Hemförhör i MAA11 Varje uppgift är värd 6 poäng. Vitsordet i

Hemförhör i MAA11
Varje uppgift är värd 6 poäng. Vitsordet i inlämningsuppgifterna utgör en tredjedel av kursvitsordet.
1. a) Gör en sanningstabell för satsen p ¬ p∨q 
b) Visa att satserna  p  q och ¬q  ¬ p är ekvivalenta.
n2 (n+1)2
2. a) Bevisa formeln ∑k =1 k =
med hjälp av induktion. Detta är bokens
4
uppgift 341.
n
3
b) Bevisa med induktion att
n
∑k =1 k 2=
n( n+1)(2 n+1)
6
3. Visa att påståendet är falskt. Tips: Hitta ett motexempel. Se sidorna 75 → 79.
a) ∀ x∈ℝ : x 2 +6 x +9> 0
b) ∃ y∈ℝ ∀ x∈ℝ : x + y=0
4. Ett talsystem har basen 7. Uttryck talen 11, 111 och 1111 från detta system i vårt vanliga
talsystem. Hur anges talen 11, 111 och 1111 (i vanliga talsystemet) med systemet där basen
är 7? Tips: Se sidorna 107 → 110
5. a) Visa att talet 712≡1(mod 48). Tips: Se sidorna 121 → 124.
b) Bestäm den sista siffran i talet 3224 .
c) Visa att talet n 3−n är delbart med 6 om n är ett naturligt tal.
Tips: Gå igenom fallen n≡0( mod 6) , n≡1( mod 6) , … , n≡5( mod 6). Visa att det i varje
fall gäller att n 3−n≡0(mod 6) vilket bevisar påståendet.
6. Vilka tal hör till mängden (Se sidorna 82 → 93)
a) {2, 3, 5, 7,9 }∩({1, 2, 3, 4 }∪{ 3, 4, 5,6 })
b) { n: n är ett jämnt heltal } ∩{ n: n2 <14 }
7. a) Beskriv den gråa mängden med hjälp av symbolerna ∪, ∩ och \
b) Bevisa följande: X ∖( A∩B)⊃( X ∖ B)∪( X ∖ B). Detta är bokens uppgift 512. Se sida
86 för metoden som ska användas.
8. a) Låt
100.
−1
f :ℝ  [0, ∞ ) där f (x )=x 2 . Bestäm f [ A] då
A=[100,144]. Tips: Se sida
b) Är a-delens funktion f injektiv? Är den surjektiv? Är den bijektiv? Tips: Se sida 95
9. Bestäm sgd(1443, 13875).
10. Lös den Diofantiska ekvationen 36 x +49 y=14
11. Bevisa, endast utgående ifrån de reella talens axiom på sida 10 att följande räkneregler
gäller för reella tal:
a)
x⋅1=x
b)
ab c=acbc
c)
0⋅x=0
12. De rationella talen är sådana tal som kan skrivas på formen
a) Bevisa att
m
där m och n är heltal.
n
√ 3 är ett irrationellt tal. [4 p]
Tips: Gör en antites, dvs anta att
m
√ 3= ∈ℚ . Man kan anta att heltalen m och n inte
n
har gemensamma faktorer. Kvadrera uttrycket och få 3 n2 =m2 . Detta implicerar 3|m.
Talet m kan således skrivas på formen m = 3k. Vad kan man nu säga om talet n?
b) Bevisa att summan av två rationella tal är ett rationellt tal. [1 p]
c) Bevisa att produkten av två rationella tal är ett rationellt tal. [1 p]