Baltic Way 2008
Gdańsk, 8 november 2008
Svenska
Skrivtid: 4.5 timmar.
Varje problem kan ge upp till 5 poäng.
Problem 1. Bestäm alla polynom p(x) med reella koefficienter sådana att
p((x + 1)3 ) = (p(x) + 1)3
och
p(0) = 0.
Problem 2. Bevisa att om de reella talen a, b och c uppfyller a2 + b2 + c2 = 3 så gäller
b2
c2
(a + b + c)2
a2
+
+
≥
.
2 + b + c2
2 + c + a2
2 + a + b2
12
När gäller likhet?
Problem 3. Finns det en vinkel α ∈ (0, π/2) sådan att sin α, cos α, tan α och cot α, i någon
ordning, är på varandra följande termer i en aritmetisk följd?
Problem 4. Polynomet P har heltalskoefficienter och P (x) = 5 för fem olika heltal x. Visa att
det inte finns något heltal x sådant att −6 ≤ P (x) ≤ 4 eller 6 ≤ P (x) ≤ 16.
Problem 5. Antag att Romeo och Julia har varsin regelbunden tetraeder, vars hörn tilldelats
positiva reella tal. De märker varje kant mellan två hörn i sin tetraeder med produkten av talen
i dessa hörn. Därefter skriver de på var och en av sin tetraeders sidoytor summan av talen som
dess tre kanter är märkta med. De fyra talen skrivna på Romeos tetraeder visar sig vara desamma
som de fyra talen skrivna på Julias. Följer det att de fyra talen som tilldelats hörnen i Romeos
tetraeder är identiska med de som tilldelats hörnen i Julias tetraeder?
Problem 6. Finn alla ändliga mängder av positiva heltal med minst två element, sådana att
b2
närhelst a, b (a > b) är två tal från mängden, så är a−b
också ett element i mängden.
Problem 7. Hur många par (m, n) av positiva heltal med m < n uppfyller ekvationen
3
1
1
=
+ ?
2008
m n
Problem 8. Betrakta en mängd A av positiva heltal sådan att det minsta elementet i A är 1001
och produkten av alla element i A är en jämn kvadrat. Vilket är det minsta möjliga värdet på det
största elementet i A?
Problem 9. Antag att de positiva heltalen a och b uppfyller ekvationen
ab − ba = 1008.
Visa att a och b är kongruenta modulo 1008.
1
Problem 10. För ett positivt heltal n, låt S(n) beteckna dess siffersumma. Finn det största
S(n)
möjliga värdet av uttrycket
.
S(16n)
Problem 11. Betrakta en delmängd A med 84 element av mängden {1, 2, . . . , 169}, sådan att
inga två element i A har summan 169. Visa att A innehåller en jämn kvadrat.
Problem 12. I en skolklass med 3n barn ger varje par barn en gemensam present till exakt ett
annat barn. Visa att för alla udda n så är det möjligt att det följande gäller:
Om A, B och C är godtyckliga barn i klassen, och A och B ger en present till C, så ger A och
C en present till B.
Problem 13. För en kommande internationell matematiktävling blev de deltagande länderna
ombedda att välja bland nio kombinatorikproblem. Givet hur svårt det vanligen är att komma
överens blev ingen överraskad när följande inträffade:
• Varje land röstade på precis tre problem.
• Varje par av länder röstade på olika uppsättningar problem.
• Givet tre godtyckliga länder, så fanns ett problem som inget av dem röstade på.
Finn det största möjliga antalet deltagande länder.
Problem 14. Är det möjligt att bygga en 4 × 4 × 4 kub av block av följande form, bestående
av 4 enhetskuber?
Problem 15. Ett antal 1 × 2 dominobrickor, som var och en täcker två intilliggande enhetskvadrater, placeras på ett bräde av storlek n × n så att de inte vidrör varandra (inte ens vid
hörnen). Givet att den totala ytan täckt av dominobrickorna är 2008, finn det minsta möjliga
värdet på n.
Problem 16. Låt ABCD vara en parallellogram. Cirkeln med diameter AC skär linjen BD
i punkterna P och Q. Normalen till linjen AC genom punkten C skär linjerna AB och AD i
punkterna X respektive Y . Bevisa att punkterna P , Q, X och Y ligger på en cirkel.
Problem 17. Antag att a, b, c och d är sidorna i en fyrhörning inskriven i en given cirkel. Bevisa
att produkten (ab + cd)(ac + bd)(ad + bc) når sitt maximum när fyrhörningen är en kvadrat.
Problem 18. Låt AB vara en diameter i cirkeln S, och låt L vara tangenten vid A. Vidare,
låt c vara ett fixt positivt reellt tal, och betrakta alla par av punkter X och Y på L, på motsatta
sidor om A, sådana att |AX| · |AY | = c. Linjerna BX och BY skär S i punkterna P respektive
Q. Visa att alla linjerna P Q går genom en gemensam punkt.
Problem 19. I en cirkel med diameter 1 dras några kordor. Summan av deras längder är större
än 19. Visa att det finns en diameter som skär åtminstone 7 kordor.
Problem 20. Låt M vara en punkt på BC och N en punkt på AB, sådana att AM och CN är
bisektriser i triangeln ABC. Givet att
6
6
BN M
=
MNC
bevisa att triangeln ABC är likbent.
2
6
6
BM N
,
NMA
