MAA11, De reella talens axiom och andra bevis
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Bevisa att 151 är ett primtal.
Bevisa att talet √ 5 är ett irrationellt tal.
Bevisa att n⋅1=n med hjälp av axiomen på sida 10.
Gå igenom och reproducera bevisen på sida 11 som visar att a⋅(−b)=−(ab) och
(−a)⋅(−b)=ab
Bevisa med hjälp av de algebraiska axiomen på sida 10 att 0⋅a=0 för varje reellt tal a
Bevisa med hjälp av ordningsaxiomen på sida 15 att x >0 leder till att −x< 0.
Anta att a +b=0 och att a +c=0. Bevisa med hjälp av de algebraiska axiomen på sida
10 att b=c.
Anta att ba=1 och att ca=0. Bevisa med hjälp av de algebraiska axiomen på sida 10 att
b=c.
Bevisa med induktion att 1+3+5+⋯+( 2 n−1)=n2 . Talet n är ett positivt heltal.
Stjärnuppgifter
1. Visa med induktion att (2 n)!≥( n!)2
2. Anta att p är ett primtal som inte är 2 eller 5. Visa att det finns ett heltal vars varje siffra är
en 9:a och som är delbart men p. (Se Fermats lilla sats på sida 141)
3. Låt m och n vara heltal vars största gemensamma faktor är 1. Talen a och b är heltal och r är
ett positivt heltal. Visa följande:
Om na≡nb (mod r) och ma≡mb (mod r) så är a≡b (mod r).
