Hur viktigt är det med historiens, psykologins och

218
Historiens och filosofins roll i matematikundervisningen
Kunskapen om matematik handlar inte enbart om tal, symboler och operationer, kalkyler,
relationer och bevis utan den handlar om mycket annat. Historien om matematiken och
matematiska upptäckter till exempel är lika intressant och inspirativ som själva matematik
kunskapen. Historien om 0, , bastalet e, det imaginära talet i =-1, Pythagoras sats, de
Arabiska siffrorna, Fermats gåta och mycket annat är en enorm drivkraft i
matematikundervisningen för både lärare och elever. Matematiska lagar och formler
innehåller ofta djupa meningar i filosofiska termer än vad det ser ut från första ögonblicket.
Att lära ut matematikhistorien i kombination med matematikens filosofi innebär en del
erfarenhet och förmåga att hantera dessa saker vid rätt tidpunkt och på ett korrekt sätt. Därför
psykologin är en viktig faktor i detta sammanhang. Lärare med ett sådant kunnande och en
sådan inställning att ta historiens och filosofins hjälp med psykologiskt redskap i matematik
undervisning inspirerar ofta sina elever så att deras prestation blir annorlunda. En del av
matematiklärandet bör därför presenteras på ett passande sätt beroende på vilka målgrupper
man har. Därmed spelar psykologin en mycket viktig roll i matematikundervisningen.
Folk i allmänhet felaktigt tror att matematiken är bara några hundra år gammalkunskap,
mansdominerad, abstrakt och tråkig. Matematiken för den som kan är betydligt roligare än
vad man tror.
Under den föreläsning kommer jag att presentera hur viktigt det är med historiens, filosofins
och psykologins roll i undervisningen.
Aref Hamawi, lektor i matematik, Marks gymnasium/Kunskapens Hus, Kinna
219
Hur uppfattas stora tal och potenser?
Tal i allmänhet, stora som små, skrevs i potensform för att lätt kunna läsa av och utföra deras
beräkningar. Det är omöjligt att uttala dem om inte de ges en prefix eller ersätts i potensform.
Trots detta har man tydligen svårt att uppfatta hur talen är stora eller små. Stora tal i
potensform (med bas 10) kan i många fall ge en känsla av att det handlar inte särskild mycket
om stora belopp eftersom man enbart tar hänsyn till exponenten och inte till hela potensen.
Man glömmer oftast att exponenten betyder antal nollor höger om ettan. Den falska känslan
som man uppfattar kan innebära att folk tappar respekten till de gigantiska beloppen som är av
stor betydelse i många praktiska sakfrågor. Den här problematiken har fångat upp mig i flera
år på ett sådant sätt att jag utnyttjar den möjligheten för att bevaka hur elever konstruerar sina
tankar och hur de använder de grundläggande matematik kunskaper för att avgöra vissa
beslut. Det som skiljer en matematiker från andra är att en matematiker tar inte hänsyn till
känslor, politik eller ideologi. Man låter talen tala sitt eget språk utan hänsyn till känslor eller
sympati. En typisk sakfråga som ges till elever med grundliggande matematikkunskaper är:
har pappersmängden som tillverkats under mänsklighetens tid sedan Adam och Eva täckt
jordytan eller ej? Och om svaret är ja så hur många gånger har vi täckt jorden?
Den frågan och andra liknande är bara ett sätt att:
1. sätta igång en diskussion i små grupper för att planera en strategi hur man ska knäcka
frågan
2. ta egna initiativ och förutsättningar om vilka mängder som produceras eller förbrukas och
vilken tidsperspektiv ska man ta hänsyn till
3. omvandla alla dessa mängder till tal i potensform och sedan utföra kalkylen utan som
helst hjälpmedel. Det är inte exakta beräkningar man är ute efter utan (något grova)
uppskattningar som är nära sanningen så möjligt
4. komma till en slutsats som oftast är motsatsen till vad man trodde från början. Därmed
begriper man att det som man uppfattar som stort är i själva verket mycket litet i
förhållande till annat.
5. förstå att saker och ting är inte så självklara som de låter eller ser ut
Frågor av den typen ett typiskt exempel på hur känslorna kan spela in en stor roll där felaktiga
slutsatser kan komma in ganska lätt.
Liknande sakfrågor gäller till exempel hur stor är statens årsbudgeten? hur långt räcker
oljereservmängden i världen? Hur stort är universum? kan universum vara oändligt? Och till
sist kommer vi någonsin att nå upp till googlen; 10100? Finns det tal av typ 10800 eller 101000?
Var möjligen kan de finnas?
Aref Hamawi, lektor i matematik, Marks gymnasium/ Kunskapens Hus i Kinna
222
Matematikinlärning med multilink
Med multilink som hjälpmedel kan vi hjälpa eleverna till en mångsidig begreppsförståelse i matematik. Eleverna
får träna sin tankeförmåga och sitt logiska resonemang. Genom ett nära samband mellan konkreta handlingar och
språkliga resonemang blir matematiken ett lustfyllt ämne. I denna workshop får deltagarna aktivt pröva på
aktiviteter som utvecklar elevernas språkliga förståelse, problemlösningsförmåga, taluppfattning,
formuppfattning och spatiala seende.
Lisen Häggblom är doktor i pedagogik och är lektor i matematikens didaktik vid Institutionen för
lärarutbildning i Vasa. Arbetar med pedagogiskt utvecklingsarbete och skriver läromedel i Finland och Sverige.
Intresseområdet är begreppsbildning genom laborationer och forskningen handlar om elevers kunskapsutveckling i matematik.
Workshop
Bakgrund
Matematikinlärning är en aktiv process som utvecklas i samspel med andra människor och som sker i den sociala
interaktion som utvecklas bl.a. i ett klassrum. Ur detta perspektiv är laborativa aktiviteter en viktig del i
elevernas begreppsbildningsprocess. I Finland har det under många år pågått utvecklingsarbete som stöder
elevernas begreppsbildning och lärande i matematik. I begreppsbildningsprocessen betonas arbete med konkreta
modeller som analyseras med språk och formaliseras med symboler. I många aktiviteter kodas arbetet med
bildmodeller. I denna workshop presenteras aktiviteter med multilinkklossar från detta utvecklingsarbete.
Vad är multilink?
Multilinkklossar är plastklossar med 2 cm kanter. Klossarna finns i tio
olika färger. och kan sammanfogas åt alla håll. Klossarnas storlek och
konstruktion underlättar modellbyggande både inom olika matematiska
områden och på många olika nivåer. Genom avbildning på rutsystem,
triangelpapper och prickpapper övas perceptionsförmågan och spatialt
seende.
Med hjälp av multilinkklossarna kan man på ett mångsidigt sätt stödja elevernas utveckling av taluppfattning,
rumsuppfattning och problemlösningsförmåga. Den nära integrationen mellan taluppfattning och
rumsuppfattning gör att eleverna får uppleva att matematik inte är enbart räknande. Övningarna syftar till att
också utveckla elevernas medvetenhet, kreativitet och lust att lära. Genom dessa laborativa inslag och en aktiv
språkanvändning får eleverna uppleva matematikens spännande värld.
Taluppfattning
För att ta tillvara och kunna diagnostisera elevernas kunskaper kan undervisningen under det första skolåret
inledas med att eleverna fritt får bygga med multilinkklossar, räkna antal, göra jämförelser och berätta
räknesagor. Begreppen lika många, fler än, färre än görs synliga. Med hjälp av talkort befästas sambandet
mellan en konkret modell och det abstrakta symbolspråket.
När talområdet utvidgas upp till 20 läggs klossarna på en talrad eller läggs på en positionsplatta för att
åskådliggöra tiotal och ental. Arbetet med klossar som en talrad hjälper eleverna att övergå till abstraktioner.
Med positionsplattan läggs grunderna för vårt tiosystem men det är även möjligt att arbeta med andra talsystem
på en postitionsplatta.
Talanalyser med klossar hjälper eleverna att se sambanden mellan
räknesätten. Eleverna får upptäcka det nära sambandet mellan addition
och subtraktion när ett visst antal klossar delas upp. Olika namn för tal
samt likhetstecknets betydelse kommer med som en naturlig del i arbetet.
Att dela upp klossar i lika stora delar och sedan ange antalet genom en
multiplikation förstärker förståelsen för det nära sambandet mellan
multiplikation och division.
När talområdet utvidgas till 100 kan hundraplattan och hundrarutan användas för att visa talstrukturer och
samband mellan tal och antal. Klossarna kan byggas till tiotal och ental men byts småningom ut mot ett
tiobasmaterial för att få bättre plats på positionsplattan.
För att konkretisera bråkbegreppet kan klossarna, tack vare sina färger, användas dels för att visa delar av ett helt
och dels delar av ett antal. T.ex. en av fyra klossar visar en fjärdedel men en fjärdedel kan också konkretiseras
med en modell som är byggd av att annat antal klossar. Då är det fråga om bråks förkortning eller förlängning.
När eleverna bygger bråkmodeller kan de rita resultatet på rutigt papper och beskriva sina modeller med
symboler.
Rumsuppfattning
I modellbyggande med klossar får eleverna öva sin rumsuppfattning och perception. Att bygga enligt modell,
avbilda en given modell och arbeta med mönster och pussel blir en naturlig del av arbetet. Många övningar
tränar elevernas kreativitet och problemlösningsförmåga.
I den inledande matematikundervisningen bygger eleverna två- och tredimensionella figurer enligt givna
modeller. Modellen kan vara byggd av en kamrat, den kan vara en färdig bildmodeller, eller öppen modell med
givna föreskrifter. T.ex. hur många olika modeller kan man bygga av fyra klossar? Figurer som består av fem
klossar byggda plangeometriskt blir pentominomodeller. Plangeometriska modeller kan sammanfogas som ett
pussel med olika grundformer. När samma figurer täcker olika grundformer tränas förståelse för areabegreppet.
Är omkretsen densamma om arean är konstant?
Både två- och tredimensionella figurer kan avbildas i rutsystem. Till en början används 2x2 cm papper, där
rutornas storlek är densamma som multilinkkuben. Senare övergår man till 1x1 cm rutsystem. En
tredimensionell figur kan avbildas från sex olika håll i ett rutsystem. På triangelpapper eller prickpapper med
liksidiga trianglar kan avbildningen göras som perspektiv.
Med multilinkklossarna kan man arbeta med talmönster, talföljder samt begreppen dubbelt och hälften.
Klossarna är ett utmärkt verktyd vid olika former av problemlösning.
Litteratur
Häggblom,L.,& Hartikainen, S. (2002). Tänk och räkna 1. Majemaförlaget.
Häggblom,L.,& Hartikainen, S. (2002). Tänk och räkna 2. Majemaförlaget.
Stone,B., Patilla, P. & Frobisher,L. (2000). Number Skill. NES Arnold
Stone,B., Patilla, P. & Frobisher,L. (2000). Multilink Mathematics 10-14. Shape & Space. NES Arnold
I
Denna presentation är en workshop med max 30 deltagare.
 Multilinkklossarnas färger och konstruktion ger möjligheter att arbeta med både plangeometriska och
tredimensionella avbildningar. Eleverna redovisar sina lösningar på rutigt papper, prickpapper eller
triangelpapper.

Genom uppgifter med öppna svar tränas elevernas kreativitet och uthållighet.
223
På spaning efter räknespår
Vilka kunskaper har barn i matematik när de inleder sin skolgång och hur utvecklas deras kunskaper? Kan
resultatet före skolgången förutsäga hur barnen kommer att lyckas under skoltiden? Föreläsningen bygger på en
studie av barns matematiska utveckling från 6 till 15 års ålder. Vilka konsekvenser har resultatet för skolan som
inlärningsmiljö och vad kan skolan göra för att skapa gynnsamma förutsättningar för lärande i matematik? Det
här är några av de frågor som ställdes när en grupp på ca 140 barn inledde sin skolgång för ett antal år sedan.
Genom att följa dessa elevers utveckling i matematik under grundskoltiden har det varit möjligt att studera deras
räknespår. Vilka kunskaper har barn i matematik när de inleder sin skolgång och hur utvecklas deras kunskaper?
Kan resultatet före skolgången förutsäga hur barnen kommer att lyckas under skoltiden? Föreläsningen bygger
på en studie av barns matematiska utveckling från 6 till 15 års ålder. Vilka konsekvenser har resultatet för skolan
som inlärningsmiljö och vad kan skolan göra för att skapa gynnsamma förutsättningar för lärande i matematik?
Lisen Häggblom är doktor i pedagogik och lektor i matematikens didaktik vid Institutionen för lärarutbildning i
Vasa. Arbetar med pedagogiskt utvecklingsarbete och skriver läromedel i Finland och Sverige. Intresseområdet
är begreppsbildning genom laborationer och forskningen handlar om elevers kunskapsutveckling i matematik.
Föreläsning
Barns kunskaper i matematik vid skolstarten
När barn börjar skolan är deras kunskaper i matematik överlag mycket goda även om de individuella
skillnaderna är stora. Barnen kan använda tal inom talområdet 0-6, dvs. göra jämförelser och kombinera rätt
siffra med rätt antal föremål. En stor del av barnen visar stor säkerhet i att räkna antal upp till 32 och i att skriva
tvåsiffriga tal. Däremot differentierar den abstrakta talramsan barnen. De uppfattar de språkliga uttrycken ”talet
före” och ”talet efter” på olika sätt. Hos vissa barn har de informella kunskaperna ännu inte utvecklats till den
distinktion och exakthet som karakteriserar matematisk kunskap. Barnens säkra talbehandling noteras också i
deras goda förmåga att lösa muntliga textuppgifter inom talområdet 0-10. De förstår överlag det språkliga
innehållet i räknehändelserna och visar god förståelse för val av rätt räknesätt. Talområdet utgör begränsningar
och när talområdet överstiger 10 uppstår skillnader i resultat. Skolnybörjarna är således långt på väg i sin
talkonstruktion. Detta har den positiva följden att matematiken upplevs som lätt och lusten att lära är stor. Lusten
att lära hänger samman med att de förstår matematik.
Om lärare inte är medvetna om dessa kunskaper hos barnen ställs ribban för lågt, vilket har konsekvenser för
elevernas senare inlärning. Barns kunnande men också deras syn på och attityder till matematik grundläggs
under tiden före och efter skolstarten.
Vad händer med elevernas matematikkunskaper?
De goda kunskaper som eleverna bär med sig vid skolstarten visar sig genom ett stort intresse för matematik
under de första skolåren. Från 6 till 7 års ålder utvecklas antalsräknandet mot större säkerhet.
Kunskapsutvecklingen är under det första skolåret så markant och har så stor överspridningseffekt att vissa barn
utvecklar kunskaper även inom sådant matematikinnehåll som ännu inte behandlats i skolkursen.
Med elevernas stigande ålder minskar lösningsfrekvensen för årskurstypiska uppgifter och andelen olösta
uppgifter ökar. Det sker en gradvis utslagning som beror på övergång till högre talområden och
matematikuppgifter med komplexa strukturer, vilka kräver mer sammansatta tankefunktioner. Det finns bl.a.
brister i begreppsförståelsen när det gäller vårt positionssystem och de rationella talen.
När eleverna utför räkneoperationer anpassar de räknemetoden till talens struktur och det finns stora variationer i
själva räknestrategin. Att kunna beskriva en räknestrategi visar på en medveten kunskap hos eleverna. Redan vid
9 års ålder har vissa elever förmåga att ge en skriftlig förklaring till hur de tänker. Dessa räknestrategier uttrycks
med ord eller tal- och teckensymboler. Genom att analysera räknestrategier är det möjligt att utvärdera kvalitet
och felsvar i elevernas räknande. T.ex. genom att studera räknestrategier till en fellösning kan man få
information om hur det barn tänker, som ger samma svar men själv inte kan verbalisera sin strategi. En didaktisk
konsekvens av denna felanalys är att kunskaper om ett barns tankefel kan användas för att förstå ett annat barns
tänkande eller för att medvetandegöra ett annat barn på sitt tänkande och sin lösning. Även om kvalitativt bättre
räknestrategier växer fram med stigande ålder finns det vissa typer av räknefel som förekommer under hela
grundskoltiden.
Elevernas goda förmåga att lösa muntliga textuppgifter vid skolstarten visar att man redan då kan inleda en
systematisk träning av textuppgifter. Numeriska talvärden och textens semantik har stor betydelse för hur
eleverna lyckas lösa textuppgifter. T.ex.genom att till en början använda låga talvärden och en lätt textsemantik
får eleverna uppleva att de kan lösa textuppgifter. Genom att erbjuda uppgifter med varierande strukturer och
systematiskt träna olika problemlösningsuppgifter utvecklas elevernas tankeförmåga.
Kan man förutsäga hur eleverna kommer att lyckas i matematik?
Resultatet vid 6 års ålder har ett mycket litet prediktionsvärde för fortsatt utveckling. För att kunna jämföra
resultaten vid 6, 12, och 15 års ålder delades eleverna in i prestationsgrupper utgående från summapoäng. Det
visade sig att eleverna vandrar mellan prestationsgrupper. T.ex. av 35 lågpresterande elever vid 6 års ålder är 19
elever kvar i samma prestationsgrupp vid 9 års ålder medan elva elever gått över till gruppen mellanpresterande
och fem till högpresterande. Liknande förändringsmönster finns mellan övriga åldersnivåer. Andelen elever som
tillhör samma prestationsgrupp under hela skoltiden är mindre än 20 %. Detta resultat tyder på att skolan som
inlärningsmiljö har en mycket stor betydelse för elevernas inlärning och att lärares engagemang och intresse för
matematik påverkar elevers lärande.
Litteratur
Häggblom,L. (2000). Räknespår. Barns matematiska utveckling från 6 till 15 års ålder.
Åbo Akademis förlag.
Skolverket.(2003). Lusten att lära. Skolverkets rapport nr 221.
226
Behöver Sverige ett matematikgymnasium?
1986 startades ett försök med ett matematikgymnasium vid Danderyds gymnasium.
Utbildningen har sedan permanentats. Här ges en beskrivning av utbildningens upplägg,
erfarenheter och framtidsutsikter för att avslutas ed en diskussion om hur vi tar hand om
matematikbegåvningar.
Susanne Gennow ansvarar för och undervisar på Matematikgymnasiet vid Danderyds
Gymnasium, Danderyd, samt är engagerad i Högstadiet Matematiktävling, HMT, och
Kängurutävlingen.
Föreläsning
Höstterminen 1986 startade en femårig försöksverksamhet med en speciell matematiklinje på
Danderyds Gymnasium. Här skulle matematikbegåvade elever få en möjlighet att möta
utmaningar, kunna gå snabbare fram med den vanliga gymnasiekursen och träffa matematiker
som undervisade om sina specialområden. Utbildning hade initierats av professor Lennart
Carleson och innehållet hade utarbetats i samarbete med Matematiska Institutionen vid
Stockholms Universitet, KTH och Mittag Lefflers Institut i Djursholm. Parallellt med den
vanliga matematikkursen läste eleverna kurser med högskolekaraktär. Det första läsåret
ägnades huvudsakligen åt algebra, det andra åt analys och det tredje året hade mer skiftande
innehåll. Varje vårterminen hade eleverna två lektioner per vecka med lärare från högskolan
inom områden som Galoisterori, fraktalteori m.fl. Utbildningen permanentades efter det
femåriga försöket och har riksintag.
Gymnasieskolan har förändrats sedan 1986. Det fanns då få valmöjligheter för eleverna, det
var den närmaste gymnasieskolan som var det naturliga valet. Vi hade ett linjegymnasium
med ett slutbetyg i matematik. För matematikelever syntes inte de extra matematikstudierna i
betyget, de kunde till och med vara en belastning, om det gällde att få höga betyg även i alla
övriga ämnen för att komma in på den önskade högskoleutbildningen. Höstterminen 1994
startade det nya programgymnasiet som HT 2000 fick en delvis struktur.
Vi såg här en möjlighet till att kunna betygsätta de extra kurser som eleverna läser. Dessa
kurser har utarbetas och prövats under flera år och både när det gäller kursinnehåll och
placering i tid finns tankegångar från den ursprungliga försöksverksamheten kvar. Eleverna
har utöver MaA-E fyra obligatoriska matematikkurser på vardera 50 poäng. De har sedan
möjligheter att välja ytterligare fem matematikkurser vilket flertalet av eleverna göra.
Alla elever som söker utbildningen kallas till ett intagningsprov. Provet består av två delar, en
basdel och en problemdel. Basprovet har under alla år varit detsamma och resultatet på det
speglar elevens möjlighet att klara utbildningen. Den slutliga intagningen baseras på resultatet
på intagningsprovet och elevens slutbetyg från åk 9.
Den nya gymnasiereformen har även gjort det möjligt för andra gymnasieskolor att starta
attraktiva utbildningar. Ett ökat antal friskolor har startats de senaste åren. Vi har fått en ökad
konkurrens om eleverna och under de två senaste åren har vi märkt ett vikande elevunderlag.
Utbildningen är fortfarande unik och den gemenskap och de likartade intressen som eleverna
har, gör att de utvecklas enormt. Det resulterar i fina studieresultat och tävlingsframgångar.
227
Fem år med ”Kängurutävlingen-Matematikens Hopp”, en
matematiktävling för alla
Kängurutävlingen är en stor internationell tävling som genomförs i närmare 30 länder.
Sverige deltog för första gången 1999. Tävlingen har därefter kommit att omfatta fler
tävlingsnivåer och därmed fler skolor och elever. Vi vill här ge en bakgrund till tävlingen,
beskriva vår avsikt med den och summera erfarenheterna.
Susanne Gennow ansvarar för och undervisar på Matematikgymnasiet vid Danderyds Gymnasium, Danderyd,
samt är engagerad i Högstadiet Matematiktävling, HMT, och Kängurutävlingen.
Föreläsning
Kängurutävlingen är som namnet säger en matematiktävling som har sitt ursprung i Australien. 1991 lanserades
den i Frankrike, därifrån har den hoppat vidare ut i Europa och även till Mexico, Brasilien och Venezuela.
Tävlingen finns i fem klasser, Ecolier (åk 3 och 4), Benjamin (åk 5, 6 och 7), Cadet (åk 8 och 9), Junior (Gy åk 1
och 2) och Student (Gy åk 3).
I varje tävlingsklass finns 30 problem (Ecolier 24) med fem svarsalternativ indelade i tre poängnivåer.
Tävlingstiden är 75 minuter och räknare är inte tillåten. Tävlingen officiella tävlingsdag är tredje torsdagen i
mars.
Varje år arrangeras i början av november ett internationellt möte med representanter från de deltagande länderna.
Inför mötet skickar länderna in förslag på tävlingsproblem och arrangörerna i landet där mötet äger rum,
sammanställer ett digert material. I arbetsgrupper, en för varje tävlingsklass, väljs lämpliga tävlingsproblem ut.
Det blir stundtals livliga diskussioner då vi inte alltid är överens om svårighetsgraden och nivån. Varje land har
sedan rätt att byta ut upp till fem problem för att anpassa tävlingen till sina elevers kunskapsnivå.
Till Sverige har tävlingen kommit på initiativ från SKM (Svenska Kommittén för Matematikutbildning) inom
KVA. Ett försök genomfördes mars 1999 i ett 30-tal skolor med tävlingsklassen Benjamin. Försöket fick ett
positivt gensvar även om det var för många tävlingsuppgifter och tävlingstiden var för kort. Uppgifterna
uppskattades, de var roliga, annorlunda även om några ansågs svåra. Vi ville i första hand vända oss med
tävlingen till elever på mellanstadiet och hoppades att med den kunna behålla elevers intresse för matematik. År
2000 fick alla mellanstadieskolor (ca 4000) en inbjudan att delta i tävlingen och en femtedel av skolorna visade
intresse för den.
Tävlingen genomförs nu i NCM:s regi. Vi som främst arbetar med tävlingen är Susanne Gennow, Danderyds
Gymnasium, Danderyd, Göran Emanuelsson, Ronnie Ryding och Karin Wallby, NCM samt Mikael Passare,
Matematiska Institutionen, Stockholms Universitet. Vi har tagit åt oss av erfarenheter från de första åren och
andra länder. Vi har reducerat antal problem och utvidgat tävlingen till att omfatta tre tävlingsklasser, Ecolier,
Benjamin och Cadet. De yngsta eleverna får 20 problem medan de andra får 24 problem fortfarande på tiden 75
minuter. Under de senaste tre åren har vi samlat tävlingsmaterialet i ett häfte som utöver information och
tävlingstext innehåller förslag på lösningar och hur man kan arbeta vidare med problemen. Problemen är för bra
för att inte användas i undervisningen efter tävlingens genomförande.
Vårt syfte är inte att bara erbjuda en tävlingen med roliga och annorlunda problem utan även visa på hur
tävlingsproblemen kan ge upphov till många innehållsrika matematiklektioner. Det är tiden efter tävlingens
genomförande som är den viktigaste. Tävlingen genomförs individuellt men efteråt kan problemen användas för
gruppdiskussioner och utvidgningar. I och med att varje uppgift har fem svarsalternativ finns det fler strategier
att hitta rätt svar. Den vägen som eleverna är vana vid är att försöka lösa problemet och se om lösningen leder
fram till ett av de fem alternativ. En annan möjlighet är att titta på svarsalternativen, vilka av de kan vara möjliga
och utifrån det resonemanget finna rätt svar.
Intresset för tävlingen har under de fem åren ökat och utifrån de anmälningar vi får in borde antalet tävlande vara
uppemot 130 000. Tyvärr är inte rapporteringen av antal deltagare och statistik efter genomförd tävlingen särskilt
bra. Utifrån den rapporteringen har vi uppskattat de senaste årens deltagande till närmare 80 000 för de tre
tävlingsklasserna Ecolier, Benjamin och Cadet. Statistiken ger oss information om problemens lämplighet och
svårighetsgrad. Vi tittar på varje problems lösningsfrekvens utifrån årsklass och kön. Det finns alltid några
gemensamma uppgifter inom de olika tävlingsklasserna och här finns möjlighet att se om elevernas matematiska
förmåga har utvecklats i en högre årskurs. Vi har också möjlighet att reflektera över varför t.ex. pojkar klarar
vissa problem bättre medan flickor dominerar på andra.
Från och med år 2003 kan anmälan ske via Internet vilket underlättar vårt arbetet. Anmälan kan direkt läggas in i
registret över deltagande skolor och tävlingsmaterialet skickas sedan som pdf-fil till angiven e-postadress. Även
rapporteringen av statistik kan ske via Internet.
Till tävlingsomgången 2004 kommer vi även att erbjuda möjligheten att genomföra tävlingsklasserna Junior och
Student för gymnasiet. För tävlingsklasserna Ecolier, Benjamin och Cadet kommer tävlingstiden att begränsas
till 60 minuter varvid antal uppgifter kommer att reduceras.
Litteratur
Gennow, S. (1999). Kängurutävlingen  Matematikens hopp. Nämnaren 26(2), 44-45
Gennow, S. & Wallby, K. (2000). Kängurutävlingen hoppar vidare. Nämnaren 27(3), 56-57
Gennow, S. (2000). Problemavdelningen. Nämnaren 27(4), 62-63
Kängurusidan i Nämnaren årgång 28, 29 och 30
Kängurusidan på http://namnaren.ncm.gu.se
231
Matematiska spel från olika kulturer
Hur kan man använda spel från olika kulturer för att utveckla barns taluppfattning och
reflektion? Deltagarna får i workshopen aktivt pröva några spel som kan användas för att
utveckla elevers förhållningssätt till matematiska problem.
Sune Jonasson och Kristina Lindgren är universitetsadjunkter i matematik, teknik och fysik
vid Högskolan Kristianstad och arbetar huvudsakligen med lärarutbildning och fortbildning
av verksamma lärare.
Work-shop
Spelhistorik
Spel är en del av vår kultur. Spelterminologin har trängt in i vårt vardagsspråk. Uttryck
som, Spela ett högt spel! och Det är ruter i henne! är bara ett par exempel på detta. Alea
iactta est, tärningen är kastad lär Julius Caesar ha sagt när han 49 f Kr beslöt sig för att
korsa floden Rubicon för att om möjligt inta Rom. Flera andra romerska kejsare var ivriga
spelare. Kejsar Cladius skrev till och med en bok om spel. Redan under vikingatiden
förekom tärningsspel i Norden. Under århundrandena har samhällets syn på spel varierat
mycket. När 1800-talets väckelse- och nykterhetsrörelser var starka betraktades spelandet
som en synd. Spel och alkoholmissbruk ansågs som roten till mycket ont. Några flyttspel
ansågs dock ganska harmlösa. Med dessa som förebilder började det sena 1800-talets
folkbildare att konstruera pedagogiska spel för att utnyttja allmänhetens spelintresse i
folkbildningens tjänst. Spel för att lära sig olika t.ex. svampar, fåglar och Sveriges städer
blev vanliga.
Spel och matematik
Genom att använda spel i matematikundervisningen kan man på ett lättsamt och trevligt
sätt förbättra elevernas taluppfattning, logiska förmåga, reflektion och problemlösning. De
historiska spelen kan användas när vi behandlar matematiken ur ett kulturhistoriskt
perspektiv. Reglerna för vissa spel är uråldriga men i många spel kan det vara lämpligt att
läraren inte ger eleverna alla regler och restriktioner från början. Man ger tillräckligt
många regler för att spelet skall komma igång, sedan får eleverna själv komma överens om
hur man kan ändra eller komplettera spelreglerna om de vill.
Spel i olika kulturer
Historiskt sett har matematiken varit väl utvecklad både i Afrika, Asien och Amerika.
Enligt vår uppfattning är det viktigt, att skolan ger en mångkulturell vinkling på
matematiken. I litteraturen finns det många spel som har sitt ursprung i andra kulturer än
den västerländska. När vi vill arbeta med olika spel i matematiken är urvalet hur stort som
helst.
Litteratur
Coates G. & Stenmark J. (1997). Family Math for Young Children. Family Math Lawrence Hall of
Science
Currah J. & Felling J. (1994). Math games for kids using 30-sided dice.
Del Regato J. Gilfeather M. & Schwarm J. (1992). Matematics Pentalon Division I. Indianapolis.
Del Regato J. & Gilfeather M. & Schwarm J. (1991). Matematics Pentalon Division II. Indianapolis
Downie D.& Slesnick T. & Stenmark J. (1981). Math for Girls and other problem solvers. EQUALS,
Lawrence Hall of Science
Gilfeather M. (1993). Adventures in Problem Solving activity book I for matematics Pentalon
Grunfeld Fredic V. (1978). All jordens spel och lekar. Bra Böcker.
Orlando L. (1993). The multicultural Game Book. Scholastic.
Statens historiska museum, HASARD genom tiderna
Stenmark K. & Thompson V. & Cossey R. (1986). Matte hemma Matte i skolan. Lund.
Studentlitteratur.
Thompson V. & Mayfield-Ingram K .(1998). Family Math The middle school Years. Family Math
Lawrence Hall of Science
Wikinson, John & Sheppard. Reg. (1989). The Stategy Games. Norfolk. Tarquin Publications.
Zaslavsky, C. (1994). Multicultural Math. Scholastic.
232
Matematikanteckningsboken
En beskrivning av hur jag använder anteckningsbok i matematikundervisningen, främst på Akursen, och vilka erfarenheter detta har givit mig under de mer än tio år som jag har har hållit
på. Rätt använd ger matematikanteckningsboken ett bidrag till elevens begreppsbildning
genom skrivprocessen.
Agneta Beskow är lektor i matematik och fsik vid Polhemsgymnsiet i Göteborg.
Föreläsning
En anteckningsbok i matematik ger läraren möjlighet att upptäcka ofullständig förståelse och
felaktiga uppfattningar och utgör grund för en kontinuerlig interaktion, vad gäller förståelse,
mellan elev och lärare. Genom att läraren kan hinna med att titta i en eller ett par böcker vid
varje lektionstillfälle får han möjlighet att undan för undan diskutera förståelse med alla
elever. Det är också möjligt att ta in några böcker och skriva anmärkningar, vanligen med
texten: ”Varför?” eller "Förtydliga!”, på post-it-lappar.
Eleven skall skriva ned det han tycker sig ha förstått på ett sådant vis att han sedan kan gå
tillbaka och använda boken som matematisk uppslagsbok. Under arbetet med att formulera
sina tankar i ord tvingas han att reflektera och nå djupare förståelse, eller inser att han saknar
sådan. Boken kan, om den sköts på rätt sätt, ge ett gott underlag för betygssättning.
Att få sina elever att börja skriva i en anteckningsbok är svårt. Att få dem att inse värdet av
detta arbete och att börja producera något som är värdefullt är ännu svårare och mycket
tidskrävande. Emellertid är vinsterna så stora att jag idogt har fortsatt med detta arbete hela
tiden sedan jag började för tolv år sedan.
Eleven skriver först för att göra mig nöjd eller för att jag lockar med att boken får användas på
skrivningar. Man börjar trevande, ofta med typexempel istället för text. När jag dömer ut detta
vill man ha mycket hjälp för att förstå vad det handlar om. Det är då viktigt att förklara att det
inte gäller att hitta den enda korrekta beskrivningen sådan som läraren vill ha den – ett facit
finns inte. Det stora värdet med att skriva i en anteckningsbok ligger inte i att man har en legal
fusklapp att ha med sig på skrivningar utan ligger i själva arbetet med att formulera sina
tankar i ord.
Det är viktigt att ge stor frihet i början och vara mycket uppmärksam på när eleven ”fiskar”
efter diktamen av fraser som man tror läraren vill ha. Man kan till en början hjälpa till med
”recept” men måste vara snabb med att haka på med ett ”Varför?”.
Vid lämpliga tillfällen uppmanar jag alla att skriva ned vad de lärde sig föregående lektion.
Inga läroböcker får användas. Stoffet har då hunnit sjunka in och är lättare att överblicka och
sammanfatta. Detta ger en situation som underlättar förståelsen av hur anteckningar kan göras
och som aktiverar eleverna på ett annat sätt än om jag gjort en sammanfattning vid tavlan.
När jag uppmanar en elev som bett om hjälp med en uppgift, som man fastnat på, att skriva
ned vad han förstått av vår diskussion, finner jag ibland att jag har behandlat ett symptom men
inte den grundläggande missuppfattningen. Tiden räcker helt enkelt inte till för att man skall
kunna kontrollera elevernas förståelse ordentligt medan man rusar runt och försöker hjälpa
alla. Nu kan jag återkomma efter en stund när eleven har kunnat reflektera i lugn och ro över
vad vi sagt och eventuellt lyckats skriva ned en, för honom, användbar förklaring.
Jag finner rikligt med exempel på ofullständiga eller felaktiga texter. Man kan ju fundera
länge över vad följande skall betyda: En ekvation funkar inte för alla variabler.
Eleven menade att värdet på uttrycket i höger led inte blir lika med värdet på uttrycket i
vänster led annat än för vissa värden på variabeln. Han behövde både undervisning om
terminologi och ytterligare förklaring av vad en ekvation är.
Ett annat exempel som gav mig huvudbry är detta: km/h till m/s dela med 3,6. Regel som .
Det visade sig att eleven (förmodligen p g a att de båda talen ligger nära varandra) inte insett
att siffran 3,6 härleds ur enheterna.
Man kan få en del värdefulla pedagogiska idéer av sina elever. När jag plussar bråk så ändrar
ju inte bitarna form, de blir bara fler. Säg två stycken åttondelar för delarna är som en enhet.
En elev som anstränger sig med att skriva regelbundet i sin anteckningsbok lär sig även att
redovisa sina lösningar på uppgifter på ett bra sätt.
Anteckningsboken har med tiden kompletterats med en ordlista. Man vänder boken och
använder bakre delen till ett matematiskt lexikon. I denna del är det tillåtet att ibland skriva
ned förklaringar som man kopierar eller som dikteras. Det är också tillåtet att använda
exempel, men jag understryker att det bästa är att skriva en egen text som man själv kan förstå
och använda. Det har blivit nödvändigt att göra på detta sätt för att ge svaga elever en chans
att komma igång med att skriva.
De terminologitest som jag under många år har genomfört med mina elever visar att
betydelsen av termer som t ex summa, produkt, term och faktor, inte är befäst hos mer än ca
20 % av ettorna. Många elever i trean blandar fortfarande ihop dessa enkla termer. Vad ett
uttryck eller en ekvation är kan nästan ingen elev ens i år 3 beskriva på ett adekvat sätt, om de
inte har brytt sig om att skriva anteckningsbok.
Ingen annan pedagogisk ”nyhet” som jag har provat har givit bättre utdelning för nedlagt
arbete, elevens och mitt, än anteckningsboken.
233
”Civilingenjör & Lärare” – en ny integrerad utbildning vid KTH
och LHS i Stockholm
Hösten 2002 startade ett nytt utbildningsprogram Civilingenjör & Lärare vid Kungl Tekniska Högskolan (KTH)
och Lärarhögskolan (LHS) i Stockholm. Utbildning, som är om 200 poäng, leder fram till en
civilingenjörsexamen och en lärarexamen inom någon av ämneskombinationerna Matematik/Fysik,
Matematik/Kemi eller Matematik/Data-IT.
Under föredraget kommer vi att berätta mer om utbildningens målsättning, struktur och innehåll.
Gunilla Olofsson, LHS. Universitetsadjunkt i matematikdidaktik. [email protected]
Hans Thunberg, KTH. Programansvarig och lektor i matematik. [email protected]
Föreläsning
Hösten 2002 startade ett nytt utbildningsprogram Civilingenjör & Lärare vid Kungl Tekniska Högskolan (KTH)
och Lärarhögskolan (LHS) i Stockholm. Utbildning, som är om 200 poäng, leder fram till en
civilingenjörsexamen och en lärarexamen, med inriktning mot gymnasiet och grundskolans senare år, inom
någon av ämneskombinationerna Matematik/Fysik, Matematik/Kemi eller Matematik/Data-IT.
Historiskt sett är det inget nytt med personer som har en dubbel yrkesidentitet som ingenjör och lärare. Det har
länge funnits möjligheter att bygga på en ingenjörsexamen med ett ”pedagogiskt år”, och många lärare i
matematik, naturvetenskap och teknik har en ingenjörsbakgrund. Tidvis har rörelsen gått åt andra hållet: lärare
har sökt sig till arbetsplatser utanför skolan där de har kunnat bruka sin kompetens inom dessa ämnesområden.
”Civilingenjör & Lärare” tar fasta på denna dubbla identitet redan från början. Pedagogik, didaktik, ämnesteori,
tvärvetenskap och ingenjörskurser varvas under hela utbildningen utifrån ett programtänkande, där ett
helhetsperspektiv har fått styra valet av kurser och deras utformning. Så är t.ex. de tvärvetenskapliga kurserna
valda för att förstärka och ge perspektiv på såväl ingenjörs- som lärarkompetensen, och viss moment inom det
allmänna utbildningsområdet samordnas med ämnesdidaktiken. Skall man kort sammanfatta utbildningens mål,
är det att utbilda lärare i matematik, naturvetenskap och teknik med en extra god förmåga att levandegöra
kunskap genom tillämpningar och problemlösning och att, i en och samma person, utbilda civilingenjörer med
spetskompetens inom området Teknik och Lärande.
Vid antagningen hösten 2003 var Civilingenjör & Lärare med sina 60 fyllda platser en av de största
lärarutbildningarna i landet inom sina ämneskombinationer. Preliminära undersökningar tyder på att
utbildningen har lockat nya studentgrupper att utbilda sig till lärare, och att det är just karriärvägar som innefattar
bägge professionerna som lockar.
Under seminariet kommer vi att berätta mer om utbildningens målsättning, struktur och innehåll. Information
finns också på http://www.kth.se/student/cl/
235a
Att upptäcka matematiken med symbolhanterande räknare
Föreläsningen ger exempel på laborationer och undersökande arbetssätt med symbolhanterande räknare.
Visioner blandas med observationer och erfarenheter från klassrummet. Vad vinner vi? Förlorar vi något?
Patrik Erixon är matematik och fysiklärare på Vägga gymnasieskola i Karlshamn och styrelsemedlem i
Sveriges Matematiklärarförening, SMaL.
Föreläsning
Visioner
Ser två positiva anledningar till varför vi bör använda symbolhanterande räknare i matematikundervisningen:
1.
Ett pedagogiskt verktyg för inlärning. En symbolhanterande räknare ger helt nya möjligheter att
undersöka och laborera med algebra. Elever kan själv få upptäcka samband och nya begrepp. Dessutom
kan eleven konfronteras med sina ev. felaktiga föreställningar genom att direkt få se resultatet av sina
beräkningar och också möjlighet att direkt undersöka och korrigera.
2.
En katalysator för utveckling av matematikämnet och dess innehåll. En räknare som klarar av att
hantera algebra kräver en genomlysning av vad som är viktigt att kunna utan hjälpmedel och diskussion
kring varför. Idag saknas den diskussionen och mycket tid läggs till att lära regler och metoder,
matematikundervisningen blir ett kvantitativt kopierande av givna exempel. Dessutom hoppas ofta av
tidsbrist bevis, fördjupningar och problemlösning över till förmån för ”kopierandet”. Låg verkningsgrad
vad gäller förståelse. Ett symbolhanterande hjälpmedel kan låta fler se helheten och lägga tonvikten på
att lösa problem, ställa upp ekvationer att arbeta med begreppsförståelse.
Observationer
Har haft två klasser utrustade med symbolhanterande räknare.
En NV-klass som började och läste A- och B-kurs med vanlig grafräknare och sedan fick låna en
symbolhanterare för C- och D-kurs. I denna grupp var jag mest nyfiken på vad som händer om de får ett
symbolhanterande hjälpmedel utan att jag förändrar min undervisning nämnvärt. Detta då jag hoppades kunna
visa att ev. risker med detta hjälpmedel inte är särskilt stora om man bara har viss insikt i vad räknaren kan göra.
En direkt nödvändighet är t.ex. att, likt de nationella proven, ha en räknarfri del på provskrivningar. Tycker mig
kunna notera några observationer i denna grupp:
- Några elever verkar ha hjälpts att komma vidare och kunnat lösa problem där de kanske annars fastnat i t.ex.
någon krånglig derivering.
- Har på enkelt sätt kunnat visa och demonstrera samband och regler och då även diskuterat matematik.
- Eleverna har kunnat använda räknaren som kontroll och ibland fått reflektera lite extra då räknarens svar inte
alltid varit identiskt med facits.
- Har sett några exempel på förvirring vad gäller användning och tolkning av variabler samt givna svar. Lite
extra tid till detta hade varit nyttigt.
- Det nationella prov som gruppen gjort har med endast små justeringar fungerat mycket bra även med detta
hjälpmedel.
Det är svårbedömt hur pass stor inverkan räknaren haft i denna grupp där jag hållit mig ganska passiv vad gäller
räknarens möjligheter. Intressant hade varit med en jämförelse med en referensgrupp. Min slutsats är dock att ev.
risker med hjälpmedlet är små och inte kan motivera att hjälpmedlet inte ska vara tillåtet på t.ex. nationella prov.
Har idag en annan NV-klass som utrustats med symbolhanterare direkt från A-kurs och nu är inne på sin andra
termin. I denna grupp har jag lite mer aktivt försökt utnyttja hjälpmedlets möjligheter och även utgått från
tidigare erfarenheter. Har ett vanligt läromedel som jag kompletterat med laborationer och andra uppgifter både
med och utan räknare som de samlat i egen mapp. Observationerna så här långt är mycket positiva.
- Räknarnas möjlighet att enkelt växla mellan exakta svar eller decimalsvar har givit bra repetition och nyttiga
diskussioner.
- De laborationer vi gjort med räknare kring bl.a. baskunskaper i aritmetik har fungerat bra och bl.a. möjliggjort
ett arbete där eleven konfronteras med och förstärker grundläggande kunskaper.
Exempel på undersökande uppgifter, Ma A
1.
Undersök med räknaren om följande är sant. Om det är lika motivera varför!
0,6  a  0,6a 
2.
3
3a
a
5
5
En elev gör följande felaktiga beräkning. a  a  2a
3
5
15
Vad är den korrekta förenklingen? Motivera! Hur tror du eleven tänkt?
3.
Undersök om följande elevuträkningar är rätta. Om inte hur ska de vara ? Förklara ?
Hur tror ni eleven tänkte ?
a)
2x  y
 x y
2
b) 2 ( x  3)  2 x  3
combine (
1 1
 )
z x
4.
Beräkna med räknaren
Förklara resultatet!
5.
Lös med räknarens solve-kommando ekvationen
x7 = 5 Vad blir svaret exakt ? Motivera varför!
Exempel MaD, Produktregeln
Undersök derivatan av följande produkter med din symbolhanterande räknare:
d
x  sin x  =
dx
d 2
x  ln x
dx




d
cos x  e 2 x =
dx
=
Studera resultatet och formulera med egna ord en regel för hur man deriverar produkter av funktioner.
Derivera sedan följande funktioner utan räknare med hjälp av din regel.

d
cos x  x 4
dx

=

d
2x  x3
dx

=
Kontrollera dina svar med räknaren. Stämmer din regel?
Undersök med egna exempel och ge förslag på regel/tillvägagångssätt på hur man deriverar en produkt med 3 st
faktorer.
Sammanfattning
Mina erfarenheter av symbolhanterande räknare i klassrummet är mycket positiva. Detta hjälpmedel möjliggör
ett undersökande arbetssätt inom områden där det tidigare varit omöjligt samtidigt som det ger en nyttig
genomlysning av vad våra baskunskaper ska vara och vad som är viktigt. Vi har allt att vinna!
235b
Laborativ matematik via internet
En mängd matematiksimuleringar finns idag gratis och enkelt tillgängliga via Internet och
en vanlig webläsare. En rad exempel ges på hur de kan användas som laborationer
respektive demonstrationer samt var de kan hittas.
Patrik Erixon är matematik och fysiklärare på Vägga gymnasieskola i Karlshamn och styrelsemedlem i
Sveriges Matematiklärarförening, SMaL.
Föreläsning
Vad är Internetsimuleringar?
På Internet finns en mängd olika sidor som innehåller matematiksimuleringar. Dessa simuleringar är i de flesta
fallen s.k. java-applets, interaktiva sidor som styrs av den vanliga web-läsaren utan någon extra programvara.
Simuleringarna är gratis att använda och kan nås från vilken Internetuppkopplad dator som helst. Nedan ges ett
exempel på en simulering där pythagoras sats kan undersökas genom att först välja en rätvinklig triangel, genom
att klicka och dra, och sedan pussla in de två mindre kvadraterna i den större.
Varför arbeta med simuleringar på internet?
Simuleringarna tillför en dimension utöver de vanliga läromedlen med en möjlighet att själv
undersöka och förstå matematiska begrepp. Detta utan att behöva köpa dyr programvara som
dessutom kräver tid till att lära sig själva handhavandet. Simuleringarna är enkla att använda
och lättillgängliga.
Ett undersökande arbetssätt, med t.ex. matematiksimuleringar, ger variation och stimulerar till
diskussion. Att själv få undersöka och diskutera främjar förståelse. Om en elev kan upptäcka
ett begrepp eller förstå principen bakom en metod så bör arbetet med den matematiska
modellen bli enklare och kanske t.o.m. roligare?
Hur arbetar man med simuleringar i sin undervisning?
En förutsättning är naturligtvis tillgång till Internetuppkopplade datorer. Bra att ha är bärbar
dator och dataprojektor för att kunna visa storbild i helklass även i vanliga klassrum.
Möjliga arbetssätt:
- Laborationer. Eleverna kan arbeta med frågeställningar som: Vad visar simuleringen ? Förklara hur
simuleringen visar att sambandet gäller. m.m. Sina svar kan de redovisa i en laborationsrapport. Viktigt vid
arbetet är att bromsa upp och att de dokumenterar sina svar! Erfarenheter visar att de arbetar alldeles för fort
samt reflekterar för lite över uppgifterna om de inte behöver dokumentera eller om de får för många uppgifter.
Tyvärr är många idag vana vid ett arbetssätt vid användning av Internet där de snabbt hoppar mellan sidor och i
hög fart klickar sig fram. Ett sådant arbetssätt främjar inte förståelse.
- Demonstrationer. Simuleringarna ger en möjlighet att på ett enkelt sätt visa och illustrera en mängd olika
begrepp vid t.ex. introduktion av nya begrepp.
- Hemläxor/Inlämningsuppgifter/eget arbete m.m. Eleverna har idag i hög utsträckning tillgång till datorer med
Internet både hemma och på skolan vilket möjliggör många olika användningar.
Exempel på simuleringar
Det stora antalet tillgängliga simuleringar gör att det är ganska enkelt att finna olika simuleringar till
gymnasiekursernas olika moment även om det är ont om svenska hemsidor med matematiksimuleringar
anpassade till våra förhållanden. Exemplen är hämtade från en japansk och en tysk sida med ett flertal
simuleringar.
Ma C, derivata
Skärmbilden intill visar en simulering där en
given kurvas lutning kan undersökas genom att
flytta tangenten (surfaren).
Tänkbara frågeställningar:
- Vad har derivatan för samband med en kurvas lutning ?
- Bocka för Trace och undersök var derivatan är positiv, negativ eller noll. Vad finner du ?
Ma D, trigonometri
Bilden intill visar en simulering där eleven genom
att klicka och dra kan se hur de trigonometriska
kurvorna skapas med hjälp av enhetscirkeln.
Exempel på frågeställning:
-Förklara hur enhetscirkeln kan användas till att
konstruera
de
trigonometriska
grafer.
Internetkällor (03-11-09)
http://www.ies.co.jp/math/java/
http://www.walter-fendt.de/m11e/
funktionernas
237
En stillsam färd genom den matematiska analysens
färgrika och omväxlande landskap
Glid från källan Naturliga längs floden Ekvationslösning, förbi byarna Hela, Rationella,
Reella och Komplexa, ut ur landet Tal, förbi vulkanen Oändlighetens branta slutningar,
ändå ner till Lösta Ekationers Hav vid landet Differentialekvation.
Den första s.k. matematikkartan presenteras, konstruerad på Lärarutbildningen i
Malmö 2002. En matematikkarta ger elever helhetsinsikt samt sporrar
matematikaktivitet.
Håkan Lennerstad är docent i tillämpad matematik, verksam vid Blekinge Tekniska
Högskola.
Föreläsning
Denna presentation är en filmvisning av en resa genom ett matematiskt
landskap: matematik A-E. Denna text är ett smakprov på visningens inledning.
Glid längs floden Ekvationslösning, från källan Naturliga, förbi de små byarna Hela, Rationella, Reella och Komplexa. Glid vidare genom Funktion ända ner till den stora hamnstaden
Allmän Lösning i Differentialekvationsriket, vid Lösta Ekvationers Hav.
Vandra genom den ockuperade staden Partikulärlösnings smala gränder.
Eller följ forsen Approx från vulkanen Oändlighetens branta sluttningar, via Derivata och
Lutande sjön, förbi tvillingstäderna MacLaurin och Taylor, och ut i Kalkyle älv vid
Riemannsumma.
Eller segla från Kalkyle älvs källor (vid samma vulkan), längs dess vindlingar på
Standardgränsvärdesslätten, vidare ut på Standardderivataslätten, under Analysens Huvudsats’
trafikerade broar, och ut på Standardintegralslätten. Med reservatet bl.a. innehållande den
vilda arten sinx/x. Älven som vid Analysens Huvudsats byter namn till Primitiv, slutar också i
Lösta Ekvationers Hav, vid en annan hamnstad: Integrerande Faktor. Här mynnar också
floden Produkt.
238
Översättningar matematiska/svenska kan ge elever
matematisk frihetskänsla
En förutsättning för elevers mod, kunskapsinhämtning och upptäckande är att känna frihet och säkerhet med
språket. Det gäller inte minst matematikens märkliga formelspråk: matematiska. Språk, inklusive matematiska,
är ofta tyst kunskap. Lättast sätt att visa matematiskan, och innehållet, är kanske regelbundna översättningar
matematiska/svenska. Säkerhet i språket gör alltid innehållet åtkomligare.
Håkan Lennerstad är docent i tillämpad matematik vid Blekinge Tekniska Högskola. Han deltar också i
matematikdelegationens arbetsgrupp Arbetsliv/samhälle /bildning/demokrati.
Föreläsning.
Anna och Bengt –skilda men centrala matematiska kompetenser
Anna kan lösa ganska knepiga matematiska problem på geometriska och andra sätt, men skriver inga lösningar –
i alla fall inte på sätt som vi lärare kan läsa. Bengt är skicklig att räkna rätt med matematiska formler, men vet
inte vad kalkylerna betyder. Kanske man kan säga att Anna och Bengt representerar skilda matematiska kompetenser, som båda är centrala men är av väsentligt olika slag.
Anna tar fasta på matematikens kvantitativa och geometriska betydelser, och kan med detta korrekt lösa många
matematiska frågor. För henne är algebran mest en obegriplig och onödig svårighet, som gör att hon klarar
proven dåligt. Det innehåll, som hon i hög grad behärskar, är matematiken för henne.
Bengt är intresserad av hur siffrorna och formlerna fungerar. Han är inte intresserad av vad formlerna betyder,
och undviker alla problem där han inte direkt kan börja räkna. Han vet hur han kan arbeta med formler och räkna
ut saker, och gör det nästan alltid rätt. Detta är matematiken för honom, vilket bekräftas av att han klarar proven
utmärkt.
Matematiska texter är alltid tvåspråkiga
Matematik är till en väsentlig del är ett språkämne. Matematik är det enda skolämne som har ett eget
specialspråk, formelspråket, låt oss kalla det ”matematiska”. Alla texter i matematik är tvåspråkiga, ty de
innehåller både meningar på svenska och på matematiska. Några lär sig matematiska spontant, andra gör det inte.
För Bengt är matematik samma sak som matematiska. För Anna är matematiska helt onödigt, hon kan lösa
matematiska problem ändå.
Alla har matematisk intuition
Både Anna och Bengt har matematisk intuition. Det är en grundläggande mänsklig egenskap som utvecklas
under de första levnadsåren, och som förstås kan se mycket olika ut och formuleras på mycket olika personliga
sätt. Annas använder och vidareutvecklar ofta sin intuition på matematiktimmarna. Bengts matematiska
intuition och dess bengtska uttryckssätt är helt separat från hans kunnande i det matematiska språket.
Matematiskan bär inte hans intuition. Han använder inte ofta sin intuition i skolan.
Lätt matematiska – djupa språkkunskaper – oartikulerad matematiska
För vissa elever är språket helt självklart, som ett modersmål, vilket är alldeles utmärkt för att komma långt i sina
ämneskunskaper. Det är därför naturligt att de flesta matematiklärare kommer från denna kategori, exempelvis
gör Cecilia det. Men om språket är helt självklart är det oartikulerat. Det betyder att elever kan ha
matematikproblem av ett slag som matematiklärare aldrig anat att de finns.
Vi måste förstå matematiken bättre
Det kan bli mycket svårt för läraren Cecilia att förstå Annas problem. Cecilia har kanske inte hört särskilt
mycket om matematiskan i sin utbildning. Det finns en stor risk att Cecilia drar slutsatsen att hon är en dålig
lärare. Eller att hon finner att Anna har allvarliga problem med sitt lärande.
Men kanske ligger orsaken i att vi har en otillräcklig förståelse av matematikens egenskaper.
Översättningar kan knyta samman intuition och språk!
En översättning mellan matematiska och svenska är en förklaring av en formel som i hög grad ansluter sig till
formeln. Det betyder att
1. Formelns detaljer förklaras, dvs man kan med svenska lära känna matematiskan. Det kan ge Anna möjligheter
att se att matematiskan är mer nära svenskan än hon trodde.
2. Intuitionen uttrycks med svenska, vilket betyder att intuitionen kan överflyttas till matematiskan. Formeln kan
laddas med den mening intuitionen besitter. Bengt kan finna att olika saker som han redan förstår var för sig
faktiskt hör ihop.
3. På sikt framträder matematiskans många fördelar som språk: korthet, entydighet,… .
Översättningar kräver fantasi och att Cecilia vågar använda mycket fria och intuitiva formuleringar på svenska,
för att anknyta intuitionen till matematiskan.
Matematikelever är en sorts invandrare
Matematikelever kan ses som invandrare i matematikens rike. De har begränsade kunskaper i det officiella
språket matematiska, men har däremot mycket matematikintuition. Vi bör inte ignorera deras språkliga behov.
Matematik som matematiska och problemlösning?
Kanske bör matematikämnet delas upp i en matematiska-del och en språkligt fri matematisk problemlösning. Då
kan både Anna och Bengt får erkännande över vad de kan, samt tydligare se hur de kan komplettera sin
kunskap. Detta påminner om hur svenskaämnet är uppdelat i litteratur (innehåll) och lingvistik (språket självt).
Riktiga dialoger elever/lärare
Det osynliga språkproblemet är en barriär för att få till stånd riktiga matematikdialoger mellan elever och lärare.
Det krävs ett speciellt lyssnande från läraren för att förstå och försöka formulera språkproblemet.
239
Samarbete mellan lärare från skolår 1 till 12
Vi startade 1998 ett projekt för att öka samsynen på matematikundervisningen i skolår 1-12. Vi har under
projektets gång fått större förståelse för varandras arbete genom diskussioner, auskultationer och studiebesök.
Tommy Möller är skolledare på Anderslövs 7-9 skola. Ulla-Kerstin Germundsson är lärare i matematik och
fysik på Söderslättsgymnasiet i Trelleborg. Boel Holmqvist är lärarutbildare på lärarhögskolan i Malmö och
matematiklärare på Anderslövs 7-9 skola. Marie Lindström är lågstadielärare på Anderslövs F-6 skola.
Karin Holmqvist och Lovisa Nordin är elever i åk 3 på Söderslättsgymnasiet, och har deltagit i projektet på
olika sätt.
Föreläsning
En majoritet av eleverna på Anderslövs 7-9 skola fortsätter sina studier på Söderslättsgymnasiet i Trelleborg.
Trots detta har lärarna på dessa skolor tidigare inte haft något större samarbete. Då det 1998 fanns möjlighet att
söka medel för matematikprojekt från Utbildningsdepartementet, tog vi chansen. Vi beslutade oss för att även
utöka samarbetet med skolår 1-6, och sökte och tilldelades 200 000 kr. Vi valde att bilda en grupp av 16
matematiklärare; 4 lärare för vardera skolår 1-3, 4-6, 7-9 respektive 10-12. Eftersom vårt rektorsområde består
av tre F-6 skolor, såg vi till att alla skolor var representerade i alla åldersgrupper.
Vi ville under projektets gång bl a uppnå
 en helhetssyn på matematik år 1-12
 kontinuitet i grundskolans matematikkurs
 en bättre övergång från grundskola till gymnasieskola
 högre didaktisk kompetens hos lärarna
 professionell reflektion över den egna praktiken
 en utveckling av elevernas problemlösningsförmåga
 att flickor och pojkar får likvärdig undervisning
Projektet avslutades och rapporterades under vårterminen 2001. Dock träffas samma grupp fortfarande, tyvärr
utan ekonomiska resurser. Detta är alltså ett levande projekt som vi hoppas fortsätter lång tid framöver.
Projektet har också bidragit till att mattedagar har organiserats för alla elever på 7-9 skolan.
Vi kommer under vår föreläsning att berätta om vårt samarbete och lite om mattedagarna. En av mattedagarna
beskrives mer utförligt i idéutställningen ”En mattedag för skolår 7-9”.
241
Learning study – med lärandets innehåll i fokus
Hur kan man förbättra undervisningen så att fler elever får möjlighet att lära sig? Rapport från
ett utvecklingsarbete, där en grupp lärare formulerar mål kring något som eleverna skall lära i
matematik. Tillsammans utformar de undervisningen som filmas och sedan utvärderas.
Observera att föreläsningen sträcker sig över två pass, men delarna kan höras oberoende av
varandra.
Ulla Runesson är forskare vid Göteborgs universitet
Tuula Maunula och Angelika Kullberg arbetar vid Göteborgs universitet
Anna Wernberg arbetar vid högskolan i Kristianstad
Föreläsning
Vad är det vi vill att eleverna skall förstå? Vad innebär det att förstå detta? Vad är kritiskt för
att de skall lära sig detta och vad är det som man inte får ta-för-givet?
Dessa frågor har ett antal grupper av lärare diskuterat tillsammans med forskare inom ramen
för det vi kallas en "learning study". I en learning study han man fokus på det kunnande eller
den förmåga som man vill att eleverna skall utveckla. Avsikten är att lärarna tillsammans skall
försöka hitta det som kan vara kritiskt för elevernas lärande och skapa de bästa förutsättningar
för att eleverna skall lära sig det man vill att de skall lära sig. Principen är, att utifrån vad de
vet om elevernas kunskaper, tillsammans i lärargruppen planera och utvärdera
undervisningen. Lärarna genomför undervisningen i tur och ordning i sina respektive klasser.
Varje lektion filmas, blir föremål för revidering, varefter nästa lärare genom för sin
undervisning utifrån de ändringar som lärargruppen har gjort tillsammans.
De erfarenheter som redovisas här har gjorts inomramen för ett pågående forskningsprojekt –
Lärandets pedagogik – som är ett samarbetsprojekt mellan Göteborgs universitet, Högskolan i
Kristianstad och Luleå tekniska universitet . Projektet omfattar förutom ämnet matematik,
också engelska, svenska och NO. Sammanlagt deltar sju olika lärargrupper och deras elever
från år 1 till år 7 i studien. Fyra av dessa grupper arbetar med matematik.
Vad är en learning study?
En learning study är en form utvecklingsarbete. Men, i detta fall är det också ett
forskningsprojekt, eftersom lärarnas arbete och elevernas kunskapsutveckling följs av en
grupp forskare. Denna form av kompetensutveckling som vi kallar "learning study" har
inspirerats av hur lärare i Japan arbetar med kompetensutveckling. När man studerat varför
japanska elever presterar högt i matematik vid internationella jämförelser (TIMSS), finner
man att en av förklaringarna kan vara att de japanska lärarna på ett medvetet och systematiskt
sätt arbetar med att utveckla sin undervisning kring något innehåll som eleverna skall lära.
Den engelska benämningen på detta är "lesson study" och har på sista tiden fått en stor
uppmärksamhet bl.a. i USA, där många sådana lesson study grupper nu arbetar.
Skillanden mellan en lesson study och i vårt fall en "learning study" är, att när vi arbetar med
att tänka kring undervisning, tar vi vår utgångspunkt i teorier om lärande. Det är alltså
elevernas lärande av något speciellt – inte själva undervisningen i första hand – som är det
centrala. Den teoretiska grunden för vårt arbete är variationsteori, en teori om erfarande och
lärande som utvecklas av en grupp forskare med centrum vid Göteborgs universitet. Denna
teori bygger på antagandet att förmågan att kunna något innebär att kunna "se" detta på ett
speciellt sätt. Ett speciellt sätt att se innebär att man kan urskilja vissa drag hos det man lär
sig. Dessa drag kan bara bli urskilda om de har erfarits som ett mönster av variation. För att
veta vad något är, måste man veta vad det inte är. Ett matematisk bevis t.ex., kan bara förstås
mot bakgrunden av att det finns olika bevis osv. För att förstå vad tal i decimalform är, är det
en mängd drag hos dessa som man måste kunna urskilja. Dessa drag är nödvändiga, eller
kritiska, för att förstå sådana tal på ett speciellt sätt. Det som en learning study handlar om är
att finna vilka dessa drag, eller aspekter, kan vara för den speciell elevgrupp som skall
undervisas.
Faserna i en learning study
Det som är det centrala i en learning study är, som nämndes ovan, det kunnande eller den
förmåga som man vill att eleverna skall utveckla. En learning study genomförs i ett antal
faser. Lärarna, som utgör en grupp på ca 3 – 5 personer, börjar med att själva välja något
innehåll som de vet att eleverna har problem med att lära eller som de tycker är svårt att
undervisa om. Det väljer ett "lärandets objekt". Därefter diskuteras deras erfarenheter av att
undervisa om detta. Vad brukar eleverna ha svårt med? Varför är det svårt? Hur brukar vi
undervisa? osv. Lärarna tar också del av litteratur som behandlar detta.
I nästa fas tar vi reda på vad eleverna kan om det aktuella innehållet. Eleverna testas eller ett
urval av elever intervjuas. Testet och intervjufrågorna är gjorda utifrån lärarnas diskussioner i
den förra fasen.
Resultatet på förtestet (eller vad vi har fått fram i intervjuer) blir utgångspunkten för fas tre,
då vi försöker komma underfund med vad det är som är de kritiska dragen i den förståelse vi
vill att eleverna skall utveckla. Hur skall vi få eleverna att se detta? Vad måste vi jämföra
med? Hur hänger detta ihop med andra begrepp? Vad är det eleverna måste förstå för att lära
sig det här? osv. är exempel på frågor lärarna ställer. Utifrån diskussioner av detta slag
planerar lärarna den första lektionen.
I fas fyra genomförs lektionen. Denna videofilmas, och eleverna testas (eller intervjuas)
efteråt. Testet (intervjufrågorna) är delvis de samma som på förtestet, men även nya uppgifter
finns med. Ja, också sådana som behandlar innehåll som eleverna inte alls har mött på
lektionen, men som ligger nära innehållsmässigt, förekommer.
Fas fem innebär en utvärdering och revidering av undervisningen. Lärargruppen tittar på den
filmade lektionen utifrån de mål de hade och hur eleverna lyckades nå de målen. Var det
möjlig för eleverna att för stå att..., att kunna se att…? Varför lyckades de/lyckades de inte på
den uppgiften? diskuteras. Detta leder till att undervisningen revideras. Man ändrar vissa
saker, gör helt annat, inför nya aspekter eller skapar andra variationsmönster. Därefter
genomför nästa lärare undervisningen i sin elevgrupp. Lektionen filmas och eleverna testas på
samma sätt som i fas fyra. Så fortgår arbetet tills alla lärare i gruppen har genomfört
undervisningen. För varje lektion är elevgruppen ny, däremot är det inget som hindrar att
samma lärare undervisar två olika grupper, dvs. genomför lektionen två eller flera gånger.
Denna kombination av utvecklingsarbete och forskning har tidigare prövats av en grupp
forskare vid University of Hong Kong tillsammans med ett antal lärargrupper som undervisar
i olika ämnen. Erfarenheterna från detta projekt är mycket positiva. Framför allt har man
kunnat visa att elevernas lärande påverkas på ett mycket positivt sätt då lärarna försöker
komma åt vad som är kritiskt för elevernas lärande och då de medvetet och systematiskt
försöker att bygga på detta i sin undervisning.
Preliminära resultat
I vårt projekt kommer varje lärargrupp att genomföra tre stycken learning studies. Hittills är
en sådan omgång genomförd. Arbetet med att analysera den första studien pågår för
närvarande. Men vi kan redan på detta stadium i analysen se vissa preliminära resultat som vi
finner intressanta. Dessa redovisas presentationerna.
Litteratur
Runesson, U. (1999). Variationens pedagogik. Skilda sätt att behandla ett matematiskt
innehåll.
Göteborg Studies in Educational Sciences 129. Acta Universitatis Gothoburgensis.
Information om lesson study finns bl.a. på
http://www.teacherscollege.edu/lessonstudy/lessonstudy.html
http://www2.edc.org/lessonstudy/
http://www.nsdc.org/library/results/res11-99spar.html
242
Popularisering av matematik och tidskriften Normat (föreläsning)
Popularisering av matematik ligger i tiden. Det visar om inte annat tillsättandet av
Matematikdelegationen. Jag ger några exempel på hur några moderna områden inom
matematiken och dess tillämpningar kan framställas populärvetenskapligt. Dessutom
vill jag presentera den nordiska populärvetenskapliga matematiska tidskriften Normat
som bland annat riktar sig till gymnasielärare.
Ola Helenius är matematiker och jobbar på Nationellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs universitet.
Han är också lektor i matematikdidaktik vid Karlstads Universitet.
Föreläsning
Vi är många som önskar göra matematik till ett mer populärt ämne. I Matematikdelegationens direktiv uttrycks t
ex detta genom frasen ”öka intresset för matematik”. Popularisering av matematik kan ses på två sätt. Dels som
ovan, i betydelsen ökat intresse, och del i betydelsen av populär framställning av något visst matematiskt
område. Den här föreläsningen kommer att handla om att framställa matematik populärt. Själv tror jag att
populära framställningar kan leda till att matematiken som ämne blir mer populärt.
Det verkar dock inte vara helt lätt att framställa matematik populärt. I alla fall inte all matematik. En anledning
till detta är antagligen ämnets karaktär. Matematiken är i allmänhet hierarkiskt uppbyggd. Min egen forskning
handlar till exempel om Picardgrupper för gruppringar. Det handlar om problem som ligger ganska djupt in i
algebran och många algebraiska strukturer måste stegas igenom innan det går att prata om vad forskningen
handlar om. Jag känner inte heller till några utommatematiska tillämpningar på detta. Trots att jag gillar att prata
populärt om matematik så föredrar jag att prata om något annat än min egen forskning, alltså. Min fru forskar
inom biomedicin. Jag har varken läst medicin, biologi eller kemi. Paradoxalt nog kan jag ändå betydligt lättare
beskriva min frus forskning om blodkärl än min egen forskning. Trots att även hon jobbar på
grundforskningsnivå.
Själv har jag några personliga favoritområden för populära framställningar. Det finns givetvis många, många
andra bra ämnen, men de två jag beskriver nedan är två som jag fastnat för. I mitt föredrag försöker jag förklara
vad det är i dessa två områden som gör en populär framställning möjlig.
Primtal och kryptering
Det här är snarast en modern klassiker och ett lysande exempel på tillämpning av matematik. Området talteori
har under många hundra eller rent av tusen år varit ett mycket aktivt forskningsområde. Man kan säga att
området talteori har sitt ursprung i att till fullo försöka förstå heltalen. Det låter trivialt, men det visar sig att
heltalen innehåller oerhört många intressanta och intrikata frågor. Många av tidernas mest framgångsrika
matematiker har sysslat med talteori. Dock har det knappast funnits några tillämpningar på denna forskning utom
matematiken. Detta har på ett radikalt sätt ändrats. I dagens informationssamhälle är överföring av data mycket
centralt. Ofta vill man undvika att meddelandet man skickar bli uppsnappat av någon utomstående och lösning
heter kryptering. Modern kryptering bygger på så kallad öppen nyckel-kryptering. I klassisk kryptering kan med
vetskap om hur man ”låser” ett meddelande lätt fundera ut hu man ”låser upp” detsamma. Det gör att (lås)nyckeln måste hållas hemlig och detta leder i sig till ett nytt dataöverföringsproblem. Om du vill att jag skall
skicka ett hemligt meddelande till dig måste du först överföra (den hemliga) nyckeln. Med öppen nyckelkryptering är det mycket svårt att med enbart kännedom om lås-nyckeln hitta nyckeln för upplåsning. Detta
kallas också att kryptot är asymmetriskt. En mycket vanlig krypteringsmetod bygger på multiplikation av stora
primtal. Lite förenklat kan man säga att lås-nyckeln består i ett tal som är produkten av två primtal medan man
för att låsa upp behöver känna till de två primtalsfaktorerna. I mitt föredrag förklarar jag kort hur detta krypto
fungerar rent matematiskt. Det bygger på ganska enkel matematik. Vad som kanske är än mer intressant är varför
det är ett bra krypto. Några orsaker till det är att det finns oändligt många primtal och att det är ganska lätt att
hitta stora primtal samt mycket lätt att multiplicera tal. Med andra ord är det lätt att skapa nya krypton. Å andra
sidan verkar det vara mycket svårt att i den stora produkten hitta de två faktorerna. I alla fall har ingen
matematiker hittills hittat något enkelt sätt. Trots enormt mycket forskning på området (också långt innan
tillämpningen inom kryptering tog fart) har det endast skett kvantitativt sett mycket små framsteg. Som sagt
handlar själva krypteringen om enkel matematik. När det gäller försök att knäcka kryptot så tillämpas dock
matematik från forskningsfronten.
Matematik och design
Industridesign är en mycket snabbt växande branch. Nästan varenda produkt vi kan köpa idag är designad, må
det vara en bil, en telefon, en tvättmaskin eller en schampoflaska. Industridesign kan till en viss del handla om
funktion, men i huvudsak handlar det om att formge produktens yta. Denna typ av design har en mycket
intressant koppling till matematik. Dels handlar det om det språk som används för att beskriva kurvor och ytor.
Det visar sig att ett centralt begrepp är krökning. Begreppet krökning verkar vara väldigt naturligt för oss
människor. Krökningen i en punkt på en kurva är, lite slarvigt uttryckt, hur mycket kurvan svänger i punkten.
Matematiskt gäller att krökningen på en rät linje är noll (den svänger ju inte). Krökningen på en cirkel är
konstant (den svänger ju like mycket hela tiden. Mer exakt är krökningen på en cirkel med radien R lika med
1/R. Detta följer ju också vår intuition – en cirkel med liten radie svänger ju mycket och får ju också stor
krökning. Matematiskt definierar man krökningen på en kurva med hjälp av derivator upp till grad två. Detta är
praktiskt för det gör krökningen mycket lätt att beräkna. En möjligen mer intuitiv beskrivning är att krökningen
på en kurva i en viss punkt är 1 delat mer radien på den cirkel som ”bäst passar” kurva i punkten. Det här är en
slags analogi till hur derivatan i en punkt definieras om lutningen på den bäst anpassade räta linjen i punkten.
På en yta bestämmer krökningen också hur ljuset bryts och därmed kan ser vi krökningen väldigt tydligt. Om
krökningen gör ett stegvis hopp så ser vi detta tydligt genom att det blir en kant i en linje som bildas av ljus som
speglas mot ytan. Ytan uppfattas då inte som harmonisk.
I dagens industridesign är datorer väldigt viktiga. Med hjälp av avancerade program kan man skapa de ytor man
vill och sedan skicka nödvändiga data till en datorfräs. Denna fräser en form som du sedan kan gjuta din detalj i.
Även i dessa datorprogram är krökning, samt kontinuiteter och derivator mycket centralt. I föredraget beskriver
jag kort vilka funktioner som datorprogrammen använder.
Tidskriften Normat
Tidskriften Normat är bland annat ett forum för populärvetenskaplig matematik. Den ges ut av de Nordiska
matematiksamfunden/föreningarna samt Institut Mittag-Leffler och Nationellt Centrum för Matematikutbildning
(NCM). Normat är under viss förändring och målet är att innehållet skall ligga på en nivå som kan locka både
gymnasielärare, studenter och även matematiker. Det är inte alltid så lätt att få in den typen av artiklar. Om
någon i publiken har en ide till en artikel får ni gärna kontakta mig.
243
Laborativa uppslag för gymnasiet
Exempel ges från bl.a. Uppslagsboken – Nämnaren TEMA. Grundidéer och tankar från
Uppslagsboken kan användas och anpassas till gymnasiematematik. Exemplen har prövats
bl.a. på elever i gymnasiets kurs B. Material utöver Uppslagsboken kommer också att
presenteras.
Ulrica Dahlberg är gymnasielärare på Lerums gymnasieskola där hon arbetar som lärare i
matematik och fysik. Dessutom jobbar hon deltid på NCM, Nationellt centrum för
matematikutbildning.
Föreläsning
Uppslagsboken – Nämnaren Tema tar upp lektionsplaneringar för grundskolans och
gymnasiets kurs A utifrån kursernas strävansmål. I föreläsningen kommer jag visa att många
av dessa idéer även kan användas för lektioner i senare kurser på gymnasiet som också
stämmer in på strävansmålen.
För många elever blir matematiken oöverstiglig när man inför algebra och funktioner. Ett sätt
att hjälpa eleverna är att ge dem många och varierande erfarenheter till de olika formerna för
representation av funktioner och till översättningar mellan dessa. Att elever får upptäcka
grundläggande samband och egenskaper hos funktioner och matematiska begrepp är
nödvändigt genom hela matematikundervisningen.
När man arbetar laborativt på matematiklektioner resonerar och diskuterar eleverna. De får
också en variation till att själva sitta och räkna i boken. Mina 18-åriga elever brukar komma
till mig innan lektionen och fråga ”Vad skall vi leka idag?”. Jag vill betona att dessa elever
får i princip sitta och räkna i boken varje lektion, men jag ser till att vi varje gång göra något
laborativt. Ofta använder vi samma laboration flera lektioner.
Denna föreläsning skall försöka ge några tips om hur man kan få in laborativa inslag i
undervisningen som lättar upp och även ger en annan syn på matematiken.
244
Medelsta-matematik
Föredraget presenterar resultatet av Medelsta-projektet, en unik undersökning av
matematikkunskaperna hos alla grundskolelever i en genomsnittlig svensk kommun under 25
års tid. Undersökning genomfördes vid tre olika tillfällen 1977, 1986 och 2002. Under denna
tid har tre olika läroplaner varit i kraft Lgr 69, Lgr 80 samt Lpo 94. Tonvikten läggs vid en
redovisning av 2002 års undersökning.
Arne Engström är universitetslektor i pedagogik vid Örebro universitet och undervisar i matematikdidaktik
inom lärarutbildningen.
Föreläsning
Matematikens betydelse har ökat starkt med den tekniska och naturvetenskapliga utvecklingen i samhället. Detta
ställer krav på goda kunskaper i matematik både i arbetslivet, som samhällslivet i övrigt.
Skolans matematikundervisning är ofta föremål för diskussion. I debatten har olika förmodanden och antaganden
framförts om elevernas sjunkande kunskapsstandard. Debatten har icke sällan förts utifrån förmodanden och
gissningar om svensk matematikundervisning. Det är viktigt att vi har en bra bild över hur väl skolan fyller sitt
uppdrag. Det är helt otillfredsställande att grunda beslut om förändringar eller revideringar av skolmatematiken
på spekulationer. Om vi inte vet var vi står, så kan vi knappast bli överens om åt vilket håll vi ska gå.
Medelsta-projektet är en unik studie av elevers matematikkunskaper i en
genomsnittlig kommun under 25 års tid. Matematikkunskaperna hos alla
elever i grundskolan (åk 1–9) har undersökts vid tre olika tillfällen: 1977,
1986 samt 2002. Under tiden för undersökningen har tre olika läroplaner
varit i kraft: Lgr 69, Lgr 80 samt Lpo 94.Trots att dessa läroplaner, som
har olika utgångspunkter, struktur och innehåll, kritiserats under åren, så
har det faktiska utfallet av läroplanerna inte tidigare undersökts.
Testet togs fram i samarbete med lärarna i Medelsta. Avsikten var att de skulle täcka de elementära delarna av
läroplanen.
Några av de frågeställningar som undersökts i Medelsta-projektet är:
 Hur utvecklas prestationerna under grundskoletiden i förhållande till de uppgifter som behandlas i varje
årskurs?
 Hur utvecklas elevernas prestationer över grundskoletiden?
 Vilka skillnader finns mellan elevernas prestationer för de olika läroplanerna?
 Hur utvecklas prestationerna för de 15 % lägst presterande eleverna?
I föreläsningen presenteras resultaten av Medelsta-projektet samt diskuteras konsekvenser för fortsatt forskning
och utvecklingsarbete.
Litteratur
Engström, A. & Magne, O. (2003). Medelsta-matematik. Hur väl behärskar grundskolans elever lärostoffet
enligt Lgr 69, Lgr 80 samt Lpo 94? Rapporter från Pedagogiska institutionen, 4. Örebro universitet.
245
Skor i rad, bland blommor och blad
Här presenteras ett temaarbete i Fö som handlar om ”skor” med fokus på matematik och språkutveckling. Syftet
har varit att på ett lustfyllt sätt låta barn gå på upptäcktsfärd i matematikens värld. Ett annat syfte har varit att
pedagogerna ska utveckla sitt eget kunnande om små barns lärande i och om matematik.
Margareta Astin arbetar vid Ekängens förskola i Skövde
Görel Sterner är förskollärare och lågstadielärare och även verksam vid NCM, Göteborgs universitet
(Häll/Johansson medverkar)
Föreläsning
Välkommen till skoaffären!
”Nu har jag slitit ut mina kängor,
nu har jag dansat ut mina skor…..”
Barnen på avdelningen Nyponet på förskolan Ekängen sjunger och dansar.
Sedan en tid tillbaka pågår ett temaarbete som handlar om skor och som är gemensamt för de båda förskolorna
Ekängen och Ekebacken. På dessa förskolor har man under många år arbetat strukturerat och medvetet med
fokus på barns talspråksutveckling, skriftspråksutveckling och begreppsbildning i matematik.
Små barns språk och tänkande är situationsbundet och en del av sammanhanget där det ingår. Det tar sig t. ex
uttryck i att barn ofta förväntar sig att språket ska svara mot kalla fakta i verkligheten.
– Jag vet varför det heter handburgare, det är ju för att man håller den i handen.
Att kunna styra sitt tänkande och betrakta språket som ett objekt med ett eget liv över vilket man kan reflektera
är en viktig del i barns lärande. Vi som är vuxna läsare och skrivare kan tänka abstrakt, dvs. vi kan lyfta ut
språket ur sitt sammanhang och bestämma oss för att helt bortse från ordens och meningens innebörder och
istället reflektera över språkets form. Hur en mening grammatiskt är uppbyggd, hur många ord den innehåller,
vilka ord som börjar på ljudet s etc.
Att arbeta med språklig medvetenhet med små barn innebär inte bara att man hjälper dem att reflektera över
språkets form – vilka ord som rimmar, hur många stavelser som finns i barnens namn, vilket ljud de hör först i
ordet mamma etc. Det hjälper dem att ta klivet ut ur den omedelbara situationens bojor och styra sitt tänkande
så att de kan bestämma vilket innehåll de vill fokusera på och vad de vill reflektera över. Att tänka och
reflektera och kommunicera sina tankar är viktiga aspekter vid problemlösning i matematik.
Det ska vara roligt och lustfyllt att lära. Leken är central både när den uppstår spontant men också genom att
lärarna skapar gemensamma upplevelser som blir utgångspunkten för nya lekar och undersökande verksamhet
bland barn och vuxna. Men det är inte enbart barnens språk och tänkande som ska utvecklas. Lärarna vill genom
temaarbetet samtidigt utveckla sin egen kompetens, bland annat med fokus på att kunna uppmärksamma och
analysera barns lärande i och om matematik.
Utgångspunkten för diskussioner kring sådana frågor är Skolverkets
Analysschema i matematik för åren före skolår 6 (Skolverket, 2000). De erfarenheter som barnen gör i
temaarbetet, i leken och i vardagssituationer, analyseras med stöd av Analysschemat. Frågor som man i de
gemensamma diskussionerna söker svar på är t. ex:
-
Vilka strävansmål arbetar vi med?
Vilka matematiska begrepp erfar barnen?
Hur tar sig barnens tankar och idéer uttryck? Vilka olika uttrycksformer använder de?
Hur kan vi ta till vara dessa tankar och idéer och låta dem bli utgångspunkt för nya utmaningar?
Skor i en rad, bland blommor och blad
Här följer ett exempel på en situation i temat.
Vi tömmer ut en säck full med skor på golvet. Den har vi tidigare i veckan fått av brevbärare Enoksson som kom
på besök. Men Enoksson instruerade noga barnen om att de inte fick lov att titta i säcken förrän på fredag
morgon. Däremot fick de gissa vad de trodde fanns i säcken och uppskatta hur tung den var. Gissningarna blev
många och på fredag morgon var förväntningarna stora hos barnen – vad kunde det finnas i säcken?
Barnen öppnar säcken och ut faller mängder med skor. Oj, vad många olika skor! Nu blev det spännande att
lyssna på barnens tankar. Förslagen var många och varierande på vad vi kunde göra med den stora skohögen.
Barnen började genast prova skorna och några började para ihop dem och sortera dem i olika högar. Barnen
förde en livlig diskussion om vilka kriterier som skulle vara grunden för sorteringen. Gemensamt kom de fram
till att de skulle ha ”festskor”, ”vinterskor” och ”sommarskor”. De skor som blev över skulle utgöra
”reservskor”. Vi kunde tydligt känna igen de tankar och idéer om skor som barnen givit uttryck för i de
personliga intervjuer som föregick temat.
Under en lång period utvecklades
temaarbetet och resulterade bland
annat i att barnen byggde en skohylla och skapade en skoaffär. De tog med sig skor hemifrån, tillverkade
pengar och en namnskylt till skoaffären. De sorterade pengarna efter olika valörer, räknade och diskuterade
olika betalningssätt. De fick de möjlighet att diskutera sammansatta ord, lyssna på ljuden i orden och
fundera på hur skylten skulle skrivas. De ordnade en kassapparat och kvitteringsblock.
Leken kring skoaffären är mycket intensiv. Skoaffären integreras i den övriga leken. När några barn t. ex
lekte att de åkte på semester, gick de in i skoaffären och handlade. De skriver egna sagor som handlar om
skor.
I Analysschemat ser vi att begrepp som barnen får erfarenheter av och kunnande som de ger uttryck för är t.
ex
Mätning och rumsuppfattning
Visar tilltro till sin egen förmåga. Använder matematik i olika situationer. Hanterar och löser problem.
Argumenterar för sina tankar. Jämför, mäter och uppskattar massor. Använder vardagsord som tung, lätt,
tyngre än, lättare ån, kilo.
Löser problem och använder kunskaper från ”Mätning och rumsuppfattning”. Jämför, sorterar och mäter
längder. Sorterar hyllor och gavlar efter storlek och form. Utvecklar sin förmåga att lyssna, berätta,
reflektera och ge uttryck för sina uppfattningar. Utvecklar sin nyfikenhet och sin lust samt förmåga att leka
och lära. Använder vardagsord som stor, större, lika lång, längre än, kortare än, vid sidan, bakom. (s. 2125).
Sortering, tabeller och diagram
Visar glädje och intresse i såväl spontana som styrda situationer. Klassificerar och sorterar efter bestämda
kriterier. Använder vardagsord som vanligast, lika, inte lika, jämföra, mer, mindre, mest. (s. 26-27).
Taluppfattning
Hanterar och löser problem som kräver kunskap från ”Taluppfattning.” Ger uttryck för antal och gör
beräkningar. Visar förståelse för räkneorden som antal och ordningstal. Reflekterar över symboler,
obekanta tal och positionssystemet. Använder vardagsord som fler än, flest, färre än, dela (s. 28-33).
Barnen visar sitt matematiska och språkliga kunnande på olika sätt, med olika uttrycksformer som handling,
bilder, talade och skrivna ord, informella och formella symboler (Analysschemat, s. 12). Under
föreläsningen ges rika exempel på barnens tankar, idéer och handlingar.
Görel Sterner
Margareta Astin
Birgitta Häll
Camilla Johansson
246
Forskning om samband mellan läs- och skrivsvårigheter och
lärande i matematik
I ett allt mer symbolrikt samhälle behöver människor förmåga att i sitt dagliga liv kunna hantera kvantitativ
information, utveckla avancerad matematisk kompetens och problemlemlösningsförmåga som krävs i yrkeslivet.
En förutsättning för ett aktivt deltagande i den demokratiska processen är också att man kan ta del av den
omfattande samhällsinformation som ges med hjälp av matematik. Många elever saknar tillfredsställande
skriftspråklig och matematisk kompetens när de lämnar skolan. Föreläsningen redovisar aktuella rön från en
forskningsbaserad studie (Lundberg & Sterner, 2001) som Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM)
har genomfört på uppdrag av regeringen och som rör sambanden mellan läs- och skrivsvårigheter och lärande i
matematik. Under föreläsningen ges pedagogiska förslag och idéer för klassrums- och specialundervisning.
Under föreläsningens ges konkreta exempel från klassrumsundervisning och specialundervisning. Områden som
behandlas under föreläsningen är:
– Språkutveckling och läsinlärning
- Matematikens språk och symboler
- Lässvårigheter och svårigheter i grundläggande aritmetik
- Läsförståelse och problemlösning i matematik
Görel Sterner arbetar i grundskolan som specialpedagog och som projektledare vid Nationellt Centrum för
Matematikutbildning (NCM).
Föreläsning
Regeringen uppdrog i december 200 åt dåvarande Skolverket att genomföra en satsning för att öka
måluppfyllelsen i läsning, skrivning och matematik – grundläggande läskunnighet, skrivkunnighet och
matematikkunnande (Utbildningsdepartementet, 2000). Man påpekar att det är viktigt att arbetet med
basfärdigheter integreras i hela skolarbetet. Vad som menas med begreppet ”basfärdigheter” är inte helt
oproblematiskt. Att utveckla skriftspråklig kompetens och kunnande i och om matematik ryms under begreppet
”demokratisk kompetens” som innefattar att ha kunskaper om och förmåga att leva och verka i ett demokratiskt
samhälle och att kunna bidra till att utveckla ett demokratiskt samhälle (Myndigheten för skolutveckling, 2003).
Vidare betonas vikten av att ha kommunikativ kompetens, att ha förmåga att ta ställning och att förstå skälen till
andras ställningstaganden.
Matematikundervisningens tidigare huvuduppgift att utveckla kunnande och färdighet i räkning och geometri har
därför förskjutits till att utveckla ett bredare och djupare matematiskt kunnande som innebär god taluppfattning,
problemlösningsförmåga, att se sammanhang och att resonera sig fram till slutsatser. Myndigheten för
skolutveckling påpekar att demokratisk kompetens måste ses i relation till det livslånga lärandet. Man påpekar
att alla elever ska ha rätt att utveckla sådana baskunskaper i matematik att de kan leva i, verka i och utveckla det
demokratiska samhället. Vidare betonas att det inte enbart är innehållet i matematikundervisningen som behöver
problematiseras. Även arbetsformer bör uppmärksammas och sättas i fråga.
I den pågående OECD-studien PISA (Programme for International Student Assessment) där 32 länder deltar,
däribland Sverige, undersöks i vilken grad deltagande länders utbildningssystem bidrar till att femtonåringar är
rustade att möta framtiden (Skolverket, 2001). De kunskapsområden som ingår i undersökningen är läsförståelse,
matematik och naturvetenskap. Resultaten på PISA:s matematikprov, ordigenkänningsprov och läsförståelseprov
visar att det finns mycket starka samband mellan elevers prestationer inom dessa kunskapsområden, Ett
förhållande som ligger helt i linje med andra studier (se t. ex Möllehed, 2001).
Språkliga svårigheter bidrar till att elever kan ha problem att lära sig matematiska symbolers innebörder och
platsvärden, att lära sig multiplikationstabellen och grundläggande talfakta. Den allmänna läsnivån för
matematiska textuppgifter påverkar förståelsen lika väl som de särskilda krav som det matematiska språket
ställer på läsaren. I berättelser och skönlitterära texter finns ofta målande beskrivningar som underlättar läsarens
förståelse. I matematiska textuppgifter kan sådana beskrivningar istället skymma sikten för det matematiska
innehållet. Vad som krävs är att man kan plocka ut given information som ska tolkas och integreras med andra
data för att t ex användas i en matematisk modell.
Den starka betoning på språkets betydelse som forskning och nationella måldokument idag lägger på
matematikämnet har bidragit till behovet av att utreda hur läs- och skrivsvårigheter påverkar elevers lärande i
matematik och hur undervisningen kan utformas utifrån detta. Vår ambition har varit att ge en översikt över
kunskapsläget beträffande sambanden mellan matematiksvårigheter och läs- och skrivsvårigheter.
Forskningsresultat betonar att undervisningens innehåll, struktur och arbetssätt har avgörande betydelse för att
undanröja svårigheter och bidra till att underlätta elevers lärande. Trots forskningens begränsningar har vi funnit
intressanta arbeten och rön av betydelse för lärares kompetensutveckling och för utveckling av undervisningen
inte bara i svenska utan även i andra ämnen där svenska och matematik har betydelse för elevernas lärande.
Referenser
Myndigheten för skolutveckling (2003). Baskunnande i matematik. Stockholm: Fritzes kundservice.
Skolverket (2001). PISA 2000: Svenska femtonåringars läsförmåga och kunnande i matematik och
naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Stockholm: Skolverket. (Skolverkets rapport: 209).
Utbildningsdepartementet (2000). Uppdrag avseende stöd till utveckling av förskola, skola och vuxenutbildning
m.m. (U 2000/3873/S).
247
Aldrig mer algoritmräkning?
Föreläsningen innehåller ett resonemang om de kunskapsskador som de traditionella standardalgoritmerna ofta
orsakar. Även andra motiv för att helt avstå från algoritmräkning presenteras. Dessutom visas ett sätt att skriva
stödanteckningar så att eleverna stärker sin taluppfattning och blir skickligare i huvudräkning.
Ronny Ahlström, matematiklärare i grundskolan åk 7-9 och har under ett flertal år undervisat i matematik i åk
4-6. Han arbetar också med fortbildning och är läromedelsförfattare.
Föreläsning
Matematik – inte räkning
De viktigaste delmomenten i matematikundervisningen bör vara begreppsbildning och problemlösning.
Dessutom måste eleverna lära sig ett flertal skrivkonventioner samt att kunna göra olika beräkningar eftersom ett
matematiskt problem ofta leder till en beräkning. Det har dock inget som helst värde att t ex kunna utföra
beräkningen 7  489 om man inte kan använda den i ett relevant sammanhang.
Av tradition har algoritmräkningen upptagit mer än hälften av undervisningstiden på
”mellanstadiet”. Det var möjligen motiverat när miniräknaren inte var ett accepterat
hjälpmedel. Kursplanen i matematik föreskriver att eleverna ska kunna använda miniräknare
senast i slutet av det 5:e skolåret. Utformningen av de nationella proven visar också mycket
tydligt att miniräknaren är ett naturligt räknehjälpmedel i matematikundervisningen, gärna
redan under de allra första skolåren. Vi kan därför låta ämnet vara matematik – inte räkning.
Huvudräkning är viktigast
Den allra viktigaste metoden för att utföra en beräkning är utan tvekan huvudräkning. Det
beror inte minst på att vi oftast inte har med oss papper och penna och inte heller en
miniräknare. Dessutom är det vardaglig elementär matematikfärdighet att t ex en expedit i ett
gatukök snabbt kan räkna ut hur mycket du ska få tillbaka på en hundralapp om du köper en
kebab som kostar 47 kr. Eftersom många inte kan utföra den enkla beräkningen måste vi ställa
oss frågan ”Var och varför har de inte lärt sig det?”.
Många elever har bristfälliga tabellkunskaper och dålig taluppfattning och de är inte heller
säkra på algoritmräkning. I skolarbete och senare också i vardagslivet blir de därför beroende
av miniräknaren för att kunna utföra de allra enklaste beräkningar. Hur mycket du ska få
tillbaka på hundralappen i gatuköket ska inte räknas ut med miniräknare eller uppställning –
det ska räknas med huvudräkning!
Fördelar och nackdelar med algoritmräkning
Fördelen med algoritmerna är att de är säkra metoder om de ”sitter i ryggmärgen”.
Förutsatt att eleverna kan tekniken, har absoluta tabellkunskaper och ett tillräckligt
korttidsminne så fungerar de utmärkt. Vi ska dock vara medvetna om att själva poängen med
en algoritm är att man inte ska tänka. Detta står i skarp kontrast mot läroplanens intentioner
om att vi ska sträva efter att utveckla elevernas grundläggande matematiska tänkande. Arbetet
med algoritmerna ger således en felbild av ämnet matematik. Så länge som ämnet hette
Räkning var det naturligtvis helt korrekt men den rubriken på skolämnet försvann 1955.
Algoritmräkning är tråkigt och enahanda. Den bygger på ett flertal motstridiga regler som
många elever har svårt att minnas såvida de inte övar kolossalt mycket. Algoritmräkning är
inte heller en färdighet som är efterfrågad i vare sig kommande utbildning eller yrkesliv och
till vardags har vi naturligtvis miniräknare till hands när det är nödvändigt att kunna göra en
exakt beräkning. Dessutom duger det oftast med en överslagsberäkning som är en ytterst
viktig men alltför lite övad färdighet i skolan. Överslagsräkning är en bra kombination av
huvudräkning och taluppfattning.
Naturligtvis kan man göra ett desperat försök att motivera algoritmräkningen genom att
konstruera någon enstaka situation i framtiden då vi måste kunna räkna exakt men då vi inte
har tillgång till miniräknare och då huvudräkningen inte räcker till. Det är knappast rimligt att
slösa bort många undervisningstimmar i matematik på att ge eleverna beredskap för en sådan
speciell situation. Ingen skulle väl komma på tanken att vi ska lära oss avståndet mellan
Europas alla städer med motiveringen att man kanske någon gång i framtiden kommer att
köra bil från Lörach i södra Tyskland till Neuchatel i Schweiz och att det då är viktigt att
kunna bedöma om bensinen räcker för hela resan.
Riskerna med algoritmräkning
Den stora risken med de traditionella standardalgoritmerna för addition, subtraktion och
multiplikation är att tekniken står i strid med de vanligaste intuitiva metoderna att räkna
huvudräkning. Om vi ska räkna ut t ex 78 + 67 med huvudräkning så börjar näst intill alla
med den största talsorten och ”tänker från vänster”. Detta lyckas de flesta att räkna ut såvida
de inte har bestående kunskapsskador från skolans algoritmräkning. I så fall räknar de inte
med talen utan istället räknar de med siffrorna och de börjar att ”tänka från höger” så som
man lärt in vid algoritmräkning. Erfarenhetsmässigt vet vi att många elever tänker sig en
algoritm och det blir omöjligt att utföra beräkningen eftersom korttidsminnet inte räcker till.
För de svagaste eleverna är det ett didaktiskt skamgrepp att hävda att de ena dagen ska öva
algoritmräkning, då de ska börja med entalen, för att nästa dag öva huvudräkning och börja
med tiotalen. Här måste vi göra ett val – är det algoritmräkning som är en angelägen färdighet
eller är det huvudräkning som bygger på taluppfattning som är viktigt att lära sig. Om
eleverna övar algoritmräkning förstör man samtidigt möjligheterna att bli skicklig i
huvudräkning. Detta gäller dock inte division där vi alltid börjat med den största talsorten
oavsett anteckningsmetod.
Addition - talsortsräkning med stödanteckningar
Genom att låta eleverna räkna huvudräkning och skriva stödanteckningar får de en pålitlig
anteckningsmetod som inte står i strid med huvudräkningsförmågan. Tvärtom så stärker
eleverna sin taluppfattning och de blir på sikt säkrare i att räkna utan att anteckna. Då ska de
naturligtvis börja med den största talsorten.
Om eleverna antecknar på det här sättet blir det mycket tydligt hur de olika delsummorna
kommer fram.
485 + 367 =
400 + 300 = 700
80 + 60 = 140
5 + 7 = 12
= 852
Flertalet elever kan så småningom skriva mera kortfattat så här:
485 + 367 =
700
140
12
= 852
Multplikation - talsortsräkning med stödanteckningar
På liknande sätt kan eleverna anteckna så här när de räknar multiplikation:
6  735 =
6  700 = 4 200
6  30 = 180
6  5 = 30
= 4 410
De elever som är säkra kan så småningom skriva mera kortfattat så här:
6  735 =
4 200
180
30
= 4 410
Subtraktion med stödanteckningar
Erfarenhetsmässigt vet vi att många ”tänker uppåt” vid subtraktion. Det är onekligen
naturligast t ex när räknehändelsen som föregår beräkningen är ”Hur mycket fattas?”.
Om vi tänker oss att du har 385 kr och gärna vill köpa en väska för 644 kr kan du räkna ut
beloppet som fattas genom att skriva stödanteckningar på ett sätt som stämmer med hur man
vanligtvis intuitivt räknar med huvudräkning:
15
385
400
644  385 =
200
400
600
= 259
44
600
644
Även här kan flertalet elever så småningom skriva mera kortfattat så här:
644  385 =
15
200
44
= 259
Listiga huvudräkningsmetoder
Naturligtvis ska vi uppmuntra eleverna att lära sig huvudräkningsmetoder som bygger på
god taluppfattning. Uppgiften 567 + 296 löser många intuitivt genom att ”flytta fyra till det
andra talet”.
567 + 296 = 563 + 300 = 863
Här kan vi jämföra med beräkningen 567 – 296 som man löser på ett listigt sätt genom att
istället ”flytta båda lika mycket” eftersom differensen då blir densamma:
567 – 296 = 571 – 300 = 271
Det finns dock anledning att se upp så att de osäkra eleverna inte avkrävs alltför många
listiga metoder alltför snabbt. Då blir det listiga olustigt! Matematik kan bli ett glädjeämne för
eleverna om även aritmetiken bygger på goda grunder och trygga anteckningsmetoder.
248
Kognitiva verktyg för lärande i matematik – tankekartor, begreppskartor
och den dubbla roten
I matematik diagnostiseras ofta elever med olika typer av prov eller diagnoser. Hur går man vidare därifrån och hur kan eleven få individuell
hjälp och stöd att ta ett steg till i utvecklingen? Det är svårt för elever att själva bygga upp en struktur och få överblick över sina kunskaper.
Jag ska ta upp och diskutera några kognitiva verktyg och deras användningsmöjligheter. Tankekartor, begreppskartor och den dubbla roten
kommer att presenteras.
Barbro Grevholm, professor i matematikdidaktik vid Högskolen i Agder, Norge och
Högskolan Kristianstad. Handleder doktorander i matematikdidaktik, utvecklar och leder
doktorandkurser samt forskar och skriver om lärarstuderandes begreppsutveckling i
matematik.
Föreläsning
Inledning
För en alltför stor grupp elever är matematik det besvärligaste skolämnet att komma till rätta
med. Läraren finns där för att stödja och hjälpa eleven när det blir svårt att gå vidare i
lärandet. Det finns en tradition i matematik för lärare att diagnosticera sina elever med olika
typer av prov och diagnoser. Därmed kan lärare i regel ganska klart peka ut var eleven står i
sin lärandeprocess och vad som ännu inte är uppnådda kunskaper. Men hur går man vidare
därifrån och hur kan eleven få individuell hjälp och stöd att ta ett steg till i utvecklingen. Var
kan läraren få hjälp med att välja ut de åtgärder som är lämpliga för just en viss elev med klart
fastlagda svårigheter? Söker man efter litteratur som läraren kan dra nytta av i en sådan
situation är det svårt att finna något. Lärares professionella kunskaper är i hög grad talade
eller tysta kunskaper som förs över med traditioner från en generation av lärare till nästa.
Det finns dock forskning som kan ge uppslag om lämpliga utvägar för läraren och eleven i
samarbetet. För lärare finns det i regel inte tid avsatt att på egen hand sätta sig in i sådan
forskningsrapporter och dra ut lämpliga konsekvenser av dem.
Vad säger forskningen?
Ett exempel som kan nämnas är Ebbe Mölleheds (2001) avhandling om problemlösning i
matematik. Han visar att den viktigaste faktorn som påverkar eleven när det gäller framgång i
att lösa problem är förmågan att förstå texten i uppgiften. Det resultatet stämmer med flertalet
lärares egna erfarenheter. Men hur ofta sker aktiviteter i klassrummet med avsikt att få
eleverna att fokusera på betydelsen av att förstå en problemtext? Ytterst få läroböcker
innehåller övningstyper som arbetar med textförståelse. Detta är bara ett exempel på att
många vet vad som krävs men trots det arbetar vi inte aktivt med uppgiften på ett sätt som
stämmer med våra kunskaper om problemen.
En annan aspekt som också är välkänd är att det är svårt för elever att själva bygga upp en
struktur och överblick över sina kunskaper. Här kan lärare vara till god hjälp om de förser
eleverna med sådana kognitiva verktyg som passar för att skapa struktur och visa helheter. Jag
ska ta upp och diskutera några sådana kognitiva verktyg och deras användningsmöjligeter.
Några kognitiva verktyg
På 80-talet lanserades i Sverige boken Använd huvudet bättre (Buzan, 1981). I den beskrivs
en rad tekniker för hur elever ska kunna bättra på sin studieteknik och uppnå bättre resultat
och på kort och lång sikt. Mycket i boken hänger samman med den tidens syn på lärande, som
inte låg långt efter programmerat lärande. Ett verktyg som förespråkas är den så kallade
tankekartan eller mindmappen. Syftet med den är att skissera översiktligt ett område och
associera olika delar av kunskaperna till varandra. Här är ett exempel på en tankekarta som
jag själv ritade 1987 inför en presentation av läromedelsgranskningen som utfördes på
uppdrag av Statens Institut för Läromedelsgranskning.
Tankekartan kan vara ett exempel på en visuell bild som elever lär sig skapa för att göra
klart för sig själva hur de ser på delarna av sin kunskap och hur de hänger samman. Själv
visade jag på den tiden detta verktyg för mina nybörjare på gymnasiet. Många använde
kartorna som sammanfattning av en läst läxa, som repetition inför ett prov, diagnos av sig
själv inför ett genomfört studieavsnitt eller som förberedelse för en redovisning eller uppsats.
135 granskade böcker
cirka 17000 sidor text
Äm nets profil och identitet.
Historia och nutid
Kriterier:
Innehåll, arbetssätt och
metodisk uppläggning
Bibliotektet
Rapport
1987:3
Får läraren råd
och hjälp
Individualisering
Dp och uppföljning
Ökad förståelse
Granskning på
uppdrag av SIL
Metodisk uppläggning
Innehåll i problemtexter
Pomperipossa i
matteboken
Arbetssätt
Flickor osynliga
Far kör och
mor ror
Margarin och
köttfärs
Varen svenske
Tema,
grupparbete,
samarbete med
andra ämnen
Upptäckarlust och
kreativitet
Fritiden
De stora frågorna
VEMS VÄRLD?
Skolbiblioteket
Biblioteket
Själv brukar jag göra disposition inför föredrag (som i exemplet ovan) eller genomgångar med
hjälp av tankekartor. Verktyget hjälper klart och tydligt till med att skapa associationer och få
in dem i sitt sammanhang. I exemplet här är kartan byggd av ord och uttryck, som ska minna
mig om vad jag bör säga i ett visst skede av föredraget. Många elever lägger in illustrationer
eller symboler i sina tankekartor och de kan på så sätt bli ännu lättare att använda som stöd för
minnet.
Begreppskartor
Begreppskartorna introducerades på 70-talet av Joseph Novak (1985, 1998) som ett kraftfullt
verktyg för lärande. I lärarutbildningen har de använts för att synliggöra och diskutera
centrala begrepp och hur de utvecklas. Studenter bedömer verktyget som användbart både i
eget lärande och i sin egen undervisning (Grevholm, 2000, in press).
Bilden nedan, som presenterades på LUMA 1998, är min begreppskarta över vad en
begreppskarta är. Begreppskartan är en bild som representerar en persons kunskaper vid ett
visst tillfälle uttryckta genom påståenden. Påståendena länkar olika begrepp till varandra med
hjälp av länkord, som oftast är verb. Begreppen är i regel substantiv. Begreppen är hierarkiskt
strukturerade i begreppskartan. Länkarna visar hur de olika begreppen är förbundna med
varandra i ett nätverk, en kognitiv struktur.
Begreppskartor kan användas både vid undervisning, inlärning, diagnosticering och
bedömning. De skiljer sig från tankekartor genom att de är byggda av kunskapspåståenden
och är hierarkiska. Länkorden är viktiga och saknas i regel i en tankekarta. Konstruktion av
kunskap är en komplex produkt av den mänskliga kapaciteten, den kulturella kontexten och
förändringar i utvecklingen av relevanta kunskapsstrukturer och verktyg för att erövra ny
kunskap (Novak 1998). Novak hävdar att begrepp spelar en central roll i både lärandets
psykologi och teorier om kunskap. Novak definierar ett begrepp som uppfattade
regelbundenheter i händelser eller objekt och som vi har infört en etikett eller benämning för.
Etiketten kan vara ett ord eller en symbol. Novak har använt begreppskartor som ett verktyg
för att representera strukturer eller ramverk av begrepp/påståenden, som har härletts från
kliniska intervjuer eller konstruerats av lärande subjekt. Begreppskartor har visat sig vara
användbara verktyg vid planering av undervisning och för att hjälpa studenter att lära sig hur
man lär.
Begreppskarta
kopplar är
samman
är
en bild
visar
begrepp
individuell
som oftast
beskrivs med
förändras
för
som visar
strukturen
nätverk av
proposition
-er
över
som uttrycker
ordnas i
med tid
substantiv
och är
kunskaper
överblick
utgör
underlag
mellan
som binds med
ett
kognitivt
verktyg
används till
vid
beskrivna av
länkord
som är
hierarki
Hur kan begreppskartor
användas?
verb
associationer
metakognitiva
reflektioner
för
I litteraturen finns beskrivet en rad olika sätt att använda begreppskartor (Novak 1998). Vid
starten av ett nytt avsnitt kan läraren inleda med en kartläggning av elevernas förkunskaper
genom att de får berätta allt de vet genom påståenden. Dessa kan skrivas upp på tavlan och
därefter sammanfogas i en begreppskarta. Kartan blir ett synligt bevis på klassens utgångsläge
inför nya kunskaper. Efter det att klassen arbetat igenom det nya avsnittet kan en ny karta
ritas. Jämförelse med den tidigare kartan kan då synliggöra nya kunskapsstrukturer och
begrepp. Detta är då exempel på kartor som innehåller en grupps samlade kunskaper. I en
jämförelse blir det tydligt för både lärare och elever om några luckor finns i associationerna
mellan begrepp eller om elever har olika uppfattning om hur begreppen ska länkas samman.
En elev som vet hur begreppskartor ritas och fått en viss vana att göra det kan använda
verktyget i sitt eget lärande. När ett nytt avsnitt bearbetats kan eleven försöka rita sin egen
karta över de nya kunskaperna. Det visar sig att kartorna är högst individuella. Steg för steg
kan eleven i kartan rita in sin egen kunskapsutveckling och se om det sker nytt lärande eller
inte. I samtal med läraren kan eleven diskutera om hans karta stämmer med en mera allmän
syn på begreppen eller om eleven kanske fått en vag eller oklar bild av hur begreppen hänger
samman.
För att skapa utmaningar i lärandet kan läraren låta elever rita sina egna enskilda
begreppskartor och därefter be dem att i små grupper jämföra sina kartor inbördes. Elever
upptäcker då likheter och skillnader och värdefulla diskussioner uppstår om varför de har
olika uppfattningar på vissa punkter. Det kan leda till att någon elev ändrar uppfattning och
ser nya möjligheter att förstå begreppssambanden. Elever kan upptäcka att vissa kartor är
rikare än andra och har fler länkar. De kan få impulser att införliva fler delar i sin egen karta
och på så sätt utvidga sin syn på begreppen inom området. I samtalen får elever tillfälle att
utveckla ett matematiskt språk och får ge uttryck för hur de tänker matematiskt och motivera
det för kamraterna. Resonemang och samtal av detta slag är väsentliga för lärandet
(Schoenfeld, 1992).
Kartorna kan användas för läraren att skapa sig en bild av hur en student tänker. De
fungerar då som ett alternativt diagnosinstrument, som kan användas upprepade gånger.
Lärare kan använda begreppskartor för sin egen del. Att rita en karta inför ett nytt avsnitt
innebär att du som lärare tydliggör för dig själv vilka centrala begrepp och delbegrepp du vill
behandla och hur du ser sambanden mellan dem. Det kan tydliggöra för dig som lärare vissa
kopplingar, som du kanske annars inte hade betonat så starkt. Om elever ska få en god
begreppsuppfattning måste de få de viktiga begreppen belysta ur olika aspekter så ett de får en
rik och nyanserad begreppsbild (Niss, 2001). Ett tredje kognitivt verktyg, den dubbla roten
eller Gowins Vee, kommer att presenteras i föredraget (Novak & Gowin, 1984).
Litteratur
Buzan, Tony (1982). Använd huvudet bättre. Stockholm: Undervisningstjänst.
Grevholm, Barbro (2000). Teacher education in transition: The case of Sweden. Kristianstad: Högskolan
Kristianstad.
Grevholm, Barbro (in press). Research on student teachers learning in mathematics and mathematics education.
I Proceedings from International Conference of mathematics Education 9, Makuhari, Tokyo, Japan.
Niss, Mogens (2001). Den matematikdidaktiska forskningens karaktär och status. In B. Grevholm (ed.)
Matematikdidaktik - ett nordiskt perspektiv. Lund: Studentlitteratur.
Novak, Joseph D. (1985). Metalearning and metaknowledge strategies to help students learn how to learn. In L.
West & A. Pines (eds.), Cognitive structure and conceptual change, pp. 189-207. New York: Academic
Press.
Novak, Joseph D. (1998). Learning, creating and using knowledge. Mahwah, New Jersey: Lawrence Erlbaum.
Novak, Joseph D. & Gowin, D. Bob (1984). Learning how to learn. Cambridge: Cambridge University Press.
Möllehed, Ebbe (2001). Problemlösning i grundskolan. Malmö: Malmö Högskola.
Schoenfeld, Alan (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metakognition and sense-making
in mathematics. I D. Grouws (red), Handbook for research on mathematics teaching and learning. New
York: Macmillan.
250
Multiplikation genom Matematik - Rytmik i samspel.
Vårt mål är att öka förståelsen av begreppet multiplikation genom matematik–rytmik i
samspel. Musik och sånger, rytm och rörelselekar, rim och ramsor stimulerar fantasin och
fördjupar upplevelsen. Detta hjälper barnen att automatisera sin kunskaper.
Matematik - Rytmik ger en helhetsuppfattning i matematik. Barnen kan lättare minnas och
skapa inre bilder. Matematikens innehåll blir tydligt i ett sammanhang och barnen tränar att
formulera sig både enskilt och i grupp. Tänkandet utvecklas när gruppen gemensamt löser
problem. Rörelse ingår som en naturlig del i matematikundervisningen. Avspänning ger varje
elev en stund av koncentration och återhämtning.
Ewa Olsson, matematiklärare
Barbro Rydin, rytmikpedagog
Pilängskolan Landskrona
Kulturskolan Landskrona
Matematik – Rytmik
Gemensam syn på kunskap och på barns sätt att lära ledde ht 99 till ett samarbete mellan Ewa
Olsson, matematiklärare på Pilängskolan och Barbro Rydin, rytmikpedagog på Kulturskolan i
Landskrona.
Matematik och rytmik har mycket gemensamt. Med våra olika kompetenser och vårt stora
intresse för båda ämnena strävar vi efter att hjälpa eleverna att stärka begreppsuppfattningen
och att se mönster i matematiken. Musik, sång och dans är viktiga hörnstenar i
undervisningen. Lust och glädje, fantasi och kreativitet stimulerar barnens intresse för och
upptäckter i matematik. Reflektion, varierad repetition och återhämtning genom avspänning
hjälper stressade och oroliga barn att se sammanhang och förstå innehåll. Detta är till stor
hjälp vid problemlösning enskilt och i grupp. Matematiken sätts i ett sammanhang och språket
tränas både i samtal och i skriftliga dokumentationer. Barnen förstår att alla kan lära sig
matematik vilket språk de än talar. De inser att det är nödvändigt att utveckla svenska språket
för att förstå innehåll, kunna beskriva, berätta och lösa problem.
Vi arbetar tematiskt. Läsåret 02/03 har vi arbetat med begrepp kring ”Multiplikation”
Mål: Samspel matematik – rytmik ökar förståelsen av begreppet multiplikation. Musik, sång,
rytm och rörelse fördjupar upplevelsen och hjälper barnen att automatisera sina
tabellkunskaper.
Frågestållningar:
 Hur kan vi genom ”Matematik-Rytmik i samspel” förändra och påverka
matematikundervisningen så att eleverna tydligt känner Lusten att lära matematik?
 Hur kan samspelet matematik-rytmik öka förståelsen av begreppet multiplikation?
 Hur ökar samspelet matematik-rytmik elevernas möjligheter att automatisera sina
kunskaper?
Arbetsmodell:
1. rytmiklektion med multiplikation som tema
2. matematiklektion med samma tema
3. eleverna dokumenterar
Genom musik, sånger, rörelse, dans, bild m.m. sätts matematiken i ett sammanhang. Samtidigt
tar vi vara på och skapar förutsättningar för lusten, nyfikenheten och förståelsen i inlärningen.
Undervisningen fokuseras på förståelse av begreppet multiplikation, samt att kunna se
mönster och kunna lösa matematiska problem. Matematik och rytmik kräver hög psykisk
närvaro. Rytmiken ökar koncentrationsförmågan vilket är positivt för matematiklektionen
som följer. Rytmiklektionen påverkar barnen till att bli nyfikna, glada, kreativa och till att
stärka självförtroendet. Rörelser, rytmer och melodier underlättar inlärningen, hjälper
minnesfunktionen och de barn som tycker att matematik kan vara svårt och tråkigt får hjälp
med uthålligheten.
För att förstå begrepp och diskutera mönster behövs en bred språkbas. Språket är grunden till
förståelse och matematiskt tänkande. Det behövs ett rikt språk för att tydligt kunna
dokumentera matematiska begrepp. Att gemensamt skapa och lösa problem stärker elevernas
språkliga utveckling och det ger en större helhet i matematikundervisningen. De tränar sig i
att använda matematikens symbolspråk skriftligt och muntligt kring olika vardagsproblem.
Eleverna dokumenterar själva i sin loggbok. För barn som har svårt att ta till sig ord,
förmedlar musiken ett intellektuellt budskap på ett emotionellt sätt.
Slutsats:
Genom vår helhetssyn ”Matematik–Rytmik i samspel” lär sig eleverna att se sammanhang,
förstå innehåll och lösa matematiska problem. Matematik får inte vara ett isolerat ämne.
Arbetssättet fordrar samarbete och samsyn vilket tar en del tid i anspråk. På lång sikt ser vi att
samspelet befäster elevernas kunskaper. De minns på ett speciellt sätt när de under
inlärningsprocessen engagerar hela sin kropp och alla sina sinnen.
Rytmikundervisningen sker i grupp och i ständig växelverkan mellan utveckling av individen
och gruppen. Genom sång, musik, dans och rörelselekar repeteras, återkopplas och varieras
undervisningen. Vi märker tydligt att kunskaperna kring begreppet Multiplikation har sjunkit
in och att barnen skapat inre bilder som de använder sig av i sin automatisering av tabellerna.
Rytmik är en helhetspedagogik som ser till hela människan, den emotionella, den
intellektuella och den motoriska.
”Nöjet vi får från musiken kommer från räknandet, men omedvetet räknande. Musik är inget
annat än omedveten aritmetik”
-Gottfrid Wilhelm von Leibnitz-