Simultana ekvationssystem(modeller) (SEM)
Ex 1
Modell i strukturell form:
qSt = a1 + a2pt + a3pt-1 + et
qDt = b1 + b2pt + b3yt + ut
qSt = qDt
Endogena variabler. Bestäms inom modellen
Predeterminerade variabler: Exogena variabler +
”laggade” endogena variabler
Den strukturella modellen kan skrivas om i reducerad form:
→ endogen variabel 1 = f1(samtliga predet. variabler)
→ endogen variabel 2 = f2(samtliga predet. variabler)
Alltså en ekvation för varje endogen variabel i modellen.
Man kan dock visa att för det simultana ekvationssystemet
föreligger en s k simultanitetsbias. Man kan visa att corr(qSt,ut)
≠ 0 liksom att corr(qDt,et) ≠ 0, dvs antagandet om svagt
exogena regressorer håller inte!
Ex 2
y1 = α1y2 + β1z1 + u1
y2 = α2y1 + β2z2 + u2
Endogena variabler: y1, y2
Exogena variabler: z1, z2
Reducerad form: y1 = f1(z1, z2), y2 = f2(z1, z2)
y1 = α1(α2y1 + β2z2 + u2) + β1z1 + u1
→ (1 – α1α2)y1 = α1β2z2 + β1z1 + α1u2 + u1
→ y1 = π11z2 + π12z1 + v2 → reducerad form för y1
där π11 = α1β2/(1-α1α2), π12 = β1/(1-α1α2) och
v2 = (α1u2 + u1)/(1-α1α2)
Av reducerad form för y1 framgår att corr(y1,u2) ≠ 0
(och av reducerad form för y2 skulle framgå att corr(y2,u1) ≠ 0)
→ OLS inte längre konsistent som estimator
Hur skatta modellens ekvationer?
Kan använda 2SLS-estimation, en variant av
instrumentvariabel estimation.
Eftersom corr(y2,u1) ≠ 0) krävs ett instrument för y2 i ekvation
1 och eftersom corr(y1,u2) ≠ 0 krävs ett instrument för y1 i
ekvation 2.
Steg 1; Skatta respektive instrument genom att utnyttja
reducerad form för y2 respektive y1.
Steg 2: Skatta varje ekvation i den ursprungliga modellen med
OLS men där då y2 i ekvation 1 ersatts med reducerad form för
y2 och y1 i ekvation 2 ersatts med reducerad form för y1.
Dock: för att denna form av instrumentvariabel estimation ska
vara möjlig krävs att modellens ekvationer är identifierade.
Att en ekvation är identifierad innebär att det via den
reducerade formen är möjligt att erhålla ett instrument som är
tillräckligt unikt för att fungera som ersättningsvariabel för
den/de variabler i en ekvation som kräver detta. (Notera att om
fler än två ekvationer i systemet kan en ekvation innehålla mer
än en variabel som behöver ett instrument.)
En ekvation i en strukturell modell kan vara:
Oidentifierad → ingen lösning existerar
Exakt identifierad →lösning existerar
Överidentifierad →lösning existerar
Identifikation kan i de flesta fall avgöras med hjälp av det s k
ordningsvillkoret, ett nödvändigt dock ej ibland tillräckligt
villkor.
En ekvation är
oidentifierad om antalet predeterminerade variabler som
uteslutits ur ekvationen är < antalet inkluderade endogena
variabler -1
→ om (K-k) < (m-1)
där K = antal predeterminerade variabler i modellen
k = antal predeterminerade variabler i ekvationen
m = antal endogena variabler i ekvationen
exakt identifierad om
(K-k) = (m-1)
överidentifierad om
(K-k) > (m-1)
Notera också att det finns alternativa estimationsmetoder i
form av 3SLS och FIML
Antag
qts = α2pt + α3wt + εt
qtD = β2pt + β3yt + ut
→ pt = f(yt, wt)
→ instrumentvariabel för pt
→ qts = α2f(yt, wt) + α3wt
→ qtD = β2f(yt, wt) + β3yt
MEN om inte wt ingår i qs gäller att pt är en funktion endast av
yt
→ pt = f(yt)
→ qts = α2f(yt)
→ OK!
→qtD = β2f(yt) + β3yt
→ EJ IDENT., PROBLEM!
Annat ex:
Ct = α0 + α1It + α2Yt + α3Ct-1 + α4Rt + u1t
It = β 0
+ β2Yt
+ β4Rt + u2t
Yt = Ct + It + Gt
Ct, It, och Yt är endogena variabler i modellen
Gt, Rt och Ct-1 är predeterminerade variabler (där i sin tur Gt
och Rt är exogena variabler och Ct-1 är en laggad endogen
variabel)
I utgångsläget:
ekv 1; K-k = 3-2 = 1, m-1 = 3-1 = 2 → oidentifierad
ekv 2; K-k = 3-1 = 2, m-1 = 2-1 = 1 → överidentifierad
Lösningar??
Övrigt: Test för heterogenitet finns och bör göras i flera fall
REKURSIVA EKVATIONSSYSTEM
Y1 = α0 +
+ α3Z1 + α4Z2 + u1
Y 2 = β 0 + β 1Y 1 +
+ β3Z1 + β4Z2 + u2
Y3 = γ0 + γ1Y1 + γ2Y2 + γ3Z1 + γ4Z2 + u3
SYSTEM AV SKENBART ORELATERADE EKVATIONER
(S U R, seemingly unrelated regressions)
Ex: Y1 = α1 + α2X1 + u1t
Y2 = β1 + β2X2 + u2t
MEN Corr (u1 ,u2) ≠ 0 p g a att Y1 och Y2 antas nära
relaterade
