KARLSTADS UNIVERSITET
Avdelningen för matematik
Ilie Barza
Detaljerad kursplanering för MAGC06
Lektion 1: Kap.1.
Kroppen av komplexa tal. Underkroppen av reella tal. Det komplexa talplanet.
Komplexa tal på polär form. Funktionerna ” arg ” och
√ ”Arg”.
1
A.de Moivres formel. Den algebraiska n−te roten n n = z n (med n naturligt
tal ≥ 1).
RU(=Rekommenderade Uppgifter):
Sidorna7-8: 14;18;20;23;24;35;36;39;41;45;49;50.
Sidorna 12-14: 3;6;12;13;17;19;23;25.30;38;39;42;44.
Sodorna19-21: 1-9(udda tal;15;17;19; 25-28;32;35;36;37;38;49.
Sidorna 24-26: 4;5;7;9;13; 17;18;23;24.
Sidorna 31-33: 1-11 (udda tal; 15-23 (udda tal);27-30 (fråga läraren!);38;42-44.
Lektion 2: Kap.2.1-2.4
Komplexa funktioner; reella och imaginära delen av en komplex funktion.Den
komplexa exponentialfunktionen ez . Komplexa avbildningar. Komplexa funktioner av reell variabel; parametriska kurvor i det komplexa talplanet.Linjära
avbildningar. Potensfunktionen z n (n ∈ N; n ≥ 2). Potensfunktionen (flervärd
1
1
funktion) z n . Inversa funktioner för z n . Huvudgrenen till z n . Flervärdiga
funktioner.
RU:
Sidorna 51-52:7;8;14;15;22;28;29;31;32(a)+(b);33;35.
Sidorna 60-61: 1;4;7;19;21;24;26;32;33.
Sidorna 69-71:5;6;10;15;16;19;20;35;39.
Exempel 7/s.82. Sidorna 88-90: 11;12;13;17;19;31;39;45.
Lektion 3: Kap.2.5-2.6.
1
Repetition och detaljer för funktionerna z n och arg. Funktionerna ”Log” och
”log”. Flervärdiga funktioner. Funktionen z 7→ z1 .(Kap.2.5 är huvudsakligen
b Allmänna Möbius
självstudje för studenten!). Riemannsfären och mängden C.
avbildningar. Gränsvärde och Kontinuitet. Global kontinuitet och likformig
kontinuitet. (Stora delar av Kap.2.6 är tänkt som självstudje för studenten!
Sidorna 100-107 !)
RU:
Sidorna 97-99: 1;3;9;13.
Sidorna 116-119: 1-7(udda);13;16;18;27-33(udda);39; 43,44,51;53;55.
Valda uppgifter ur sidorna 124-126.
Lektion 4: Stenciler. Reellt differentierbara funktioner,Komplext differentierbara funktioner, Cauchy-Riemans ekvationer, analytiska funktioner.
RU:
Sidorna 135-137: 1-21(udda); 23;25;27;30.
1
Lektion 5: Kap.3.2-3.3.
Cauchy-Riemanns ekvationer i polära koordinater, harmoniska funktioner i två
reella variabler.
RU:
Sidorna 141-143: 1-7; 9-15 (udda); 17;18; 21-24; 30;32;34.
Sidorna 147-148: 1-16 (Alla !); 17;18.
Lektion 6: Kap.4.1.
Derivatan av exponentialfunktionen, algebraiska egenskaper hos exponentialfunktionen, periodicitet, de komplexa logaritmfunktionerna Log och log.
RU:
Sidorna 172-173: 1;2;9;11;14;15-45 (udda);48:50;52;53.
Lektion 7: Kap.4.2-4.4.
Komplexa potenser,Trigonometriska och hyperboliska (komplexa) funktioner,Inverser
av trigonometriska och hyperboliska funktioner.
RU:
Sidorna 179-180: 1-21 (udda).
Sidorna 191-192: 3;5; 9-29 (udda); 30-32; 35; 40; 41; 43; 47; 50; 51.
Sidorna 199-200: 1-9 (udda); 11-16.
Lektion 8: Kap.5.1-5.2 och Stenciler.
Kort repetitionav reella integralen; Kurvintegraler; Komplexa integraler; Egenskaper hos den komplexa integralen; ML-satsen.
RU:
Sidorna 218-220: 8; 9; 10; 11-25 (udda); 31; 33.
Sidorna 228-230: 1; 2; 3; 6; 8; 10; 15; 16; 19; 23; 25; 32;34.
Lektion 9: Kap.5.3-5.4 och Stenciler.
Cauchy-Goursats sats. Antiderivator(= Primitiva funktioner; Leibniz-Newtons
sats.
RU:
Sidorna 236-237: 1-9; 11-21 (udda); 22-24; 27; 29.
Sidorna 244-245: 1; 3; 5; 13; 19; 23; 25; 26-28.
Lektion 10: Kap.5.5 och Stenciler.
Cauchys integralformel och följdsatser: Liouvilles sats, Algebransfundamentalsats, Moreras sats. Maximum principen.
RU:
Sidorna 253-256: 1-14; 17-23 (udda); 29; 30.
Lektion 11: Kap.6.1-6.2 och Stenciler.
Följder och serier av komplexa tal, konvergenskriterier, serier av komplexa funktioner, Taylor och Maclaurinserier.
RU:
Sidorna 280-282: 1-31 (udda); 37; 39; 41; 43; 45; 46; 47.
Sidorna 289-291: 1-25 (udda);43;48; 49.
2
Lektion 12: Kap.6.3-6.5 och Stenciler.
Laurentserier och Laurents sats, isolerade singulära punkter, residy och residysatsen.
RU:
Sidorna 300-302: 1-16; 19-22; 29; 30; 33.
Sidorna 307-308: 1-29 (udda); 31.
Sidorna 315-317: 1-22; 27-33 (udda); 35; 36; 40.
Lektion 13: Kap.6.6 och Stenciler.
Z 2π
Tillämpningar av residysatsen. Integraler av typen
F (cos θ, sin θ)dθ och
0
Z +∞
P (x)
med P, Q =polynom och deg(Q) ≥ 2 + deg(P ).
Q(x)
−∞
RU:
Sidan 333-335: 1-12; 15-26.
Lektion 14: Kap.6.6 (forts) och Stenciler.
Cauchy principalvärden av några integraler på R.
Rouchés sats. RU:
Sidan 333-335: 27-37 (udda); 59-66.
Argumentprincipen och
Lektion 15: Kap.6.6 (forts) och Stenciler.
Beviset av Rouchés sats. Övningsuppgifter på Kap.6.
Lektion 16: Stenciler. Jordans lemma och andra typer av Cauchy principalvärden för integraler på R.
RU:
Utdelat material.
Lektion 17: Kap.7.1-7.2 Stenciler.
Konforma avbildningar.
RU:
Sidorna 357-359: 1-10; 11; 12; 13; 15.
Sidorna 368-369: 1-8; 13; 14; 17; 19; 21-25 (udda); 28; 30.
-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-//-
3
