element i minst en av mängderna A och B.
I nedanstående två figurer är unionsmängden A ∪ B skuggad för det fall
då A och B saknar gemensamma element respektive det fall då det finns
element som ligger i både A och B.
9
Observera att man i vardagsspråket använder ordet eller med två olika innebörder. Om man säger ”skall vi gå på bio eller teater i kväll” så är för de
flesta människor innebörden att man skall göra antingen det ena eller det
andra. I datalogiska sammanhang så kallas eller med denna innebörd exklusivt eller. Om man däremot säger ”vill du ha grädde eller socker till kaffet” så är det fråga om ett logiskt eller eftersom man inte behöver välja mellan socker och grädde utan gärna får ta bara socker eller bara grädde eller
både socker och grädde om man så vill.
När man använder eller i matematisk text så är det om inget annat sägs
fråga om ett logiskt eller.
Övning 8
Definiera intervallen A, B och C genom A = [-2,4], B = (1,5), C = (6,7). Illustrera på en tallinje
a) A∪B
b) A∪C
c) B∪C
d) A∪B∪C
Snittmängd
Snittet av A och B eller snittmängden av A och B betecknad
är den
mängd som består av de element som är både i A och B. Man skriver
A ∩ B = {x : x ∈ A och x ∈ B}
Detta läses ”A snitt B är lika med mängden av alla element x sådana att x
tillhör A och x tillhör B”.
I nedanstående figur är snittmängden A ∩ B skuggad.
10
I nedanstående figur är ingenting skuggat eftersom det inte finns några
element som ligger både i mängden A och i mängden B.
Den tomma mängden
Det visar sig praktiskt att även tala om en mängd som inte innehåller några
element alls. Det är uppenbart att om två mängder inte är lika så finns det
element i den ena, som inte tillhör den andra. Denna situation kan förstås
inte inträffa om de båda mängderna överhuvudtaget inte innehåller några
element. Det är därför naturligt att betrakta alla sådana mängder som lika,
dvs som en enda mängd, vilken man kallar den tomma mängden.
Standardbeteckningen för denna mängd är ∅ .
Om A och B är mängder som saknar gemensamma punkter så är alltså
A∩ B = ∅.
Övning 9
Definiera intervallen A, B och C genom A=[1,3], B=(2,6) C=[3,5). Illustrera
på en tallinje
a) A∩B
b) A∩C
c) B∩C
d) A∩B∩C
Delmängd
Skrivsättet
läses ”A är en delmängd av B” eller ”A är innehållen i B”
och innebär att varje element i A också är ett element i B. Möjligheten att A
= B är inte utesluten. Skrivsättet
, som läses A är en äkta delmängd
av B, innebär att A är en delmängd av B men att A inte är lika med B. Genom att associera till skrivsätten x<y respektive
där x och y betecknar
tal blir innebörden av dessa beteckningar enkla att memorera.
På samma sätt som man, när det gäller tal, kan skriva
eller
för
att uttrycka en och samma rådande omständighet så har
samma innebörd som
.
utläses ”B omfattar A”. På motsvarande sätt kan
man skriva B⊃A i stället för A⊂B.
Överenskommelsen ∅ ⊆ A för varje mängd A är naturlig eftersom det inte
finns något element i ∅ som inte tillhör A.
Anmärkning
Det finns matematisk litteratur som använder symbolen ⊂ med den ovan
beskrivna innebörden hos symbolen ⊆.
11
Övning 10
a) Hur läser man
och vilken är innebörden? Illustrera
med en figur.
b) Vilka tal ingår i talmängden {x ∈ R : x = 2k där k ∈ Z och k > 0}? Hur utläser man beteckningen?
c) Beskriv med mängdlärans symboler mängden av alla udda tal.
12
Några begrepp ur logiken
Logiken har utvecklats starkt under 1900-talet och har en nära anknytning
till matematiken. Utan att ge någon utförlig teori och utan att använda
sträng formalism skall vi i detta avsnitt beskriva några logiska grundbegrepp och symboler som används för att förkorta eller förtydliga matematiska resonemang.
Utsaga
Med en utsaga avses en meningsfull fras som är antingen sann eller falsk.
Innebörden av ”meningsfull fras” är att formuleringen skall vara av den
arten samt så klar och tydlig att man i rådande sammanhang kan avgöra
om det som frasen säger är sant eller falskt.
Exempel på utsagor
• triangeln är rätvinklig
• huset är rött
• talet är udda
I den första utsagan är det underförstått att den handlar om en viss bestämd triangel som finns i en figur eller är beskriven på annat sätt. I den
andra utsagan får man tänka sig att det handlar om ett visst hus och att innebörden av att ”ett hus är rött” är klargjord. I den tredje utsagan kan man
tänka sig att det är fråga om ett bestämt givet heltal.
I stället för ordet utsaga används i dessa sammanhang också ordet påstående med samma innebörd.
Exempel 2
Utsagan
•
•
är sann. Detta kan noteras på lite olika sätt som t ex
Det gäller att
Vi har
När man bara skriver
har det ofta den ovan nämnda innebörden.
Övning 11
Avgör om utsagan är sann eller falsk
a) Vinkelsumman i en godtycklig fyrhörning är 360°
b) I en godtycklig triangel finns det alltid minst en vinkel som är mindre
än 60°
c) I en godtycklig triangel finns det alltid minst en vinkel som är större än
60°
d) Det finns ett naturligt tal som är större än alla andra naturliga tal
e) Det finns inget positivt reellt tal som är mindre än alla andra positiva
reella tal
13
Öppen utsaga
Definition
En fras, som innehåller en variabel x och som blir antingen sann eller falsk,
då man istället för x sätter in ett godtyckligt element ur en grundmängd G,
kallas för en öppen utsaga över grundmängden G.
Vi betecknar öppna utsagor med p(x), q(x), .... . Man beskriver utsagor genom att efter beteckningen (namnet) på utsagan och ett kolontecken beskriva utsagan.
Exempel 3
p(x ) : x 2 > 4
Ofta är grundmängden underförstådd eller framgår av sammanhanget. I
utsagan p(x) ovan är det naturligt att låta grundmängden bestå av alla reella tal.
Om man när man beskriver utsagan vill ange grundmängden kan man använda skrivsättet
p(x ) : x 2 > 4, x ∈ R
Vi har att p(10) är sann eftersom 102 = 100>4. På motsvarande sätt inses att
p(0) är falsk.
Om x<-2 eller x>2 är p(x) sann.
Om − 2 ≤ x och x ≤ 2 så är p(x) falsk.
Om man vill framhålla att en viss utsaga inte innehåller någon variabel så
kallar man den en sluten utsaga.
Kombination av utsagor
Flera utsagor kan kombineras med varandra på olika sätt och bilda nya utsagor. Det är vanligt att man gör detta med orden och respektive eller.
Om p och q är utsagor så är p och q den utsaga som är sann precis då bägge
utsagorna p och q är sanna. Utsagan kallas konjunktionen av p och q.
En vanlig beteckning för denna utsaga är p∧q.
Om p och q är utsagor så är p eller q den utsaga som är sann precis då
minst en av utsagorna p och q är sanna. Utsagan kallas disjunktionen av p
och q. En vanlig beteckning för denna utsaga är p∨q. Av definitionen framgår det att eller här är ett logiskt eller.
Exempel
Betrakta följande tre utsagor
14
p: Västerås ligger i Västmanland
q: 5+8 = 13
r: 3 < 2
p är en sann utsaga
q är en sann utsaga
r är en falsk utsaga
Definitionerna ovan innebär att
p∧q är en sann utsaga
q∧r är en falsk utsaga
p∨q är en sann utsaga
p∨r är en sann utsaga
Exempel 4
Utsagan x ≤ 3 består av disjunktionen x < 3 eller x = 3 . Det innebär alltså
att 3 ≤ 3 är en sann utsaga.
Utsagan − 3 < x ≤ 5 består av konjunktionen − 3 < x och x ≤ 5 . Det innebär
till exempel att − 3 < 4 ≤ 5 är en sann utsaga.
Övning 12
Avgör om utsagan är sann eller falsk
a)
b)
c)
d)
e)
(valen är ett däggdjur) ∨ (en häst har tre ögon)
(valen är en fisk) ∨ (en häst har två ögon)
(valen är ett däggdjur) ∧ (en häst har två ögon)
(7 är ett primtal) ∧ (alla positiva heltal är större än –5)
(8 är kubiken på ett rationellt tal) ∧ (det finns oändligt många primtal)
Negation av utsagor
Att formulera motsatsen till ett påstående, dvs att negera en utsaga, är något som man ofta gör i matematiska bevis eller logiska resonemang. Det
innebär att man för en viss given utsaga p skall formulera en utsaga icke p
som skall vara falsk precis då p är sann och sann precis då p är falsk.
Exempel 5
Om p: x>3 så blir icke p: x ≤ 3
Exempel 6
Definiera den öppna utsagan p genom
p: x är ett naturligt tal.
Utsagan icke p beror på vilken som är grundmängden
Om grundmängden är Z så kan icke p formuleras
15
icke p: x är ett negativt heltal
Övning 13
Formulera i exempel 6 utsagan icke p om grundmängden är R
Övning 14
Formulera negationen till nedanstående öppna utsagor.
Grundmängden är R
a)
b)
c)
d)
e)
p1 (x): x är rationellt
p2 (x ): x=π eller x <3
p3 (x ): 2<x<4
p4 (x ): x<3 eller x>5
p5 (x ): x<3 och x>7
Exempel 7
Betrakta den slutna utsagan
p: alla flickor i Sverige har blå ögon.
Innan man har tänkt sig för är det frestande att säga att motsatsen till p är
q: inga flickor i Sverige har blå ögon
Det är lätt att inse att q inte är motsatsen till p eftersom både p och q är
falska utsagor. Att p är falsk följer av att det finns flickor i Sverige som har
annan ögonfärg än blå. Att q är falsk följer av att det finns flickor i Sverige
som har blå ögon.
Utsagan p kan naturligtvis negeras med hjälp av ordet inte på följande sätt:
”icke p”: det gäller inte att alla flickor i Sverige har blå ögon.
Om man har komplicerade utsagor och använder denna metod när man
bestämmer en utsagas negation så blir det svårt att komma vidare i ett fortsatt logiskt resonemang. När man inte använder inte på detta sätt för att
formulera en utsagas negation så säger vi i detta häfte att utsagans negation
formuleras i ”positiv form”.
Om inte alla flickor i Sverige har blå ögon så innebär det att en eller flera
flickor i Sverige har en annan ögonfärg än blå. Negationen ”icke p kan
alltså formuleras:
”icke p”: det finns minst en flicka i Sverige som har en annan färg på ögonen än blå
Övning 15
Antag att en kommitté har satt betyg i en femgradig skala från 1 till 5 på 10
avsnitt (numrerade från 1 till 10) av TV-serien ”Rederiet”. Formulera i ”positiv form” negationen till följande utsagor
16
a)
b)
c)
d)
e)
f)
p1: avsnitt 1 har betyg 3
p2: avsnitt 4 har betyg 3 eller högre
p3: avsnitt 7 har betyg 2 eller lägre
p4: inget avsnitt har betyg högre än 3
p5: alla avsnitt har betyg 2 eller lägre
p6: minst ett avsnitt har betyg lägre än 2
Exempel 8
Låt x, y och z vara godtyckliga reella tal. Det innebär att x, y och z är tre
reella tal, precis vilka som helst. Förutom att x, y och z skall vara reella
finns det alltså inga övriga krav. Det är alltså fullt möjligt att x, y och z kan
vara ett och samma reella tal fastän de är beskrivna med tre olika beteckningar.
Betrakta utsagorna
p1(x): om x>0 och y>0 så är xy>0
p2(x): om xy>0 så är x>0 eller y>0
p3(x): om xy>0 så är x>0 eller x<0
p1(x): är en sann utsaga eftersom (enligt kända ”räkneregler” produkten av
två positiva reella tal är positiv.
Att p2(x) är en falsk utsaga inses genom att som motexempel välja x = −3
och y = −5 .
Då är nämligen xy=15>0, x<0 och y<0.
p3(x) är en sann utsaga ty om xy>0 så är x≠0 vilket innebär att x>0 eller x<0.
Implikationer och ekvivalenser
Du har förmodligen stött på symbolen
. Du kanske till och med använder den. Det kan också tänkas att du har en alldeles egen innebörd av vad
den betyder. Du kan förstås fortsätta med detta i privata anteckningar men
du kan inte använda din personliga tolkning i det matematiska språk som
utan missförstånd skall förstås av andra. I några exempel kommer vi med
exempel att beskriva hur implikationspilen används flitigt och informellt i
matematikundervisning på alla nivåer. Glöm aldrig att
används för att beskriva relationer mellan utsagor.
Låt p(x) och q(x) beteckna öppna utsagor över en och samma grundmängd
G . Med dessa kan man formulera följande slutna utsaga s
s: varje x
G som gör p(x) sann gör också q(x) sann.
Denna slutna utsaga är sann eller falsk.
Exempel 9
17
Låt p(x):x<3 och q(x):x<5 och G = R.
Vilka tal gör utsagan p(x) sann? (svar: alla tal mindre än 3)
Vilka tal gör utsagan q(x) sann? (svar: alla tal mindre än 5)
Utsagan s kan alltså formuleras på följande sätt
s: alla reella tal som är mindre än 3 är också mindre än 5
s är alltså en sann utsaga.
Man säger att ”x<3 medför x<5” är sant.
Det finns en utvecklad formalism som underlättar undersökningen av
komplicerade logiska situationer. Denna formalism skall inte beskrivas här.
Vi skall i stället, som tidigare antytts, illustrera hur implikationspilen används i anslutning till logiska resonemang i det matematiska språket.
Oftast är grundmängden underförstådd eller tidigare definierad. Om man
vill uttrycka att alla x som är mindre än tre också är mindre än 5 så skriver
man
x<3 ⇒ x<5 är sant
eller kort när det inte kan missförstås
x<3 ⇒ x<5
Exempel 10
I grundmängden R är utsagan x < 3 ⇒ x < 2 falsk
eftersom det finns minst ett värde på x som gör utsagan x < 3 sann och utsagan x < 2 falsk. x=2,5 är exempel på ett sådant x-värde. Man säger att
man har avgjort att utsagan är falsk med ett motexempel.
Exempel 11
Att kvadraten på varje reellt tal skilt från noll är positiv kan skrivas
x ∈ R ⎫
⎪
och ⎬ ⇒ x 2 > 0
x ≠ 0 ⎪⎭
I detta skrivsätt utelämnas ofta ordet och. Konventionen är då att ett antal
utsagor sammanhållna med en klammer är konjunktionen av de ingående
utsagorna.
Exempel 12
Observera att du är van att arbeta med samma konvention som i förra exemplet vid lösning av linjära ekvationssystem. Betrakta systemet:
18
⎧3x − 5 y = −9
⎨
⎩2 x + 3 y = 13
Ekvationssystemet kan betraktas som en öppen utsaga med två variabler.
Den öppna utsagan består av konjunktionen
3x − 5 y = −9
och 2x + 3y = 13.
Denna utsaga är sann precis då bägge utsagorna 3x − 5 y = −9 och
2 x + 3 y = 13 är sanna.
Det finns oändligt många uppsättningar (x , y ) som gör utsagan
⎛ 9 ⎞
3x − 5 y = −9 sann. ⎜ 0, ⎟ ,(7,6 ) och (− 3,0) är exempel på 3 sådana uppsätt⎝ 5 ⎠
ningar. Det finns också oändligt många uppsättningar (x , y ) som gör utsagan 2 x + 3 y = 13 sann. När man löser ett ekvationssystem av denna typ så
tar man reda på alla uppsättningar (x , y ) som gör bägge utsagorna
3x − 5 y = −9 och 2 x + 3 y = 13 sanna. För det här ekvationssystemet är
(x, y ) = (2,3) den enda uppsättning som duger. Man säger att ekvationssy⎧ x = 2
stemet har den entydiga lösningen ⎨
.
⎩ y = 3
Nedanstående ekvationssystem
⎧2 x + y = 5
⎨
⎩2 x + y = 6
är exempel på ett ekvationssystem som saknar lösning. Det finns nämligen
inga värden på x och y som gör bägge utsagorna 2 x + y = 5 och 2 x + y = 6
sanna. 2 x + y kan ju inte vara lika med både 5 och 6.
Olika sätt att uttrycka sanna implikationer
Den sanna implikationen
kan läsas
x mindre än två medför att x är mindre än eller lika med tre
x mindre än två implicerar att x är mindre än eller lika med tre
om x är mindre än 2 så är x mindre än eller lika med tre
x mindre än 2 är ett tillräckligt villkor för att x skall vara mindre än eller lika
med tre
x mindre än eller lika med tre är ett nödvändigt villkor för att x skall vara
mindre än två
Kombination av implikationer
19
Ofta kombinerar man en följd av implikationer. Vi illustrerar med två enkla
exempel. Övertyga dig om att implikationerna är sanna.
Exempel 13
Innebörden av dessa implikationer är att om 3x+5 är lika med 7, där x varierar i den underförstådda grundmängden R, så gäller att x är lika med 2/3.
Observera att denna följd av implikationer inte säger något om att om
x=2/3 så är 3x+5=7.
Övning 16
Motivera varför de två ingående implikationerna i exempel 13 är sanna.
Exempel 14
Övning 17
Motivera varför de två ingående implikationerna i exempel 14 är sanna.
Innebörden av dessa implikationer är att om x är lika med 2/3, där x varierar i den underförstådda grundmängden R så är 3x+5=7.
Implikationen i kan också skrivas så här
Ekvivalenser
Om både
20
p(x) q(x)
och
q(x) p(x)
så skriver man
p(x)
q(x)
Symbolen
kallas en ekvivalenspil och p(x)
q(x) läses p(x) är ekvivalent med q(x). Innebörden av detta är att utsagan p(x) är sann om och endast om utsagan q(x) är sann.
Exempel 15
Genom att kombinera implikationerna i exempel 13 och 14 så har vi alltså
Bortsett från implikationspilarna är det så som man normalt skriver när
man löser ekvationen 3x+5=7.
Genom att i tidigare exempel knyta an till de införda begreppen kan vi säga
att ekvationen 3x+5 är en öppen utsaga. Genom att följa den del av ekvivalenspilen som avser implikation från vänster till höger eller uppifrån och
ner har vi alltså att:
om 3x+5 = 7 är en sann utsaga så är x = 2/3 en sann utsaga.
Genom att följa den del av ekvivalenspilen som avser implikation från höger till vänster eller nerifrån och upp har vi att
om x=2/3 är en sann utsaga så är 3x+5=7 en sann utsaga.
Av ovanstående följer att 2/3 är det enda värde på x som gör utsagan
3x+5=7 sann. Ett annat sätt att säga samma sak är att 2/3 är lösningen till
ekvationen 3x+5=7.
När man löser ekvationer och på varje ny rad skriver en utsaga som är sann
om och endast om utsagan på föregående rad är sann (utsagan på en ny rad
är ekvivalent med utsagan på föregående rad) så är det en vanlig konvention att man inte skriver ut ekvivalenspilarna.
I samband med ekvationslösning är det inte alltid möjligt att bara arbeta
med ekvivalenta utsagor. Då gäller det att vara extra uppmärksam på vad
man gör.
Om den underförstådda grundmängden är R är det FEL att skriva
21
eftersom
är en falsk utsaga.
Att utsagan är falsk inses på följande sätt:
de värden på x som gör den vänstra utsagan sann är 3 och -3
det enda värde på x som gör den högra utsagan sann är 3
det är alltså inte sant att varje värde på x som gör den vänstra utsagan sann
också gör den högra utsagan sann.
Övning 18
Avgör om utsagan är sann eller falsk. Motivera de falska utsagorna genom
att ange motexempel. Grundmängden är R.
a)
b)
c)
d)
a2 = b2 ⇒ a = b
a 2 = b 2 ⇒ a = b eller a = −b
a = b ⇔ a2 = b2
a = b eller a = −b ⇔ a 2 = b 2
Övning 19
Avgör om utsagan är sann eller falsk. Grundmängden är R. Motivera de
falska utsagorna genom att ange motexempel. Grundmängden är R.
a) (x + 5)2 = 9 ⇒ x = −8 eller x = −2
b) x = −2 ⇒ (x + 5)2 = 9
c) x = −8 ⇒ (x + 5)2 = 9
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
(x + 5)2 = 9 ⇒ x = −2
e x > 0 för alla x ∈ R
x + 2 > 0 för alla x ∈ R
x + 2 > 0 för alla x > 3
x >3⇒ x+2 > 0
sin x = 1 ⇒ x = π / 2
x = π / 2 ⇒ sin x = 1
sin x = 0 ⇒ det finns n ∈ Z sådant att x = nπ
sin x = 0 ⇒ x = nπ för något n ∈ Z
cos x = 0 ⇔ x = π / 2 + nπ för något n ∈ Z
Exempel 16
När man vid lösning av ekvationer inte kan arbeta med ekvivalenser
fordras det att man håller reda på implikationspilarnas riktning. Vi illustrerar detta genom att lösa ekvationen x + 6 = x .
Vi har
22
x+6 = x⇒
(
x+6
)
2
= x2 ⇒ x + 6 = x2 ⇒ x2 − x = 6
2
2
2
2
1 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎛
⎛ 5 ⎞
⇒ x − x + ⎜ ⎟ = 6 + ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ x − ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒
2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝
⎝ 2 ⎠
1
5
1 5
x − = ± ⇒ x = ± ⇒ x = 3 eller x = -2
2
2
2 2
2
Innebörden av denna följd av implikationer är att om x + 6 = x är en sann
utsaga så är x=3 eller x=-2. Det betyder att eventuella lösningar till ekvationen måste sökas bland de två x-värdena 3 och -2. Implikationerna ger
ingen upplysning huruvida x + 6 = x är en sann utsaga om x=3 eller x=-2.
Eftersom 3 + 6 = 3 är x + 6 = x en sann utsaga för x=3.
Eftersom − 2 + 6 ≠ −2 är x + 6 = x en falsk utsaga för x=-2.
Alltså är x + 6 = x ⇔ x = 3. Detta innebär att ekvationen
den entydiga lösningen x=3.
x + 6 = x har
Övning 20
Lös ekvationen
a)
x=x
b)
x =−x
Observera att
•
för a ≥ 0 är
a lika med det positiva tal vars kvadrat =a
•
⎧a om a > 0
⎪
a = ⎨0 om a = 0
⎪- a om a < 0
⎩
Matematisk sats
Med en sats (matematisk sats) avses en sann utsaga. Beviset av en sats består ofta av en följd av sanna implikationer, varvid man utnyttjar följande
transitiva lag:
[(p(x)⇒q(x))∧(q(x) ⇒r(x))] ⇒[p(x) ⇒r(x)]
En matematisk sats har själv i många fall formen av en implikation
p(x)⇒q(x).
I en sådan sats kallas p(x) förutsättningen och q(x) ibland slutsatsen eller
påståendet.
23
Det är ofta intressant att veta om en sådan implikation kan omvändas dvs
om q(x)⇒ p(x) är sann. Är detta fallet brukar man säga att satsen är omvändbar. I så fall gäller q(x)⇔ p(x).
Exempel 17
Sats
Kvadraten på varje jämnt tal är jämn
Bevis av satsen:
Vi skall visa att implikationen
k är ett jämnt tal ⇒ k 2 är ett jämnt tal
är sann.
Låt k vara ett godtyckligt jämnt tal. Enligt definitionen av ett jämnt tal finns
då ett heltal p sådant att k=2p.
Vi har
k=2p
⇒
2
k 2 = (2 p )
⇒
k 2 = 2 2 p2
( )
Eftersom 2p2 är ett heltal om p är det så innebär det att k2 är ett jämnt tal.
Därmed är beviset klart.
När man skriver ett bevis av denna karaktär så bör man vara uppmärksam
på att man endast kan använda tillåtna ”saker” vid implikationerna. Vid
den första implikationspilen används: ”om två tal är lika så är dess kvadrater lika”. Vid den andra implikationspilen används räkneregler för reella
tal. Observera också att sista raden i beviset är en implikation fastän den
inte är utskriven med hjälp av implikationspilar.
Övning 21
Formulera sista raden i beviset i exempel 17 med hjälp av implikationspilar.
Ovanstående bevis är ett exempel på ett direkt bevis. Att satsens omvändning inte gäller inses av följande motexempel:
Sätt k = 80 . Då är k 2 = 80 . Detta innebär att utsagan
k 2 jämnt ⇒ k jämnt
är falsk.
24
Övning 22
a) Bevisa satsen ”kvadraten på ett udda tal är udda”.
b) Bevisa att omvändningen inte gäller.
Övning 23
Ge exempel på en sats på formen p(x)⇒q(x) som är omvändbar.
Övning 24
Ge två icke-matematiska exempel på utsagor p(x) och q(x) där
p(x)⇒q(x) är sann och q(x)⇒p(x) är falsk.
Indirekt bevis
Man utnyttjar ofta vid matematiska bevis följande
Sats
p(x)⇒q(x)
är ekvivalent med
icke q(x) ⇒icke p(x)
Satsens innebär att
1) Om p(x)⇒q(x) är en sann utsaga så är icke q(x) ⇒icke p(x) en sann utsaga
och
2) Om icke q(x) ⇒icke p(x) är en sann utsaga så är p(x)⇒q(x) en sann utsaga
Bevis av satsen:
Punkt 1) består av en implikation där förutsättningen är att p(x)⇒q(x) är en
sann utsaga och påståendet att icke q(x) ⇒icke p(x) är en sann utsaga. Vi
skall alltså visa att icke q(x) ⇒icke p(x) är en sann utsaga under förutsättningen att p(x)⇒q(x) är en sann utsaga.
Antag att icke q(x) är sann. Då följer att q(x) är falsk. Av detta följer att p(x)
är falsk, ty om p(x) är sann så följer av förutsättningen att q(x) är sann som
innebär att icke q(x) är falsk vilket är en omöjlighet eftersom icke q(x) är
sann enligt antagandet. Härmed är implikationen under punkt 1) bevisad.
Implikationen under punkt 2) bevisas på ett helt analogt sätt.
Exempel 18
Antag att grundmängden är R och att vi vill bevisa att implikationen
x(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ≥ 0 är sann.
Man kan då istället bevisa att implikationen
x < 0 ⇒ x(x − 1) > 0 är sann.
25
Detta senare är omedelbart klart ty om x<0 så är också x-1<0 och produkten
av två negativa tal är positiv.
Beviset kan också göras på följande sätt
Vi förutsätter att x(x − 1) ≤ 0 och påstår att i så fall är x ≥ 0 . Antag nu att
påståendet vore falskt, dvs att x<0. Vi finner då att x(x-1)>0, vilket strider
mot förutsättningen. Alltså är x ≥ 0 och därmed är beviset klart.
Ett bevis av denna typ kallas ett indirekt bevis, ett bevis ad absurdum eller ett
motsägelsebevis.
Exempel 19
Om man på en miniräknare av typ Casio fx-82B skall beräkna närmevärden
till 10-logaritmer så trycker man först på talet som man skall beräkna logaritmen av och därefter på tangenten märkt log. Ibland blir då fönstret fullt
av siffror och ibland ej. Om man till exempel beräknar 10-logaritmen av 2
så blir resultatet i fönstret 0,30103. Eftersom det finns plats för fler siffror i
fönstret så kan det ge uppfattningen att 10-logaritmen av 2 är lika med
0,30103 exakt. Vi skall med ett motsägelsebevis bevisa att så inte är fallet.
Antag att 10log 2 = 0,3010 3
Innebörden av detta är att 10log 2 = 0,3010 3 är en sann utsaga.
Vi har
10
log 2 = 0,30103 ⇒ (enligt definition av logaritm) 10 0 ,30103 = 2 ⇒
(10
0 ,30103 100000
)
= 2100000 ⇒ (enligt räkneregler) 10 30103 = 2100000
Den sista likheten är en utsaga. Den är falsk eftersom 1030103 är ett naturligt
tal som slutar på en nolla och 2100000 är ett tal som slutar med någon av siffrorna 2,4,6 eller 8.
Detta innebär att vårt antagande att 10log 2 = 0,3010 3 är en sann utsaga
måste vara falskt, dvs att 10log 2 = 0,3010 3 är en falsk utsaga eller m a o att
10
log 2 ≠ 0,3010 3.
När man kommit på den bärande idén i beviset kan beviset skrivas så här:
Eftersom 1030103 är ett naturligt tal som slutar på en nolla och 2100000 är ett tal
som slutar med någon av siffrorna 2,4,6 eller 8 så har vi
100000
10 30103 ≠ 2100000 ⇒ (10 0 ,30103 )
≠ 2100000 ⇒ 10 0 ,30103 ≠ 2 ⇒ 10log 2 ≠ 0,30103
Om man bara skriver denna sista variant av beviset så kan det vara omöjligt för läsaren att förstå hur man har kommit på idén i beviset.
26
Exempel och övningar i anslutning till
några geometriska grundbegrepp
I gängse definitioner av geometriska grundbegrepp är det vanligt att en ny
definition bygger på tidigare gjorda definitioner. När du läser detta avsnitt
skall du med nedan preciserade undantag inte väga in dina egna föreställningar om begreppen utan endast använda dig av de definitioner som görs.
Det förutsätts att de begrepp som finns bakom de kursiverade orden är
väldefinierade för läsaren.
I geometrin studeras punkter och vissa punktmängder bland annat rät linje,
plan och rum. Om A och B är två olika punkter så finns det precis en rät linje
som går genom A och B. Denna linje kallas linjen genom A och B. Unionen av
punkterna A och B och alla punkter mellan A och B kallas sträckan AB. Varje
sträcka har en längd. En godtycklig sträcka kan väljas som enhetssträcka. När
enhetssträckan är vald kan längden av en sträcka anges med ett tal, mätetalet. Längden kan uppfattas som en storhet med enhetssträckans längd som
enhet (längdenhet). Två sträckor är lika långa när de har samma längd.
Definition av polygon, polygons hörn och polygons sidor, triangel m m
Om A1 , A2 ,..., An är olika punkter i ett plan kallas unionen av sträckorna
A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 ,..., An A1 en polygon, om sträckorna skär varandra endast i
ändpunkterna och om två sträckor med samma ändpunkt ej ligger på
samma linje. Punkterna A1 , A2 ,..., An kallas hörn. Sträckorna
A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 ,..., An A1 kallas polygonens sidor. Polygonerna får namn efter
antalet hörn. Det minsta antalet hörn i en polygon är 3. En polygon med 3
hörn kallas en triangel. En polygon med n hörn, där n>3 kallas en nhörning.
Övning 25
a) Rita för n=3, n=4 och n=5 punkter A1 , A2 ,..., An i planet som ger upphov
till en polygon enligt definitionen ovan.
b) Rita för n=3, n=4 och n=5 punkter A1 , A2 ,..., An i planet som inte ger
upphov till en polygon enligt definitionen ovan.
Definition av några speciella fyrhörningar
Om det i en given fyrhörning finns två sidor som är parallella så kallas fyrhörningen ett parallelltrapets. En fyrhörning där sidorna är parvis parallella
kallas en parallellogram. En fyrhörning där alla vinklar är räta kallas en rektangel. En fyrhörning där sidorna är lika långa kallas en romb. En fyrhörning
där alla vinklar är lika och alla sidor är lika långa kallas en kvadrat.
Övning 26
Låt
M ={alla fyrhörningar}
M 1 ={alla parallelltrapetser}
M 2 ={alla parallellogrammer}
27
M 3 ={alla rektanglar}
M 4 ={alla romber}
M 5 ={alla kvadrater}
a) Rita ett element som tillhör M och inte tillhör M 1 .
b) Rita ett element som tillhör M 1 och inte tillhör M 2 .
c) Rita ett element som tillhör M 2 och inte tillhör M 3 .
d) Rita ett element som tillhör M 3 och inte tillhör M 4 .
e) Rita ett element som tillhör M 4 och inte tillhör M 5 .
f) Rita ett element som tillhör M 5 .
Avgör om utsagan är sann eller falsk. Motivera.
g) x∈ M 1 ⇒x∈M
h) x∈ M 1 ⇔x∈M
i) M 5 ⊂ M 4
j) M 5 ⊆ M 4
k) Om x är en parallellogram så är x ett parallelltrapets
l) Det finns minst ett x för vilket det gäller att x ∈M och x∉ M 1
m) Varje kvadrat är också en romb
n) Att vara en rektangel är ett nödvändigt villkor för att vara en kvadrat
o) Att vara en rektangel är ett tillräckligt villkor för att vara en kvadrat
p) M 5 ⊂ M 4 ⊂ M 3 ⊂ M 2 ⊂ M 1 ⊂M
q) Varje element i M är en polygon
r) Det finns minst en polygon som inte är ett element i M
s) M är en ändlig mängd
Övning 27
Betrakta följande mängder av plana figurer
A={alla kvadrater}, B={alla romber}, C={alla rektanglar}, D={alla parallellogrammer}, E={alla parallelltrapetser med minst tre lika långa sidor}, F={alla
parallelltrapetser med minst en rät hörnvinkel}.
Avgör om utsagan är sann eller falsk om utsagan är
a) B ∪ C = D
b) D ∩ F = C
c) D ∩ E = B
d) F ⊆ D ∪ E
e) E ∩ F = B ∩ C
28
Facit
Övning 1
Ledning: Låt ABC vara en godtycklig triangel. Drag en linje som går genom
hörnet A och är parallell med sidan BC. Summan av de vinklar som bildas
vid A ”ovanför” linjen A är 180°.
Övning 2
a) I telefonkatalogen för 1997 fanns det drygt 2000 abonnenter i Västeråsområdet med efternamnet Andersson. En rimlig uppskattning är att
åtminstone 100 (2000/12 är ungefär lika med 170) är födda i januari och
mantalsskrivna i Västerås vid den aktuella tidpunkten. Förmodan att
Andersson är ett element i M mängden verkar alltså riktig.
b) Om man vet när man har sin födelsedag och var man var mantalsskriven 1998-01-01 så kan man med säkerhet (åtminstone i ”teorin”) avgöra
om det egna efternamnet är ett element i M.
c) Folkmängden i Västerås 1998-01-01 var 124 119. Om alla dessa personer
hade olika efternamn så är antalet element i M lika med 124 119. Detta
innebär att antalet element i M säkert är mindre än 124 120. Anm: svar
med mindre tal än 124 120 är självklart fullt möjliga. Om man t ex vet att
det fanns 3 personer med efternamnet Nordin mantalsskrivna i Västerås
1998-01-01 med födelsedag i januari (det fanns det) så kan man svara
med talet 124 118.
Övning 3
a) {3,5} är exempel på en ändlig mängd. Antalet element i mängden är 2.
Ett annat exempel på en ändlig mängd är den mängd som består av alla
atomer i universum. Antalet är obegripligt stort men ändå ändligt.
b) Ett exempel på en oändlig mängd är den mängd som består av alla tal
1,2,3 ”o s v i all oändlighet”.
Övning 4
a)
b)
c)
d)
Eftersom 3,14=314/100 är 3,14 ett rationellt tal.
Att 0 ∈ Q följer av att 0=0/53.
–10 är ett rationellt tal eftersom –10=(-20)/2.
Alla hela tal är rationella. Detta följer av för varje helt tal z gäller att
z=z/1.
e) 1,5 är ett exempel på ett rationellt tal som inte tillhör talmängden Z.
f) x = −3 är ett exempel på x som uppfyller som är sådant att
x ∈ Z men x ∉ N .
29
Övning 5
a) π , e och 2 är samtliga reella tal. Inget av dessa tal är rationellt.
b) 1/5 är ett exempel på ett rationellt tal som inte är ett heltal (jämför övning 4e).
c) –10 är exempel på ett heltal som inte är ett naturligt tal(jämför övning 4
f).
Övning 6
a) Eftersom a1 a 2 ...a n ,b1b2 ...bm = a1 a 2 ...a n b1b2 ...bm / 10 m där talen i täljaren och
nämnaren båda är hela tal följer att varje decimaltal är ett rationellt tal.
b) 1/3 är exempel på ett rationellt tal som inte är ett decimaltal.
Övning 7
a)
b)
c)
d)
e)
Övning 8
a)
b)
c)
d)
Övning 9
a)
b)
c)
d)
Övning 10
a) Följden
läses : ”N är en äkta delmängd av Z som är
en äkta delmängd av Q som är en äkta delmängd av R som är en äkta
delmängd av C. Innebörden är att : ”varje naturligt tal är ett helt tal och
det finns minst ett helt tal som inte är ett naturligt tal, varje helt tal är ett
30
rationellt tal och det finns minst ett rationellt tal som inte är ett helt tal,
varje rationellt tal är ett reellt tal och det finns minst ett reellt tal som
inte är rationellt, varje reellt tal är ett komplext tal och det finns minst
ett komplext tal som inte är reellt”?
b) Talmängden {x ∈ R : x = 2k där k ∈ Z och k > 0} består av alla positivajämna tal. Beteckningen utläses: ”mängden av alla x som tillhör R sådana att x är lika med 2k där k tillhör Z och k är större än noll.
c) Mängden {x ∈ R : x = 2k + 1 där k ∈ Z och k ≥ 0} består av alla positiva
udda tal.
Övning 11
a) ”Vinkelsumman i en godtycklig fyrhörning är 360°”är en sann utsaga
b) ”I en godtycklig triangel finns det alltid minst en vinkel som är mindre
än 60°” är en falsk utsaga
c) ”I en godtycklig triangel finns det alltid minst en vinkel som är större än
60°” är en falsk utsaga
d) ”Det finns ett naturligt tal som är större än alla andra naturliga tal” är
en falsk utsaga
e) ”Det finns inget positivt reellt tal som är mindre än alla andra positiva
reella tal” är en sann utsaga
Övning 12
a)
b)
c)
d)
e)
(valen är ett däggdjur) ∨ (en häst har tre ögon) är en sann utsaga
(valen är en fisk) ∨ (en häst har två ögon) är en sann utsaga
(valen är ett däggdjur) ∧ (en häst har två ögon) är en sann utsaga
(7 är ett primtal) ∧ (alla positiva heltal är större än –5) är en sann utsaga
(8 är kubiken på ett rationellt tal) ∧ (det finns oändligt många primtal)
är en sann utsaga
Övning 13
icke p: x är ett reellt tal som ej är naturligt
Övning 14
31
a)
b)
c)
d)
e)
icke p1 (x): x är irrationellt
icke p2 (x ): x ≥ 3 och x ≠ π
icke p3 (x ): x ≤ 2 eller x ≥ 4
icke p4 (x ): 3 ≤ x ≤ 5
icke p5 (x ): x ≥ 3 eller x ≤ 7 , dvs x∈R
Övning 15
a)
b)
c)
d)
e)
f)
icke p1: avsnitt 1 har något av betygen 1,2,4 eller 5
icke p2: avsnitt 4 har betyg 2 eller lägre
icke p3: avsnitt 7 har betyg 3 eller högre
icke p4: minst ett avsnitt har betyg 4 eller högre
icke p5: minst ett avsnitt har betyg 3 eller högre
icke p6: alla avsnitt har betyg 2 eller högre
Övning 16.
Den första implikationen är sann eftersom ”en sann likhet förblir sann om
man subtraherar ett och samma tal i likhetens bägge led” (här talet 5) och
räkneregler för reella tal ((3x+5)-5=3x+(5-5)=3x+0=3x och 7-5=2).
Den andra implikationen är sann eftersom ”en sann likhet förblir sann om
man dividerar likhetens bägge led med ett och samma tal skilt från noll”
(här talet 3) och räkneregler för reella tal ((3x)/3=x).
Övning 17
Den första implikationen är sann eftersom ”en sann likhet förblir sann om
man multiplicerar likhetens bägge led med ett och samma tal (här talet 3)
och räkneregler för reella tal ((2/3)⋅3=2.
Den andra implikationen är sann eftersom ”en sann likhet förblir sann om
man till likhetens bägge led adderar ett och samma tal ” (här talet 5) och
räkneregler för reella tal (2+5=7).
Övning 18
a) a 2 = b 2 ⇒ a = b är en falsk utsaga (motexempel:a=3, b=-3)
b) a 2 = b 2 ⇒ a = b eller a = −b är en sann utsaga
c) a = b ⇔ a 2 = b 2 är en falsk utsaga (Implikationen från vänster till höger
är sann. Eftersom implikationen från höger till vänster är falsk, se a), så
är ekvivalensen ej sann)
d) a = b eller a = −b ⇔ a 2 = b 2 är en sann utsaga
Övning 19
a)
b)
c)
(x + 5)2 = 9 ⇒ x = −8 eller x = −2 är en sann utsaga
2
x = −2 ⇒ (x + 5) = 9 är en sann utsaga
2
x = −8 ⇒ (x + 5) = 9 är en sann utsaga
(x + 5)2 = 9 ⇒ x = −2 är en falsk utsaga (motexempel: x=-8)
d)
e) e x > 0 för alla x ∈ R är en sann utsaga
32
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
x + 2 > 0 för alla x ∈ R är en falsk utsaga (motexempel x=-59,2)
x + 2 > 0 för alla x > 3 är en sann utsaga
x > 3 ⇒ x + 2 > 0 är en sann utsaga
sin x = 1 ⇒ x = π / 2 är en falsk utsaga (motexempel: x=5π/2)
x = π / 2 ⇒ sin x = 1 är en sann utsaga
sin x = 0 ⇒ det finns n ∈ Z sådant att x = nπ är en sann utsaga
sin x = 0 ⇒ x = nπ för något n ∈ Z är en sann utsaga
cos x = 0 ⇔ x = π / 2 + nπ för något n ∈ Z är en sann utsaga
Övning 20
x = x har två lösningar (två rötter) nämligen
x1 = 0 och x 2 = 1. Innebörden av detta är att x = x ⇔ x1 = 0 eller x2 = 1.
b) Ekvationen x = − x har den entydiga lösningen (den enda roten) x=0.
a) Ekvationen
Övning 21
p∈Z ⇒ 2p2∈Z ⇒ k2=2(2p2) är ett jämnt tal.
Övning 22
a)
Vi skall visa att implikationen
k är ett udda tal ⇒ k 2 är ett udda tal
är sann.
Låt k vara ett godtyckligt udda tal. Enligt definitionen av ett udda tal finns
då ett heltal p sådant att k=2p+1 .
Vi har
k=2p+1
⇒
2
k 2 = (2 p + 1)
⇒
k 2 = 2 2 p2 + 2 p +1
(
)
Eftersom 2p2 + 2p är ett heltal om p är det så innebär det att k2 är ett udda
tal. Därmed är beviset klart.
b)
Att k 2 är ett udda tal ⇒ k är ett udda tal är en falsk implikation följer av motexempel genom att välja k = 51 .
Övning 23
x = 1 ⇒x2 = 1 (grundmängd N)
33
är exempel på en sats på formen p(x)⇒q(x) som är omvändbar. Lägg märke
till att det är väsentligt att ange grundmängden. Motsvarande sats med
grundmängden Z är ej omvändbar.
x är liksidig ⇒ x är likvinklig (grundmängd : trianglar i planet)
är ett annat exempel.
Övning 24
Ett icke-matematiskt exempel på utsagor p(x) och q(x) där
p(x)⇒q(x) är sann och q(x)⇒p(x) är falsk erhålls om
p(x): x är född i Västerås
q(x): x är född i Sverige
(grundmängd: alla människor som bor i Sverige)
Ett annat sådant exempel erhålls om
p(x): x är en apelsin
q(x): x är en citrusfrukt
(grundmängd: alla frukter i världen)
Övning 25
a)
b)
Övning 26
34
g) x∈ M 1 ⇒x∈M är sann eftersom varje parallelltrapets är en fyrhörning.
h) x∈ M 1 ⇔x∈M är falsk eftersom implikationspilen från höger till vänster
är falsk. Att denna implikationspil är falsk följer av att det finns minst
en fyrhörning som inte är ett parallelltrapets.
i) M 5 ⊂ M 4 är sann eftersom varje kvadrat är en romb och att det finns
minst en romb som inte är en kvadrat.
j) M 5 ⊆ M 4 är sann eftersom M 5 ⊂ M 4 är sann.
k) ”Om x är en parallellogram så är x ett parallelltrapets” är en sann utsaga eftersom varje parallellogram också är ett parallelltrapets.
l) ”Det finns minst ett x för vilket det gäller att x ∈M och x∉ M 1 ” är en
sann utsaga eftersom det finns minst en fyrhörning som inte är ett parallelltrapets.
m) ”Varje kvadrat är också en romb” är en sann utsaga.
n) ”Att vara en rektangel är ett nödvändigt villkor för att vara en kvadrat”
är en sann utsaga.
o) Att vara en rektangel är ett tillräckligt villkor för att vara en kvadrat är
en falsk utsaga.
p) M 5 ⊂ M 4 ⊂ M 3 ⊂ M 2 ⊂ M 1 ⊂M är sann.
q) ”Varje element i M är en polygon” är en sann utsaga.
r) ”Det finns minst en polygon som inte är ett element i M” är en sann utsaga.
s) ”M är en ändlig mängd” är en falsk utsaga eftersom det finns oändligt
många fyrhörningar.
Övning 27
A={alla kvadrater}, B={alla romber}, C={alla rektanglar}, D={alla parallellogrammer}, E={alla parallelltrapetser med minst tre lika långa sidor}, F={alla
parallelltrapets med minst en rät hörnvinkel}.
a)
b)
c)
d)
e)
B ∪ C = D är falsk.
D ∩ F = C är sann.
D ∩ E = B är sann.
F ⊆ D ∪ E är falsk.
E ∩ F = B ∩ C är sann.
35
36