Instuderingsfrågor för Endimensionell
analys – inledande kurs 6 hp för Bi
2007
Kap. 0 och appendix B.1–B.2
1. Vad betyder tecknen ∈, ⊆, ∅, ⇒ respektive ⇐⇒ ?
2. Vilka talmängder betecknas med N, Z, Q och R?
27. Vad menas med en sluten polygon och hur kan man
beräkna arean av området innanför en sådan?
28. Formulera och bevisa Pythagoras sats.
29. Om hypotenusan och en katet i en rätvinklig triangel är
lika med motsvarande sidor i en annan, hur kan man då
dra slutsatsen att de två trianglarna är kongruenta?
3. Vad är skillnaden mellan en ekvation och ett uttryck?
Ge exempel.
30. Formulera och bevisa omvändningen till Pythagoras
sats. (Det finns ytterligare ett bevis bland övningarna.
Välj själv det du tycker är enklast.)
4. Vad menas med att två ekvationer är ekvivalenta?
31. Formulera transversalsatsen.
5. Varför kan inte symbolerna ⇒ och ⇐⇒ användas mellan två uttryck?
32. Vad menas med att två trianglar är likformiga?
6. Vad menas med kvadratkomplettering? Kan alla andragradspolynom, t.ex. även x2 , kvadratkompletteras?
34. Formulera och bevisa bisektrissatsen. (Det finns ytterligare ett bevis bland övningarna.)
7. Härled lösningsformeln för andragradsekvationen
x2 + ax + b = 0.
35. Formulera alla likformighetsfallen och bevisa ett av dem.
8. Hur angriper du olikheter som innehåller polynom och
kvoter av polynom?
9. Vad karakteriserar en aritmetisk summa? Hur beräknar
man en sådan?
Kap. P
10. Vad är det för skillnad mellan ett axiom, en definition
och en sats?
11. Vad menas med parallella linjer i planet?
12. Visa att vertikalvinklar är lika stora.
33. Formulera topptriangelsatsen.
36. Definiera begreppet cirkel.
37. Formulera och bevisa randvinkelsatsen samt två omedelbara följder av denna.
38. Bevisa ett samband mellan de fyra sträckor som bildas
då två kordor skär varandra inuti en cirkel. (Kordasatsen, inre fallet)
39. Definiera en tangent till en cirkel och ange en viktig egenskap hos denna.
Kap. T
13. Vad menas med kongruenta trianglar?
40. Definiera de trigonometriska funktionerna, dels i specialfallet av en rätvinklig triangel, dels generellt.
14. Formulera ett axiom som handlar om punkter och linjer.
41. Visa trigonometriska ettan.
15. Formulera ett axiom som handlar om linjer och vinklar.
42. Använd enhetscirkeln och kongruenta trianglar för att
visa formler för sin(−α), sin(90◦ −α), sin(180◦ −α) samt
motsvarande formler för cosinus.
16. Formulera kongruensaxiomen.
17. Hur vet man att två normaler till en linje alltid är parallella?
18. Ange och bevisa vad vinkelsumman i en triangel respektive fyrhörning är.
19. Formulera och bevisa yttervinkelsatsen.
20. Definiera fem olika specificeringar av en fyrhörning.
21. Visa att en rektangel är en parallellogram.
22. Visa att en romb är en parallellogram.
23. Formulera och bevisa parallellogramsatsen.
43. Formulera och bevisa areasatsen.
44. Formulera och bevisa sinussatsen. (Det finns ytterligare
bevis i ett exempel samt bland övningarna.)
45. Formulera och bevisa cosinussatsen.
46. Givet radien i en cirkel, skriv upp formler för dess
omkrets respektive area.
47. Givet radien och båglängden för en cirkelsektor, ange
dess area.
48. Hur definieras vinkelmåttet radian?
24. Visa att diagonalerna i en parallellogram delar varandra
mitt itu.
49. Ange sambandet mellan båglängd, vinkel och radie för
en cirkelsektor, dels då vinkeln mäts i grader, dels i radianer.
25. Formulera och bevisa satsen om en likbent triangel samt
basvinkelsatsen.
50. Härled olikheterna
26. Bevisa formler för triangelns, parallellogrammens samt
parallelltrapetsets area.
sin x < x < tan x
då 0 < x <
π
.
2
Kap. R
Kap. 1
51. Hur många punkter behövs för att entydigt bestämma
ett plan i rummet?
72. Beskriv vad som menas med en funktion samt funktionens definitionsmängd och värdemängd?
52. Redogör för hur två plan i rummet kan ligga i förhållande
till varandra.
73. Låt f vara en funktion vars definitionsmängd och
värdemängd är delmängder av R. Vad menas med grafen
av f ?
53. Redogör för hur två linjer i rummet kan ligga i förhållande till varandra.
54. På vilka sätt kan en rät linje och ett plan ligga om de är
parallella?
55. Visa att två skärande linjer i rummet entydigt definierar
ett plan.
56. Härled Pythagoras sats i rummet, dvs längden av en
diagonal i ett rätblock med givna kantlängder.
57. Definiera följande begrepp: polyeder, rätblock, prisma,
parallellepiped, pyramid, cylinder, kon, sfär, klot.
58. Ange formler för volymen av följande kroppar: prisma,
pyramid, cylinder, kon, klot.
59. Ange mantelytans area för en rak cirkulär kon med radie
r och sida s.
60. Härled en formel för mantelytans area av en stympad
rak cirkulär kon där den större cirkelskivan har radien
R och den mindre radien r samt sidolängden (kortaste
avståndet mellan en punkt på den ena cirkeln till den
andra) är t.
61. Vad menas med ett tangentplan till en sfär?
62. Ange arean av en sfär med radie R.
63. Redogör för sambanden mellan längd-, area- och volymskala.
Kap. A
64. Skriv upp formler för avståndet mellan två punkter dels
på tallinjen, dels i planet.
65. Definiera begreppet riktningskoefficient för en linje i
planet. Vilka värden kan den antaga?
66. Hur får man fram ekvationen för en rät linje a) om man
känner riktningskoefficienten och en punkt på linjen; b)
om man känner två punkter på linjen?
67. Hur får man fram ekvationen för en normal till en linje
i en given punkt på linjen?
68. Ange ekvationen för en parabel med symmetrilinje parallell med x-axeln och vertex i (x0 , y0 ), som ligger a) till
höger och b) till vänster om linjen x = x0 i xy-planet.
69. Härled cirkelns ekvation.
74. Definiera funktionen ”absolutbeloppet av ett reellt tal”.
75. Skriv upp formeln för polynomdivision,
f (x)
= . . ., och
g(x)
använd denna för att bevisa faktorsatsen för polynom.
76. Om det finns en heltalsrot till en polynomekvation med
heltalskoefficienter, hur kan man finna denna rot?
77. Vad karakteriserar en geometrisk talföljd?
78. Skriv upp och härled formeln för en geometrisk summa.
79. Definiera n! samt nk . Vad är n0 och n1 ?
80. Skriv (a + b)5 som en summa. Skriv upp den allmänna
binomialsatsen.
81. Skriv upp Pascals triangel till och med n = 6.
82. Kontrollera att Du kan de olika lagarna för potenser och
logaritmer genom att skriva om
aα aβ =
a
log st =
,
,
(aα )β =
a
s
log =
t
83. Bevisa logaritmlagarna
potenslagarna.
med
,
aα b α =
,
a
,
t
log s =
utgångspunkt
.
från
84. Uttryck a log x med hjälp av ln x.
85. Låt α > 0 och a > 1. Arrangera funktionerna xα , ln x
och ax i storleksordning för stora värden på x. Precisera
svaret i form av gränsvärden då x → ∞.
86. Vad menas med inversen f −1 till en funktion f ? Har
alla funktioner en invers? Ange ett tillräckligt villkor för
att det ska finnas en invers.
87. Illustrera en funktion i intervallet 1 ≤ x < ∞ som är
både strängt växande och uppåt begränsad.
88. Definiera begreppet strängt växande funktion.
89. Definiera begreppen jämn respektive udda funktion.
90. Ge tre exempel på en jämn funktion och tre exempel på
en udda funktion.
91. Skriv upp en trigonometriska additionsformlerna. Ange
formler för dubbla vinkeln för sinus respektive cosinus.
Härled alla formler utifrån en subtraktionsformel.
70. Skriv upp ekvationen för en ellips med halvaxlarna a och
b och medelpunkten (x0 , y0 ) samt rita en figur.
92. Redogör för hjälpvinkelmetoden vid behandling av uttryck av formen A cos ωx + B sin ωx. Vad kan metoden
användas till?
71. Ange en ekvation för en hyperbel samt dess asymptoter.
Rita hyperbeln och asymptoterna i en figur och sätt ut
skärningarna med koordinataxlarna. Vad händer om x
och y byter plats i ekvationen?
93. Definiera arcsin x, arccos x respektive arctan x. Ange deras definitions- och värdemängder samt rita deras grafer.
