Normer och Kondition

Norm Kondition
Normer och Kondition
Carmen Arévalo
2010-02-08
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
1 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Definition
En norm på V (V kan vara Rn , ett matrisrum, C[a, b], etc.) uppfyller tre
räknelagar:
För varje c ∈ R och varje u och v ∈ V ,
kcv k = |c|kv k,
ku + v k ≤ kuk + kv k (triangelolikheten),
kv k ≥ 0, med kv k = 0 om och bara om v = 0.
Detta betyder att:
k0k = 0,
om v 6= 0, så är kv k > 0.
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
2 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Vektornorm: 2-normen
2-normen kan ses som längden av en vektor,
q
kxk2 = x12 + x22 + · · · + xn2
I minstakvadratmetoden såg vi att vi kunde lösa ett överbestämt system,
Ax = b, genom att bestämma det x̃ som minimerar kb − Ax̃k2 .
Vi vet också att kxk22 = x T x, och detta används för att bevisa att
kQxk2 = kxk2 om Q är en ortogonal matris.
2-normen kan användas för att beräkna egenvärdena ur motsvarande
egenvektor:
v T Av
Rayleigh kvoten: T
v v
I MATLAB skriver vi norm(v,2) eller bara norm(v)
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
3 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Vektornorm: 2-normen
2-normen kan ses som längden av en vektor,
q
kxk2 = x12 + x22 + · · · + xn2
I minstakvadratmetoden såg vi att vi kunde lösa ett överbestämt system,
Ax = b, genom att bestämma det x̃ som minimerar kb − Ax̃k2 .
Vi vet också att kxk22 = x T x, och detta används för att bevisa att
kQxk2 = kxk2 om Q är en ortogonal matris.
2-normen kan användas för att beräkna egenvärdena ur motsvarande
egenvektor:
v T Av
Rayleigh kvoten: T
v v
I MATLAB skriver vi norm(v,2) eller bara norm(v)
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
3 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Vektornorm: 2-normen
2-normen kan ses som längden av en vektor,
q
kxk2 = x12 + x22 + · · · + xn2
I minstakvadratmetoden såg vi att vi kunde lösa ett överbestämt system,
Ax = b, genom att bestämma det x̃ som minimerar kb − Ax̃k2 .
Vi vet också att kxk22 = x T x, och detta används för att bevisa att
kQxk2 = kxk2 om Q är en ortogonal matris.
2-normen kan användas för att beräkna egenvärdena ur motsvarande
egenvektor:
v T Av
Rayleigh kvoten: T
v v
I MATLAB skriver vi norm(v,2) eller bara norm(v)
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
3 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Vektornorm: 2-normen
2-normen kan ses som längden av en vektor,
q
kxk2 = x12 + x22 + · · · + xn2
I minstakvadratmetoden såg vi att vi kunde lösa ett överbestämt system,
Ax = b, genom att bestämma det x̃ som minimerar kb − Ax̃k2 .
Vi vet också att kxk22 = x T x, och detta används för att bevisa att
kQxk2 = kxk2 om Q är en ortogonal matris.
2-normen kan användas för att beräkna egenvärdena ur motsvarande
egenvektor:
v T Av
Rayleigh kvoten: T
v v
I MATLAB skriver vi norm(v,2) eller bara norm(v)
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
3 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Vektornorm: 2-normen
2-normen kan ses som längden av en vektor,
q
kxk2 = x12 + x22 + · · · + xn2
I minstakvadratmetoden såg vi att vi kunde lösa ett överbestämt system,
Ax = b, genom att bestämma det x̃ som minimerar kb − Ax̃k2 .
Vi vet också att kxk22 = x T x, och detta används för att bevisa att
kQxk2 = kxk2 om Q är en ortogonal matris.
2-normen kan användas för att beräkna egenvärdena ur motsvarande
egenvektor:
v T Av
Rayleigh kvoten: T
v v
I MATLAB skriver vi norm(v,2) eller bara norm(v)
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
3 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Enhetscirkeln i 2-normen
Enhetscirkeln defineras som punkterna x med kxk = 1.
I 2-normen är den x12 + x22 = 1.
Enhetscirkel med 2−norm
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
Carmen Arévalo
−0.5
0
Normer och Kondition
0.5
1
2010-02-08
4 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Vektornorm: 1-normen
kxk1 = |x1 | + |x2 | + · · · + |xn |
I MATLAB: norm(v,1)
Hur långt måste man gå på Manhattan för att gå från P till Q
1−norm
6
Q (x1,x2)
5
4
3
|x2|
2
1
0
−1
−1
Carmen Arévalo
P
|x1|
0
1
2
3
4
Normer och Kondition
5
6
2010-02-08
5 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Enhetscirkeln i 1-normen
|x1 | + |x2 | = 1
x1 + x2 = 1
om x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
x1 − x2 = 1
om x1 ≥ 0, x2 ≤ 0
−x1 + x2 = 1
om x1 ≤ 0, x2 ≥ 0
−x1 − x2 = 1
om x1 ≤ 0, x2 ≤ 0
Enhetscirkel i 1−norm
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
Carmen Arévalo
−1
−0.5
0
0.5
Normer och Kondition
1
2010-02-08
6 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Vektornorm: ∞-normen
kxk∞ = max{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn |}
I MATLAB: norm(v,inf)
Tillämpningar:
En vara auktioneras på eBay. Hittills har n personer lämnat buden
x1 , x2 , . . . , xn .
Hur mycket måste man bjuda för att lyckas köpa varan?
I ett klassrum finns n studenter, med längderna
x1 , x2 , . . . , xn .
Man vill konstruera en nödutgång. Hur hög måste dörren vara för att
alla ska kunna springa ut utan slå i huvudet när de passerar dörren?
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
7 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Vektornorm: ∞-normen
kxk∞ = max{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn |}
I MATLAB: norm(v,inf)
Tillämpningar:
En vara auktioneras på eBay. Hittills har n personer lämnat buden
x1 , x2 , . . . , xn .
Hur mycket måste man bjuda för att lyckas köpa varan?
I ett klassrum finns n studenter, med längderna
x1 , x2 , . . . , xn .
Man vill konstruera en nödutgång. Hur hög måste dörren vara för att
alla ska kunna springa ut utan slå i huvudet när de passerar dörren?
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
7 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Vektornorm: ∞-normen
kxk∞ = max{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn |}
I MATLAB: norm(v,inf)
Tillämpningar:
En vara auktioneras på eBay. Hittills har n personer lämnat buden
x1 , x2 , . . . , xn .
Hur mycket måste man bjuda för att lyckas köpa varan?
I ett klassrum finns n studenter, med längderna
x1 , x2 , . . . , xn .
Man vill konstruera en nödutgång. Hur hög måste dörren vara för att
alla ska kunna springa ut utan slå i huvudet när de passerar dörren?
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
7 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Rotation av en stelkropp
En rotationsmatris är ortogonal. Vi vet att kQxk2 = kxk2 , men det gäller
varken för 1-normen eller ∞-normen.
Rotation
5
4
|x|2=5
|Qx|2=5
3
y
|x|1=7
|Qx|1=5.66
2
|x|∞=4
|Qx|∞=4.95
x
1
Qx
0
0
1
2
3
4
5
x
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
8 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Vanliga matrisnormer
kAk1 = max {kkolj k1 },
1≤j≤n
q
kAk2 = ρ(AT A),
ρ(B) = max{|λi (B)|},
kAk∞ = max {kradi k1 },
1≤i≤n
Carmen Arévalo
norm(A,1)
Normer och Kondition
norm(A,2)
norm(A,inf)
2010-02-08
9 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Vanliga matrisnormer
kAk1 = max {kkolj k1 },
1≤j≤n
q
kAk2 = ρ(AT A),
ρ(B) = max{|λi (B)|},
kAk∞ = max {kradi k1 },
1≤i≤n
Carmen Arévalo
norm(A,1)
Normer och Kondition
norm(A,2)
norm(A,inf)
2010-02-08
9 / 12
Norm Kondition
Vanliga vektornorm Matrisnormer
Vanliga matrisnormer
kAk1 = max {kkolj k1 },
1≤j≤n
q
kAk2 = ρ(AT A),
ρ(B) = max{|λi (B)|},
kAk∞ = max {kradi k1 },
1≤i≤n
Carmen Arévalo
norm(A,1)
Normer och Kondition
norm(A,2)
norm(A,inf)
2010-02-08
9 / 12
Norm Kondition
Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen
Konditionstal
κ(A) = kAk kA−1 k
beror på vilken norm man använder.
I MATLAB: cond(A,1), cond(A,2), cond(A,inf)
kx − x̃k
kb − Ax̃k
= κ(A)
kxk
kbk
Om konditionstalet κ(A) och residualen kb − Ax̃k är små, då är felet
kx − x̃k också litet.
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
10 / 12
Norm Kondition
Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen
Enhetsmatris och Hilbertmatris
κ(I ) = 1
κ(A) ≥ 1
Hilbertmatriser är ett exempel på illakonditionerade matriser.
Hilbertmatrisen har element H(i, j) = 1/(i + j − 1).
>> A=hilb(4)
A=
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
0.3333 0.2500 0.2000 0.1667
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429
>> cond(A,2)
ans =
1.5514e+004
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
11 / 12
Norm Kondition
Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen
Exempel i MATLAB
H=hilb(10);
A=rand(10);
condH=cond(H)
condA=cond(A)
x=rand(10,1);
bH=H∗x;
bA=A∗x;
xtildeH=H\bH;
xtildeA=A\bA;
resH=norm(H∗xtildeH-bH)
resA=norm(A∗xtildeA-bA)
errH=norm(x-xtildeH)
errA=norm(x-xtildeA)
condH =
1.6025e+013
condA =
Carmen Arévalo
82.1347
Normer och Kondition
2010-02-08
12 / 12
Norm Kondition
Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen
Exempel i MATLAB
condH =
1.6025e+013
condA =
82.1347
resH =
1.5701e-016
resA =
1.2561e-015
errH =
7.3442e-004 fel med illakonditionerad matris
errA =
2.0447e-015 fel med välkonditionerad matris
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
12 / 12
Norm Kondition
Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen
Exempel i MATLAB
condH =
1.6025e+013
condA =
82.1347
resH =
1.5701e-016
resA =
1.2561e-015
errH =
7.3442e-004 fel med illakonditionerad matris
errA =
2.0447e-015 fel med välkonditionerad matris
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
12 / 12
Norm Kondition
Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen
Exempel i MATLAB
condH =
1.6025e+013
condA =
82.1347
resH =
1.5701e-016
resA =
1.2561e-015
errH =
7.3442e-004 fel med illakonditionerad matris
errA =
2.0447e-015 fel med välkonditionerad matris
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
12 / 12
Norm Kondition
Illakonditionerad matris Hilbertmatrisen
Exempel i MATLAB
condH =
1.6025e+013
condA =
82.1347
resH =
1.5701e-016
resA =
1.2561e-015
errH =
7.3442e-004 fel med illakonditionerad matris
errA =
2.0447e-015 fel med välkonditionerad matris
Carmen Arévalo
Normer och Kondition
2010-02-08
12 / 12