Kapitel 1

Kapitel 1
1104
a) Ej ekvivalens. VL är en lösning till olikheten i
HL. Men olikheten i HL kan vara sann utan att
VL är det.
b) Ekvivalens. Om vi har en produkt medför
det att vi har faktorer och vice versa.
c) Ekvivalens. Att säga att ett tal är jämnt är
samma sak som att säga att det inte är udda.
d) Ekvivalens. Om VL gäller medför det att HL
är uppfyllt och vice versa.
1105
a) => Om talet är 1/3 medför det att talet är
rationellt. Men att ett tal är rationellt medför
inte att talet är just 1/3.
1314
Ett jämnt antal minustecken medför att
produkten är positiv, ett ojämnt negativ.
1315
−91 + (−37)
= −64
2
1316
a) VL: 5 + (–3) = 8 => Det måste stå en etta i
rutorna.
b) HL = 50.
9x + x = 50 => x(9 + 1) = 50. Dvs. x = 5
1317
Skriv om uttrycket: 16 – 5 – 20 – 4 + 3 = – 10
b) <= Om HL är uppfyllt medför det att x är
positivt, men det omvända gäller inte.
1318
c)  VL medför att HL är sant, och vice versa.
b) T.ex. –1 – (–7) = –6
d) => Om x = 4 medför det att HL är sant. Men
HL är även sant för x = – 4.
1319
1202
Nej, Fatima har inte bevisat att påståendet
gäller generellt.
Exempel på bevis:
a är ett heltal. Visa att medelvärdet av
a + (a+1) + (a+2) är (a + 1) för alla heltal.
a + (a + 1) + (a + 2) 3a + 3
=
= a +1
3
3
v.s.b
a) T.ex. –7 + (–7) = –14
a) Resultatet så stort som möjligt om den
vänstra termen är så stor som möjligt och den
högra så liten som möjligt: 20 – 5 · 10
b) Så stort som möjligt om den högra termen
blir positiv och så stor som möjligt:
2 – 5 · (–3) = 13
c) –5 – 3 · (–10)
1320
Nej, för stora negativa tal, till exempel a = –50,
blir produkten positiv och större än 81.
1321
Differensen mellan två på varandra följande
tal är 5: –14, –19, –24
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
1
1321
1509
b) Differensen är 98:
Förläng bråktalen så att de får samma
1 7 3 6
1 3
nämnare: =
; =
⇒ >
2 14 7 14
2 7
–249, –347, –445
1409
23, 97 och 357 (kan ej delas upp i
primtalsfaktorer).
91 kan delas upp i 7 · 13.
1510
a) Skriv om kända tal så att de får samma
nämnare:
2 5
15
15 − 5 10
1
1 =
;5=
⇒ Sökt tal är
=
=
3
3 3
3
3
3
3
1410
Nej. Kontroll med hjälp av några
delbarhetsregler ger att siffersumman (15) är
delbar med 3.
1412
a) Ej skottår. Ej jämnt delbart med 4.
b) Ej skottår. Jämnt delbart med 4 men ej
jämnt delbart med 400.
1
till HL. Sökt tal är
9
1 2
3
1
4 +1 = 5 = 5
9 9
9
3
b) Flytta över −4
1 2 29 2
6
c) 4 − =
− = 3
7 7 7 7
7
1511
d) Skottår.
2 3 14 9 23
+
+
23
3 =
7 21 21
= 21
=
2
2
2 42
1413
1512
Prova med några av de första primtalen:
Givet
T.ex. 3 och 5, 7 och 9
1) a/b = 3/4
1414
2) a + b = 56.
c) Ej skottår. Ej jämnt delbart med 4.
Ansätt a, a+1 och a+2.
a = 3b/4. Sätt in i 2): 3b/4 + b = 56 =>
Summan av tre på varandra följande tal är
alltid delbar med 3 eftersom summan kan
skrivas a + (a+1) + (a+2) = 3a + 3 = 3(a + 1).
1415
Kontrollera om 101 och 103 är primtal => De
är det första primtalstvillingarna som är större
än 100.
1416
Använd räknare eller sök på "factoring
calculator" på webben.
b(3/4 + 1) = 56; b = 56/(7/4) =>
b = 32 och a = 24
1519
12 4 12 8
4 2
− =
− =
=
14 7 14 14 14 7
1520
7 1 7 3
4 1
− =
− =
=
12 4 12 12 12 3
1417
Se lösning i boken.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
2
1521
Räcker det till 5 barnbarn? Nej,
1 1 6 3 2 1
1− − = − − =
2 3 6 6 6 6
1 1
< .
20 7
1535
1522
Anta att det finns t.ex. 15 anställda. Då är 1/5, dvs.
3 anställda tjänstemän . 1/3 slutar, alltså slutar 1
tjänsteman. Då finns det totalt 2 tjänstemän kvar.
Eftersom 1 slutat är det totalt 14 anställda kvar.
Alltså 2/14 = 1/7.
a)
1 1 3
3
1
⋅ ⋅ =
=
2 3 10 60 20
b)
1 1 1 2 2 2 1
⋅ + ⋅ =
+ =
2 3 4 3 12 12 3
1536
1 1
1
⋅ liter =
liter
2 8
16
1523
1 1 6 1 2 1
Vita: 1 − − = − − =
6 3 6 6 6 2
1537
1524
x 1
> . Det bråk med nämnare 21 som är
21 3
1
8
närmast större är
.
3
21
1525
Om summan ska vara 2/7 och bråktalen
positiva och olika måste varje bråktal vara
mindre än 2/7. T.ex. 1/28, 2/28 och 5/28.
1526
2
5
⋅x = 1 ⇒ x =
5
2
1538
Multiplikation med det inverterade bråket ger
svaret.
a) 2
b)
1
2
3
2
e)
b
a
d)
a c ad bc ad + bc
+ =
+
=
b d bd bd
bd
1539
1527
a) 1/4
b) 1/6
c) 1/8
d) 1/(2a)
c)
2
3
Multiplicera med 1/2.
Tre svarta godisbitar utgör
1 1 1 28 14 7 4
3
1− − − =
− − − =
2 4 7 28 28 28 28 28
av innehållet i påsen. Det finns 28 godisbitar i
påsen.
1528
Räcker det till 4 barnbarn?
1 1 1 1 60 20 15 12 10 3
1
1− − − − =
− − − − =
=
3 4 5 6 60 60 60 60 60 60 20
Ja.
1540
1
2 3
1 3 1
(i papper ) + ⋅ (choklad ) + ⋅ ⋅ ( geléhallon) +
4
3 4
3 4 2
1 3 1
+ ⋅ ⋅ (lakrits)
3 4 2
1
=> är lakrits.
8
1541
3 5
25
a) x ⋅ =
⇒ x=
5 3
9
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
3
b) och c) Samma metod som i a) =>
b) 49/4
a2
b2
c)
b) 4 ⋅ 240 =
242
c)
1542
1616
18 3
8 2
x =
x ⋅ = => =
24 4
9 3
a)
1543
Vill ha stort tal i täljaren och så litet som
möjligt i nämnaren.
2 3
+
21 23 ⋅ 6 138
5
3 =
7 23 /=
= = 19
5 1 1/18
7
7
8
−
9 2
Se facit.
b) Se a-uppgiften.
1617
a) 3 och 27. Mitt emellan ligger (27+3)/2 = 15.
b) 8 och 100. Mitt emellan ligger 108/2 = 54.
1618
Talet blir 8 ggr större.
1612
a) 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ n ⋅ n ⋅ n =30n3
b)
106
= 103 Talet blir 1000 ggr större.
3
10
c)
(2a)3 8a 3
= =
8 Talet blir 8 ggr större.
a3
a3
b) Se facit.
c)
4
6
2 x ⋅ 5x
= 10 x 4
23 x 6
1619
1613
x
a) 7 / 7 = 7
26 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4 3
x −1
1620
b) (7 ⋅ 7 x )3 =73 ⋅ 73 x =343 ⋅ 73 x
Se facit.
1621
c) 7 x ⋅ 7 x ⋅ 7 =
72 x +1
2
3 2
2
4
6
4
d) (7 x=
y ) 7=
x y 49 x y
1614
a) 100 000 = 105 => k = 10
b) a x ⋅ a y =
a x + y => k = 7
c)
1 3
⋅ 4 = 2−1 ⋅ (2 ⋅ 2)3 = 2−1 ⋅ 23 ⋅ 23 = 25 = 32
2
203 (2 ⋅10)3 23 ⋅103
a)
23
=
=
=
3
3
3
10
10
10
1544
4
1 40
⋅ 2 = 240 −1 = 239
2
1000
=
>k=
125 =
5k =
3
8
1615
6
354 = (36 )9
536 = (54 )9
36 = 729 > 625 = 54
1622
(7 ⋅ 6 x )2 =49 ⋅ 62 x =49 ⋅ (62 )x =49 ⋅ 36 x
1623
π ⋅ 4r 2 , dvs. Arean ökar 4 ggr.
a) π ⋅ (2r )2 =
π ⋅ 9r 2 , dvs. Arean ökar 9 ggr.
b) π ⋅ (3r )2 =
a) 2 ⋅ 240 =
241
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
4
1624
1638
Se facit.
1
1
 2  = 1 1 1 = 2⋅2⋅2 = 8
 
⋅ ⋅
2 2 2
−3
1625
(27 )70 =12870 > (53 )70 =12570
1639
1630
1
1
=
⇒ Kraften blir en fjärdedel så
2
(2r )
4r 2
a)
1 1 1 18 12 4 17
+ + =
+ + =
2 3 9 36 36 36 18
stor.
1631
b)
Skriv om: 3 + 5 = 8.
1632
1
4
=
⇒ Kraften blir 4 ggr så stor.
2
r2
r
2
 
4 −1
16−1 (2=
)
2−4
a) =
c) Jfr a) och b). Kraften blir en sextondel.
b) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 23 =26
1646
25
c) 7 = 2−2
2
−
 x − y a x  101
1
1− 4
−3
=
10=
10=
a = =
y 
4
a  10 103

33 27
33
−3
=
=
= 33=
1
och
30 , dvs. 30 måste
33 27
33
vara lika med 1.
1635
2
3
1
25
3
−
1
1
−3
5
d) (25 )=
2=
27
8
3
−3
2
c) (32 )=
3=
1647
1648
Se facit.
1649
1
1
= 102 ⇒ 103 ⋅102 = 105
10−2
1
24 2 = (2 ⋅ 3 ⋅ 4) 2 =
2 ⋅ 3 ⋅2
1650
1636
d) eftersom 5 2=
10 x = 106 ⇒ x = 6
3
−
−2
b) (5 )= 5=
3
4
3
a 2=
16 b) =
a) =
a 4=
64
1634
V=
1
=
4 2
a)
1633
1637
4π r 3
1
25 ⋅ 2=
50
1651
1
V3=
r
4π (3r )
4π r
,
= 27 ⋅
3
3
dvs. 27 ggr så stor.
3
3
1
2
5
y  x 2  y 4  y 4  x 4
⋅  ⋅
=
⋅  =
x  y   x   x   y 
5
4
y ⋅x
−
5
4
2
4
⋅x ⋅ y
−
2
4
3
 y 4
=
x
 
Dvs. n = 3/4.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
5
1707
c) 1 ⋅162 + 1 ⋅160 =101sexton
a) 1 ⋅ 26 + 1 ⋅ 25 + 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 =102tio
6
4
3
0
b) 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 =89tio
c) 6 bitar: 255 – 128 – 64 = 63
1716
12 ⋅162 + 7 ⋅161 + 15 ⋅160 =
3072 + 112 + 15 =
3199tio
1717
1708
18tio
a) 1 ⋅161 + 2 ⋅160 =
9
1⋅ 2 =
512
260tio
b) 1 ⋅162 + 0 ⋅161 + 4 ⋅160 =
1709
a) 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 + 1 ⋅ 20 + 1 ⋅ 2−1 =7,5tio
b) 1 ⋅ 24 + 1 ⋅ 20 + 1 ⋅ 2−1 + 1 ⋅ 2−2 =17,75tio
1718
12sexton
a) 1 ⋅161 + 2 ⋅160 =
c) samma metod som i a och b.
4A sexton
b) 4 ⋅161 + 10 ⋅160 =
1710
1ABsexton
c) 1 ⋅162 + 10 ⋅161 + 11 ⋅160 =
a) 17,75tio = 1 ⋅ 24 + 1 ⋅ 20 + 1 ⋅ 2−1 = 10001.12
1719
4 ⋅ b2 + 6 ⋅ b0 =
330
b) 65,375tio = 1 ⋅ 26 + 1 ⋅ 20 + 1 ⋅ 2−2 + 1 ⋅ 2−3 =
1000001.0112
b2 =81 ⇒ b =±9
b = 9 (negativ rot förkastas)
1711
1720
Minuter: 1 ⋅ 24 + 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 + 1 ⋅ 20 =23tio
4
2
0
Timmar: 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 =21tio
Klockan visar 21:23:29
Se facit.
1713
1 ⋅ 213 + 1 ⋅ 212 + 1 ⋅ 25 + 1 ⋅ 24 + 1 ⋅ 20 =
110000001110012
Se facit.
1715
a) 17 tio = 1 ⋅161 + 1 ⋅160 = 11sexton
a) 1 ⋅ 213 + 1 ⋅ 29 + 1 ⋅ 27 + 1 ⋅ 26 +
+ 1 ⋅ 25 + 1 ⋅ 23 + 1 ⋅ 20 =10001011101001två
b) 2 ⋅163 + 2 ⋅162 + 14 ⋅161 + 9 ⋅160 =
22E9sexton
1712
1714
Se exempel 3:
c) 2 ⋅ 84 + 1 ⋅ 83 + 3 ⋅ 82 + 5 ⋅ 81 + 1 ⋅ 81 =
21351åtta
1721
a) 1 ⋅ 23 + 1 ⋅ 20= 9tio ≠ 8åtta ⇒ F
b)
0
3 ⋅161 + 9 ⋅16=
57 tio
=
= 1 ⋅ 25 + 1 ⋅ 2 4 + 1 ⋅ 23 + 1 ⋅ 20 ⇒ S
c) På samma sätt => F
34sexton
b) 3 ⋅161 + 4 ⋅160 =
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
6
1722
b) 45 000 000 > 5 500 000
1
0
Se s. 39: 255tio = 15 ⋅16 + 15 ⋅16 = FFsexton
c) 290 000 < 3 000 000
1723
1819
= 1 ⋅ 26 + 1 ⋅ 25 + 1 ⋅ 2 4 + 1 ⋅ 23 + 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 20 =
= 1111101två
a)
100 + 300
= 200
2
1724
b)
500 + 1000
= 750
2
c)
0,01 + 1
= 0,505
2
5 ⋅ 25 = 125 =
Det största binära tal som kan skrivas med
32 bitar är
1 ⋅ 231 + 1 ⋅ 230 + .....1 ⋅ 20 =4294967295 (10 siffror)
1813
1820
9 ⋅106 ⋅ 4 ⋅104 = 3,6 ⋅1011
3 ⋅108 ⋅ 2 ⋅10−6 m =600 m
1821
a 2 102n
a) (a ⋅10n )2 =⋅
1814
365 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s = 3,15 ⋅107 s
1
b) (a ⋅10n ) 2 =a ⋅10n/2
1815
1
5,83 ⋅10−3 − 0,2 ⋅10 −3 = 5,63 ⋅10 −3
⇒ 0,0002
1
c) (a ⋅10n ) 3 =
a 3 ⋅10n/3
1822
1816
2,8 ⋅1019 ⋅103
s 0,933 ⋅1014 s =
=
8
a) Se exempel 2. Dra roten ur 4 och 10
3 ⋅10
9,33 ⋅1013
4
år = 3 ⋅106 år
=
=> 2 · 10
365 ⋅ 24 ⋅ 3600
b)
8
0,16 ⋅ 1010 =
0, 4 ⋅105 =⋅
4 104
c) 1, 44 ⋅ 10−2 =
1,2 ⋅10−1
(en värdesiffra, se sid 48-49)
1823
= 1,8 ⋅1019
a) 264
1817
1
−9 3
a) (27 ⋅10 ) =
3 ⋅10−3
1
b) (8 ⋅10−3 ) 3 =
2 ⋅10−1
b)
1,8 ⋅1019
⋅ 0,005 kg = 9 ⋅1014 kg
100
1834
a) 9 ⋅10−5 ⋅ 30 m = 2,7 ⋅10−3 m = 2,7 mm
1
c) (10−12 ) 3 = 10−4
1818
Skriv talen på samma form.
b) 2,7 ⋅12 mm = 32,4 mm
c)
9,5 ⋅10−5
m =⋅
1,1 10−9 m =
1,1 nm
24 ⋅ 60 ⋅ 60
a) 50 000 > 6000
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
7
1835
1,2 ⋅106
ggr = 2,4 ⋅1011 ggr
−6
5 ⋅10
1836
2 ⋅1030
1 ⋅1030
1 ⋅1019
kg väte ⇒
s
=
år =
2
8 ⋅ 3600 ⋅ 24 ⋅ 365
8 ⋅1011
= 4 ⋅1010 år
1908
9,5 ⋅106
inv./km 2 = 23 inv./km 2
410 929
(Två värdesiffror)
1909
361
g/cm 3 = 2,70 g/cm 3
133,7
(Tre värdesiffror)
1910
11 m 2
a) 2,8 ⋅ 3,95 m 2 =
(Två värdesiffror enligt tumregeln).
2,8 ± 0,05 m, b =
3,95 ± 0,005 m
b) l =
2,85 ⋅ 3,955 m 2 =
11,27175 m 2
c) Amax =
2,75 ⋅ 3,945 m 2 =
10,84875 m 2
d) Amax =
e) 11 ± 0,5 m 2 , dvs. svaret kan variera mellan
10,5 och 11,5, vilket täcker Amax och Amin.
Tumregeln verkar stämma.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
8
c), d) Se facit.
Kapitel 2
e) 3 liter gräddglass kostar 132 kr. 0,5 liter
kostar c kr.
2111
132 kr c kr
=
⇒=
c 22 kr
3l
0,5 l
Se facit
2112
2207
Se facit
Bodil x kr, Alma x/2 kr
2113
a) Sant, enligt kommutativa lagarna.
Rakel: (x + x/2 +100) kr = (1,5x +100) kr
b) Sant
2208
c) Sant, enligt kommutativa lagarna.
Figur nr 1 har 2 rutor, figur nr 2 har 5 rutor,
figur nr 3 har 10 rutor
d) Ej sant, ty 5 · 3 = 15.
Lägg märke till att
e) Sant
när n = 2 blir antalet rutor 22 + 1
f) Sant, enligt kommutativa lagarna.
g) Sant, enligt prioriteringsreglerna.
h) Sant
när n = 3 blir antalet rutor 32 + 1
Detta stämmer även när n = 1.
För figur nummer n blir antalet rutor n2 + 1
i) Ej sant
2209
2114
a) 25 ⋅ (10 + 4) = 250 + 100 = 350
Figur nr 1 har 1 ruta, figur nr 2 har 5 rutor,
figur nr 3 har 9 rutor
b) 43 ⋅ (10 + 2) = 430 + 86 = 516
När n = 1 blir antalet rutor 1
2115
När n = 2 blir antalet rutor 22 + 1
f, eftersom y –(z – x) = y – z + x = x + y – z
2116
När n = 3 blir antalet rutor 32
Ger inte ett uttryck för figur nummer n. Prova
med:
a) 6 x 2 − 8 x − 6 x 2 + 30 x =
22 x
b) 30 xy + 6 y 2 − 30 xy − 3x = 6 y 2 − 3x
2206
a) Uttrycket betyder att Pentti har köpt
2 ⋅ Pizza + 1 ⋅ påse morötter
När n = 1 blir antalet rutor 1
När n = 2 blir antalet rutor 2 + 2 + 1
När n = 3 blir antalet rutor 3+3+2+1
b) Av annonser framgår att Pentti ska betala
För figur nummer n blir antalet rutor
n + n + (n − 1) + (n − 2) = 2n + n − 1 + n − 2 =
(3a + c)kr
4n − 3
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
1
2210
2306
Rad n = 1 ger talet 1.
Se facit.
Rad n = 2 ger talen 3 och 5
2307
Rad n = 3 ger talen 7, 9 och 11.
y
Lägg märke till att
x
n = 1 ger talet 1.
n = 2 ger två termer: 1 + 2 = 3 och 3 + 2 = 5
2x + 2y = 200 m
y = 100 – x
n = 3 ger tre termer:
A = x · y = x(100 – x) = 100x – x2
5 + 2 = 7, 7 + 2 = 9, 9 + 2 = 11
Antagande: Till alla följande tal adderar vi 2.
Kontrollera 4:e raden => stämmer.
2308
a) 40 öre/minut = 2/3 öre/s
2
=
K 100 + x
3
a)
Talen på rad 6 kan skrivas:
där x är tiden i sekunder och K kostnaden i
öre.
31, 33, 35, 37, 39, 41. Summan är 216.
b)
Alternativ lösning:
Summan av talen på rad 2 är
2
2
K= 100 + x= (100 + ⋅ 56) öre =
3
3
=137,33 öre = 1,4 kr
3 + 5 = 8 = 2 · 2 · 2 = 23
2309
Lägg märke till att summan rad 1 är 1.
Till exempel ett köp av 12 st x (någonting som
kostar mer än 10 kr) och som man betalar
med 2 · 100 kr. P är då växeln som man får
tillbaka.
Summan av talen på rad 3 är
27 = 3 · 3 · 3 = 33
Kontrollera 4:e raden => stämmer.
3
2310
Summan av talen på rad n kan skrivas n .
Lägg märke till att
=> Summan av rad 6 är 63 = 216.
n = 1 => P = 2
b)
n = 2 => P = 2 + 4 = 6
Se alternativ lösning i a-uppgiften.
n = 3 => P = 3 + 9 = 12
1003 = 1 000 000
Figur n har n + n2 punkter.
c)
Se a-uppgift.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
2
2311
2412
S =x + (x + 1) + (x + 2)
S −3 S
S = 3x + 3 ⇒ x =
= −1
3
3
0
a) x 2 y − xy 2 − x 2 y + xy 2 =
2312
b)
Steg 1: Lägg märke till att
2a 2 − 2ab − 2ab − b2 + a 2 + 3ab =
n = 1 => 1 blå
3a 2 − ab − b2
n = 2 => 1 + 2 · 2 blå
c) Samma metod som ovan.
n = 3 => 1 + 2 · 2 · 2 blå
d) Samma metod som ovan.
Vi söker ett uttryck som blir 0 då n = 1.
2413
=> (n – 1) bör ingå i uttrycket.
a) Summera xy-termerna => 12xy
För n = 2 ska uttrycket bli 4. Sätt in n = 2 i
parentesen: (2 – 1) = 1. För att uttrycket ska
bli 4 måste vi multiplicera parentesen med 4.
b) Summera
Antalet blå rutor i figur n är 4(n – 1).
Stämmer även för n = 3.
1
-termerna.
a3
c) Se facit.
d) Se facit.
e) x 3 + 2 x 2 + x − x 3 + 4 x 2= 6 x 2 + x
Steg 2:
2414
n = 1 => 0 vita
a) Division möjlig.
n = 2 => 0 + 4 · 1 vita
b) Förenkling ger 2, inte t.
n = 3 => 0 + 16 = 8 · 2 = 4 · 2 · 2 vita
c) Subtraktion möjlig.
Antalet vita rutor i figur n är 4(n – 1)2.
d) Se s. 74
a)
e) Termerna kan summeras.
Figur 4 har 13 blå och 36 vita rutor.
2415
b) Se lösning ovan.
a + (a + 1) + 11
2a + 12
=
−a
=
−a 6
2
2
c) 57 ≥ 4(n − 1) ⇒ nmax =
15
Gäller för alla tal a.
2410
2416
2 ⋅ 2x + 2 ⋅ 4 y =
54
(a + 2a + 90) ⋅ 2 − 180 6a + 180 − 180
= = a v.s.v.
6
6
2411
a) 3xy + 3x 2 − 3xy + y − 2 x 2 = x 2 + y
b) Sätt in i uttrycket => 35.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
3
2417
2508
a)
Bryt ut (x – 3) => (x – 3)(x – 25)
2 xy + 8 x 2 + 6 x − 6 xy − 24 x 2 − 6 x =
2
givna värden 
=
−4 xy − 16 x sätt in
=
2
2
−4 ⋅ (−3) ⋅ − 16 ⋅ ( −3 ) =8 − 144 =−136
3
2509
Bryt ut 52x => 52x(1 – 54x)
2510
Se facit.
b)
2511
y 2 − xy + x 2 − xy − x 2 =
9(3 + x ) − x(3 + x ) (3 + x )(9 − x )
=
= 3+ x
9−x
9−x
=
y 2 − 2 xy sätt in
=
givna värden 
2
2 4
40
2
 3  − 2 ⋅ (−3) ⋅ 3 = 9 + 4 = 9
 
c)
x 2 + xy − xy x 2 x
= = =
xy − y 2 + y 2 xy y
(−3)
9
= −
2
2
3
d)
1 + x 2 + xy − xy 1 + x 2
= =
7 + xy − y 2 + y 2 7 + xy
=
2
1 + (−3)
=
2
7 + (−3) ⋅
3
10
= 2
5
2506
a)
2x ⋅ 8x 2 + 2x ⋅ 4 8x 2 + 4
=
2x ⋅ 3
3
b)
2 x ⋅ 20 y − 2 x ⋅ y 2 20 y − y 2
=
2 x ⋅ 5x
5x
2611
a) Se exempel 1, 2 och 3 för grundläggande
principer vid ekvationslösning.
5x + 25 − 3x + 3 =
32
2x = 4
⇒x=
2
b)
6s − 12s − 24 =
66
−6s =
90
s = −15
2612
x 4000 ⇒=
x 8
a) 500=
b) Han bör välja lön M. Enligt a-uppgiften
måste han sälja minst 8 maskiner för att lönen
L ska bli lika stor som lönen M.
L= 18000 + 2000 ⋅ 5 kr= 28000 kr
M= 22000 + 1500 ⋅ 5 kr= 29500 kr
c) Se ovan.
2613
2507
a) Bryt ut 5x =>
x +7
2x + 5
b) Bryt ut 4b =>
a 3 + 7a 2b − 9b2
3a 4b3
O =+
6 x 16 cm =
40 cm
x = 4 cm
2614
a)
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
4
3y + 3 =
450
y = 149
Se facit.
x
⋅ 9 + 32 = 2 ⋅ x + 30
5
x
⋅9 = 2⋅ x − 2
5
x
=2
5
x= 10 °C
2616
2626
b) Se facit.
2615
Se facit.
Lös ut D och sätt in givet värde på f:
2617
Skriv om ekvationen och prova med talen:
x(x + 1) =
12
x = –4 => VL = 12
2618
D=
1
1
3
=
=
f 2
2
3
2627
Se exempel 1, 2 och 3 sidan 86 för
grundläggande principer.
Se facit.
a)
2619
5x 5
=
6 3
15x = 30
x =2
a) Sätt in i ekvationen:
1500
= 700 + 200 x
x = 4 timmar
b)
800
= 700 + 200 x
x = 0,5 timmar
2620
a)
25
⋅ 9 + 32 = 77 °F
5
b)
2 ⋅ 30 x 30 x
−
=
7 ⋅ 30
5
6
12 x − 5x =
210
7 x = 210
x = 30
c)
c) 2 ⋅ 25 + 30 = 80 °F
3 ⋅ 30 x 7 ⋅ 30 x 9 ⋅ 30
=
−
2
5
10
45
=
x 42 x − 27
x = −9
Felet blir 3 °F.
2628
9
b) C ⋅ + 32 =
F
5
d)
60000R 60000R 60000R
=
+
200
R
300
300
=
R 60000 + 200R
R = 600
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
5
2629
2643
x
+ 23 =
42
8
x =⋅
8 (42 − 23) =
152
=
m 0,156 ⋅15253 kg = 150 kg
a)
1/2,53
 300 
=
cm 20 cm
b) d =

 0,156 
2630
x+
2x
=
350
3
2644
1/t
Pamela får 210 kr => Linda får 140 kr.
b) h= 17 ⋅ 0,9967 400 cm= 4,5cm
2645
2631
a) Utnyttja potenslagarna
B
B + 2B + =
190
6
19 B= 6 ⋅190
B = 60 m
⇒C =
120m
x 2 x1/2 = 7
=
x 71/2,5 ≈ 2,2
b)
2639
2 ⋅ x −1,5 =
8
a) Sätt in –5 i ekvationen:
=
x 4 −1/1,5 ≈ 0, 40
25 + 30 + 5 ≠ 0
2652
b) 25 − 30 + 5 =
0
a)
c) 1 + 6 + 5 ≠ 0
x
3x
2640
T.ex. x 2 = −1 , som saknar reell lösning.
2641
a) x= 93/2=
( 9 )=
1/2
3
−2/3
=
=
c) x 27
O = 2 ⋅ x + 2 ⋅ 3x
8 x = 32 ⇒ x = 4
Sidorna är 4 och 12 cm.
3
3=
27
b)
1 1
3
b) =
=
x 2−=
23 8
A= x ⋅ 3x
3x 2 = 27
1
1
=
3
3
27
27
x=
± 9⇒x=
3 cm
( )
(negativ rot förkastas).
2642
Sidorna är 3 och 9 cm.
1/2,2
6000
 6000 
x=
⇒=
x 

0,14
 0,14 
2,2
1/300
h
 6,3 
a) a =
=
=
0,9967



 17 
 17 
5x
= 350
3
x = 210
=
m 130 m
2653
a) Se exempel 1
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
6
2656
x + 2 x + (x + 4000) =
16000
x = 3000
x
8
=
4
32
2
=
x = 6
5
5
x+
Cilla 3 000 kr, Anette 6 000 kr och
Bengt 7 000 kr.
b) På samma sätt som i a-uppgiften =>
Cilla 6 500 kr, Anette 13 000 kr och
Bengt 10 500 kr.
2657
Se exempel 1.
x + (x + 28) + 2(x + 28) =
100
Lös ut x. Se facit.
2654
2658
Folkmängden kommer att minska med
400 personer/år för kommun A och öka med
100 personer/år för kommun B.
Lös ut x och se facit.
Kommun A:
2659
2 x + 3(x − 500) =
14500
5x = 16 000
=
F (50 000 − 400 x ) personer
där x är antalet år.
x = 3 200 kr
Kommun B:
2707
=
F (40 000 + 100 x ) personer
där x är antalet år.
Multiplicera alla led med minsta
gemensamma nämnare (ab):
b) Folkmängden i A och B lika då
(50 000 − 400 x ) = (40 000 + 100 x )
10 000 = 500 x
x = 20år
a) 80 kr/barn · x barn = 80x kr
2708
at= v − v0
v − v0
t=
a
x är antalet betalande barn.
b) Faktorn som medlemsavgiften 150 kr ska
multipliceras med är antalet vuxna =>
480 måste betyda det totala antalet betalda
medlemsavgifter.
80 x + 72 000 − 150 x =
51 000
21000
x=
barn =300 barn
70
bx + ay =
ab
ab − ay
ay
x=
= a−
b
b
a)
2655
c)
x + (x + 1) + (x + 2) + x + 3) =
186
b) Samma metod som tidigare. Se facit.
2709
a) Använd räknaren: 0,62
b) Lös ut höjden h och sätt in det givna värdet
på bredden b = 5,0 dm:
=
h
b ⋅ (1 + 5) 5,0
= =
dm 8,1 dm
2
0,62
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
7
2715
c)
A = b ⋅ h = sätt in uttrycket i b-uppgiften  =
2710
Se facit.
2711
2807
mv 2
cmT
=
− ck m
2
mv 2 ck m v 2 ck
T=
−
= −
2cm cm 2c c
a)
5s − 3s + 12 > 12
2s > 0
s>0
2712
9C
= F − 32
5
5(F − 32)
C=
9
b)
Sätt in F = 100 i formeln => 38° C.
2713
a)
2a − ay =B + C
B +C
a=
2− y
b)
2a + 2
= aC
3
2a + 2 =
3aC
2a − 3aC =
−2
2
−2
a =
=
2 − 3C 3C − 2
2714
mv 2
=
N
r
mgr − mv 2 =
Nr
Nr
m=
gr − v 2
mg −
2
b ⋅ (1 + 5) A = s(s − a)(s − b)(s − c) ⇒
2
A2
s −b =
s(s − a)(s − c)
A2
b= s −
s(s − a)(s − c)
2
750 ≥ −5s
750
s≥−
= −150
5
2808
40 + 30 x < 50 + 26 x
4 x < 10
x < 2,5 km
2809
a) O = 2 x + 2(x + 7) < 82
b)
4 x + 14 < 82
4 x < 68
x < 17 cm
2810
Se facit.
2811
Summan av talen ska vara minst lika stor => ≥.
Alternativ B är rätt.
2812
Sätt 2n = n + 2:
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
8
=> n = 2, dvs. uttrycken är lika stora då n = 2.
Sätt in n = 1 och n = 3 i uttrycken:
n = 1: 2 · 1 < 1 + 2 => då n < 2 är uttrycket
(n + 2) störst.
n = 3: 2 · 3 > 3 + 2 => då n > 2 är uttrycket
2n störst.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
9
Kapitel 3
Alternativt kan 90 = 3x => x = 30° osv.
3106
y
z
3110
a) 180 – 125 – 42 = 13
v
u
b) Se facit.
3111
Steg 1:
Likbenta trianglar har två sidor som är lika
långa.
v = y (vertikalvinklar)
Givet att toppvinkeln är 70°:
=> y = 180 – 159 = 21
2x = 180 – 70 => basvinklarna är 55°
Steg 2:
Givet att basvinklarna är 70° =>
u = 180 – 78 – 21 = 81
Toppvinkeln är 40°.
=> z = 180 – 81 = 99
3112
Rita figur:
=> x = 180 – 21 – 99 = 60
3107
38
Ur figur: AB // CD
A
=> A = 48
Vinkeln ADC = 180 – 48 = 132
180 − 48
Basvinklarna E och D är
= 66
2
x = 132 – 66 = 66
3108
3x + 60 = 180
2x = 80°
3109
180 – 90 – 3x – x = 0
=> x = 90/4 = 22,5
=> 3x = 67,5
=> 90°, 67,5° och 22,5°
Räkna ut vinklarna i den "övre triangeln". En
bisektris delar en vinkel mitt itu.
=> 45°, 38° och 97°.
Den spetsiga vinkeln vid A är 180° – 97° = 83°
3113
Vinkeln A = 180° – 90° –32° = 58°
Vinklarna i den "översta" triangeln i figuren är
90°, (58/2)° och 61°.
v = 180° – 61° = 119°
3118
Basvinklarna lika i en likbent triangel.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
1
2u + v =
180
180 v
u
=
−
2 2
v
u
= 90 −
2
3134
Lilla cirkelns area: r 2π = 4 x 2π
=
r 2π (4=
x )2 π 16 x 2π
Stora cirkelns area:
Förhållandet är 1/4.
3119
Vinkelsumman i en triangel = 180 ger
180 − y + u + v =
180
y= u + v
v.s.b
3135
a) Dela upp i en rektangel (3x · 10x) och en
triangel (b = 8x, h = 4x).
A=
30 x 2 +
3120
Vinkelsumman i en triangel = 180 ger
180 − b + 180 − c + 180 − a =
180
a + b + c = 2 ⋅180 = 360
v.s.b.
8x ⋅ 4 x
=
46 x 2
2
b) Se uppgift 3134 => A = 12πx2
3139-3141 Se facit
3142-3144 Se facit
3121
a) Femhörningen är indelad i tre trianglar =>
3152
Pythagoras sats ger
vinkelsumman är 540°.
b) Rita en regelbunden sexhörning och dela in
den i 4 trianglar => vinkelsumman är 720°.
c) Se facit.
x 2 = 352 − 212 ⇒ x = 28
b ⋅ h 21 ⋅ 28
=
A =
cm = 294 cm 2
2
2
3153
3122
Dela upp i två rätvinkliga trianglar.
Yttre triangeln: u + a + b =
180 (ekv 1)
Inre triangel: v + a / 2 + b / 2 =
180 (ekv 2)
x 2 = 362 − 152 ⇒ x = 32,7 cm
A=
2⋅
b ⋅h
32,7 ⋅15
=
2⋅
cm = 490 cm 2
2
2
Multiplicera den andra ekvationen med 2.
Subtrahera sedan ekv 1 med ekv 2:
3154
u − 2v =
−180 ⇒ u =
2v − 180°
Pythagoras sats ger
3122
162 = x 2 + x 2 ⇒ x 2 = 128 cm
2
=
=
π x 2π
A1 basarean
 r=
A = 130 cm (två siffrors noggrannhet)
=
A2 mantelytan = omkretsen
=
⋅ höjden 
2
= 2rπ ⋅ h= 2 xπ 4 x= 8π x
Begränsningsytans area = 2 A1 + A2 = 10π x 2
3155
Yttre triangel:
=
b
x=
392 − 152 dm = 36 dm
152 + (36 − 16)2 dm = 25 dm
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
2
3156
3209
A =x ⋅ 0,7 x =1,35 m
2
⇒ x =1,39 m
a) O = 2 ⋅ 0,7 ⋅1,39 + 2 ⋅1,39 m = 4,72 m
b) Pythagoras sats ger
2
Likformighet ger
x
2
=
⇒
=
x 30 cm
135 (2 + 7)
3210
2
c = (0,7 ⋅1,39) + 1,39 m =1,70 m
Likformighet ger
(4,1 + 9,9) (5,2 + x )
=
⇒
(5,2)
4,1
=
x 11,038 − 5,2 cm = 5,8 cm
3157
Utnyttja Pythagoras sats:
2
3 ⋅ a2 a 3
a
=
h = a2 −   =
4
2
2
3211
Eller se facit.
3220
Se facit.
3207
Pythagoras sats ger den andra kateten i den
vänstra rektangeln:
11
≠ sin30° ⇒ Nej, han har inte mätt rätt.
24
b = 1042 − 962 cm =40 cm
3221
Likformighet ger
Se facit.
x 84
=
⇒ x= 35 cm
40 96
3222
°
A=
84 ⋅ 35 cm 2 =
2940 cm 2 =
0,29 m 2
3208
a) kontroll:
54 72
=
⇒ Trianglarna är likformiga
6
8
b) Pythagoras sats ger hypotenusan i triangeln
ABC:
 57 
 60=
 0,95°
 
=
Hypotenusan
=
a
6378
= 384 683km
sin0,95
3846832 − 63782 km =384 630 km
=
a 3,8 ⋅105 km
Observera att sin v ≈ v för små vinklar.
3223
c =722 + 542 cm =
90 cm
Kontroll:
90 54
=
⇒ Trianglarna är likformiga
15 9
c) Kontrollera med metoderna ovan =>
Rak vinkel => Vinkeln A i lilla triangeln
= 180° – 114° = 66°
Vinkeln B i lilla triangeln: 180° – 90° – 66° = 24°
Korta kateten (x) i lilla triangeln:
Trianglarna är inte likformiga.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
3
sA =
200 ⋅ tan(90 − 32) m =
320,1 m
sB =
200 ⋅ tan(90 − 24) m =
449,2 m
∆s =130 m
5,02 − 2,02 = 4,6 dm
h=
=
A
3234
x
⇒ x = 2,0 dm
5
sin24 =
4,6 ⋅ 7,0
=
dm 2 16 dm 2
2
3238
Se definitioner för sin v och cos v:
3224
T.ex. en triangel med sidorna 3, 4 och 5 cm
och en likformig triangel med sidorna 6, 8 och
10 cm.
=
sin v
3239
Se facit.
3228
Dela upp övre delen av gaveln i två rätvinkliga
trianglar:
h = tan31° ⇒
=
h 2,764 m
9,2
2
A= 4,5 ⋅ 9,2 m 2 + 2 ⋅
4,6 ⋅ 2,764 2
m = 54 m 2
2
3229–3231
Se facit.
a) För att nå 1,6 m upp krävs (1,6/0,2 – 1) steg.
b) Välj 0,6 m. Räkna ut v, dvs. vinkeln mellan
trappan och sängen, och därefter längden på
sidstyckena:
tan v= 0,6 /1,6 ⇒ v= tan −1 (0,6 /1,6)= 20,6°
0,6
0,6
= sin v ⇒=
= 1,7 m
s
s
sin v
3241
a) Se lösning 3231.
Dela triangeln till vänster i två rätvinkliga
trianglar:
b) Rita figur.
c) Närliggande längre än den motstående =>
falskt.
d) Närliggande kortare än den motstående =>
sant.
3233
3240
c) u= 180° − 90° − 20,6°= 69°
3232
cos 60=
°
h
= sin v ⇒ =
h a sin v
a
h
⇒=
h 7,5
15
Räkna ut sträckan BC:
BC
=
2
a) Rätvinklig triangel:
b)=
A
a
b
=
; cos v
1
1
A =4 ⋅
152 − 7,52 cm = 13 cm ⇒ BC = 26 cm
13 ⋅ 7,5
cm 2 + 26 ⋅15 cm 2 =580 cm 2
2
(med två siffrors noggrannhet).
b ⋅ h b ⋅ a sin v
=
2
2
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
4
3242
Se s. 114. En bisektris delar en vinkel mitt itu.
a)
Den sträcka som ska dras bort från basen b är
=
AB
202 + 8,02 m = 22 m (21,54 m)
−1
∧ ABC = tan (20 / 8,0) =
68° (68,2)
b) Beräkna först
 8,0 + 7,32 
∧CAD = tan 
 = 37, 45°
20


−1
∧ BAD
= 37, 45° − ∧CAB
=
= 37, 45° − (180° − 90° − 68,2°)= 16° (15,65°)
Rita figur. Likbent triangel delas i två
rätvinkliga trianglar. Basvinklarna:
=
vbas cos −1 (3=
/ 9) 70,53°
= 180° − 2 ⋅ 70,53=
° 38,94.
vtopp
3305
Se facit.
3306
Se exempel 1 och facit.
Ansätt kubens sida till a. Bottendiagonalen c
2
a +a =
2a
a) Samma storlek, trots att de inte är riktade
åt samma håll.
d) Ej samma riktning
e) Samma storlek och riktning
Den sökta vinkeln:
f) Samma storlek och riktning
 a 
tan −1  =
 35.3°
 2a 
3312
Se facit och exempel s 149.
3245
3317
Se facit.
Se Definition s 51 => T e x u − w =
v.
3246
3318
Steg 1:
a är parallell med b eftersom
Hela basen b i triangeln är
b = 3a
20 ⋅ sin50° =15,32cm
Den korta kateten a i triangeln är
202 − 15,322 =
12,86 cm
3308
c) Multiplikation med skalär => Samma storlek
och riktning.
3244
2
Se facit.
b) ej samma riktning
2 vinklar är 70,5° och en 39°.
Steg 2:
⇒=
x (15,32 − 5,99) cm = 9 cm
(med en siffras noggrannhet)
3307
3243
blir då: c =
12,86 ⋅ tan25° =5,cm
(multiplikation med skalär)
c är parallell med d eftersom
1
d = − c (multiplikation med skalär)
2
3319
Se exempel 2 sid 153 och facit.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
5
3320
u = kv
Se lösning i facit.
(12, a) = k(5, 2)
3324
x-koordinaten ger k = 12/5.
a) Multiplicera respektive vektor med skalären
och summa sedan x- och y-koordinaterna i HL:
(x , y )= (15, 5) + (2, − 8)= (17, − 3)
a 12
24
⇒ =
⇒ a=
2 5
5
b) Man får en parallell vektor om någon av
vektorerna multipliceras med en skalär (ett
tal).
b)
(4, 13)= (x , 4) + (4, − 2 y)
(4, 13) =(x + 4, 4 − 2 y )
⇒x=
0, y =
−4,5
3405
3325
a
a 569 N (568,5)
= cos 29° ⇒
=
650
a) Rita figur. Rätvinklig triangel.
a) (2, − 5) =k(4, − 10) om k =2 ⇒ parallella
b
= sin29° ⇒=
b 315 N
650
b) (2, − 5) =k(−2, 5) om k =−1 ⇒ parallella
c) (2, − 5) ≠ k(6, − 16) ⇒ ej parallella
3406
d) (2, − 5) =k(−4, 10) om k =−2 ⇒ parallella
Se facit.
3226
3407
Rita figur.
Se facit.
85
= cos 63° ⇒
=
F1 190 N (187,23)
F1
3227
a) a =
42 + 52 =
41
b) b =
22 + 32 =
13
c) a + b =
Utnyttja Pythagoras sats:
2
2
2
2
187,232 − 852 N
= 170 N (166,8)
F=
2
(4 + 2) + (5 + 3) = 10
3408
d) a − b =
(4 − 2) + (5 − 3) =
Rita figur.
8
a) v =
8502 + 1802 km/h =
870 km/h
e)
3a + 2b=
(3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2)2 + (3 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3)2=
697
 180 
b) vinkeln v= tan −1 
= 12° (11,95)
 850 
f)
−a − 2b =
(−4 + (−2) ⋅ 2)2 + (−5 + (−2) ⋅ 3)2 =
3328
a) Parallella om
185
3409
=
R
132 + 282 N = 31 N (30,87)
Se exempel 2 s. 160.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
6
Dela upp krafterna i komposanter och addera
x- respektive y-komposanterna. Räkna sedan
ut v.
Eller vrid krafterna 35° så att x-axeln blir
parallell med den kraft som är 28 N:
 13 
v + 35°= tan −1  = 25°
 28 
v=
−10°
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
7
Efteråt väger gurkan x g, varav 80 % är vatten
och 45 g annat:
Kapitel 4
45 g + 0,80 x =
x
x = 225g
4109
Se facit.
4123
4110
1 2 4
1− − =
3 9 9
30 m
a) 0,010 ⋅ 3000 m =
⇒ 44%
b) Om höjden ska öka med 50 m under de
närmaste 4500 meterna innebär det att den
2
ska öka med 50 ⋅ m de första 3000 meterna.
3
4111
360
= 0,075 ⇒=
x 4 800 kr
x
Detta ger
4112
2
x ‰ ⋅ 3000m = ⋅ 50 m
3
x = 11
0,245 ⋅ x ton =
27 ton
x = 110 ton
4113
4124
230 kvinnor motsvarar 92 %
0,004 ⋅15000 kg =
60 kg
Totala antalet medlemmar:
4125
230
= 0,92 ⇒ =
x 250
x
=> 20 män.
4114
a)
0,5
= 20%
0,5 + 2
b)
0, 005
= 2,5 ‰
2 + 0, 005
4126
0,07
=
x 0,05 ⋅ 450
x = 321 (321, 4)
0,7
a) = 0,58 ppm ⇒ Ja
1200000
4115
Andelen elever som läser minst ett språk är
85 %.
b) Nej, se ovan.
Om andelen som läser engelska läggs ihop
med andelen som läser spanska
4 ⋅10−6 ⋅ x kg =
2 kg
(50 % + 75 % = 125 %) räknar man andelen
som läser båda språken dubbelt. Differensen
125 % – 85 % = 40 % utgör alltså denna andel.
4128
4116
Det som inte är vatten i gurkan väger:
4127
x = 5 ⋅105 kg
x
a)= 1,0 ‰ ⇒
=
x 5ml
5
x
b)= 0,2 ‰ ⇒
=
x 1ml
5
0,10 · 450 g = 45 g
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
1
4129
a) Uppskatta volymen på klassrummet:
15 m · 10 m · 3 m = 450 m3
Se facit.
4133
a) Avläs i tabell: (16 – 8) procentenheter
16
= 2 => 100 % fler röster
2
4149
590
a)= 2, 458 ⇒ 146 % ökning
240
b) => Förändringsfaktorn 1,958
5
= 1,66 => 66 % fler röster.
3
30
d)
= 1,2 => S fick 20 % fler röster än M.
25
e)
2 ⋅1012
2,67
=
750 ⋅109
4148
b) 176 l · 0,30 = 53 l
c) Nej.
Förändringsfaktor
=
Ändringen i procent: 167 %
390 · 10–6 · 450 000 l = 176 l
b)
4147
30
= 6 => S fick 500 % fler röster än V.
5
=> ökning med 96 %
c)
750 + 800
= 2,066 ⇒ 107 % ökning
750
4150
124000 inv
a) 1,0152 ⋅120 000 inv =
4134
b) Samma metod som i a)
11
= 5,5 => 450 % högre sockerhalt i läsk.
2
c) 1,015x ⋅120 000 inv
4135
4151
a) Beräkna produkten av de båda
förändringsfaktorerna:
a) Ändringen i procent:
5,5 − 5
% = 10% ökning
5
b)
1,20 ⋅ 0,90 = 1,08 ⇒ Sant
b) 1, 40 ⋅ 0,60 ≠ 1 ⇒ Ej sant
4 − 3,25
% = 19 % minskning
4
c) Förändringsfaktor
=
4136
Se facit.
69
= 2,3 ⇒ Ej sant
30
1,61 ⇒ ökning ca 60% ⇒ Ej sant
d) 1,105 =
4137
6,344 %
I valet fick Mp 5,2 ⋅1,22 % =
e) 1,204 = 2,0736 ⇒ ökning >100% ⇒ Sant
Miljöpartiet ökade med
4152
6,3 – 5,2 = 1,1 procentenheter.
1.10 ⋅ x cm =143 cm
x = 130cm
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
2
4153
303
= 146 %
208
0,85 ⋅ x st =
340 st
x = 400 st
Om 1990 har index 100 blir index = 146 för
2010.
4154
1,083 ⋅ 0,852 =
0,91
Priset har minskat med 9 %.
d)
4155
Om 1990 har index 100 får 1980 index 48.
1,047 x > 1,35
4162
Multiplicera 1,047 · 1,047 · ….. till dess att
resultatet blir större än 1,35.
100
≈ 0, 48
208
a)
Index=
det aktuella årets värde 131000
=
≈ 1,39
= 139 %
basårets värde
94000
Efter 7 år är den procentuella förändringen
större än 35 %.
Index för 2007 blir 139.
(I kurs 2 får du lära dig lösa denna ekvation på
ett enklare sätt).
b) Se a). Den procentuella förändringen var
39 %.
4156
157600
c) Index=
=
≈ 1,20
= 120 %
131000
Se facit.
Index för 2010 blir 120.
4157
Kalla längden för l och bredden för b.
Ursprunglig area: A1 = l ⋅ b
Ny area: A=
1,10 ⋅ l ⋅ 0,90 ⋅=
b 0,99 ⋅ l ⋅ b
2
⇒ A2 < A1 oavsett värde på l och b.
4158
d)
157600
≈ 2,25
70000
Den procentuella förändringen är 125 %.
4163
År
Hyra
Index
2004
4920
100
2006
5166
105
2008
5520
112
2010
6300
128
Se facit.
4161
a) Se exempel s 190. Förändringsfaktorn:
208
= 2,08 ⇒ Priserna steg med 108 %
100
b) Förändringsfaktorn
=
261
≈ 1,25
208
5166
Index 2006 : = 1,05 ⇒ 105
4920
Index 2008 :
5520
≈ 1,122 ⇒ 112
4920
Index 2010 :
6300
≈ 1,28 ⇒ 128
4920
4169
=> Priserna steg med 25 %.
c) Prisökningen mellan 2010 och 1990:
a) och b) Se exempel 1, 2 och 3 och facit.
336 kr
c) 0,028 ⋅12000 kr =
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
3
4170
a)
b)
12 ⋅ 539 kr = 6468 kr
0,054 ⋅1000000
12
0,06 ⋅1000000
12
6468 kr − 5990 kr =
478 kr
kr = 4500 kr
b)
kr = 5000 kr
c) 5000 kr · 0,70 = 3 500 kr, då räntesatsen är
6 %.
4171
x 6 ⋅15460 kr = 19115 kr
Se facit.
Prova med räntesatsen 2,85 %:
4173
600
= 12 %
5000
1,02856 ⋅15460 => för lite.
Prova med räntesatsen 3,15 %:
600
b)
= 30%
2000
1,03156 ⋅15460 => för lite.
4174
Räntesatsen 3,60 %:
Efter ett år har skulden växt till
1,03606 ⋅15460 =
19114,70 => stämmer
45000 ⋅1,16 kr =
52200 kr
Efter ytterligare 6 månader är skulden
0,16
kr =
56 375kr
2
4175
80000
a)
kr + 80000 ⋅ 0,12 kr =
25600 kr
5
b)
80000
kr + (80000 − 16000) ⋅ 0,12 kr =
23680 kr
5
a)
Kreditsystemet:
4178
4172
4176
Kontant betalning: 1432 kr
Kreditsystemet är (1682,60 kr – 1432) kr
dyrare, dvs. 251 kr dyrare.
12 ⋅ 375
b)
= 150 %
3000
52200 kr + 52200 ⋅
4177
1432 ⋅ 0,30 + (1432 ⋅ 0,7) ⋅1,25 =
1682,6
168 kr
a) 0,056 ⋅ 3000 kr =
a)
478
≈ 0,08 ⇒ 8%
5990
(I kurs 2 får du lära dig att lösa den här typen
av ekvation på ett smidigare sätt.)
4207
a) Sätt in 2:
g (2) = 2 ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 + 4 = 6
b) g (a) = 2 ⋅ a 2 − 3 ⋅ a + 4
c) g (2a) = 2 ⋅ (2a)2 − 3 ⋅ 2a + 4 = 8a 2 − 6a + 4
d) g (a 2 ) = 2 ⋅ (a 2 )2 − 3 ⋅ a 2 + 4 = 2a 4 − 3a 2 + 4
4208
Avläs ur graferna:
a) f (0) = 6 (y = 6 då x = 0).
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
4
4214
b) g (3) = −9 (y = –9 då x = 3).
a) f (5x + 2) =−
3 4(5x + 2) =
−5 − 20 x
c) x = 6 då h(x) = 0
b) g (3 − 4 x) = 5(3 − 4 x ) + 2 = 17 − 20 x
d) Avläs: 9 – 6 = 3
6 ⇒ h((h(0)) =
h(6) =
0
e) h(0) =
c) utnyttja svaret i a):
f) h(x ) = g (x ) då graferna skär varandra
−5 − 20 x =−25
x =1
=> x = –1 eller x = 6
d)
4209
Markera givna punkter och nollställen och
skissa grafen. Se facit.
4210
4219
a) Avläs ur tabell: y = 9 då x = 3.
b) Avläs ur tabell: y = 11 då x = 4.
c) Avläs ur tabell: y = 9 då x +2 = 3 => x = 1
d) Skissa grafen. Se facit.
a) Se s. 201. Antag att den ena sidan är x. Den
andra sidan måste då vara (30/2 – x) eftersom
de två sidorna tillsammans ska vara 15 m.
Arean för rektangeln kan skrivas A = x(15 – x).
b) x måste vara större än 0 och mindre än 15 =>
Steg 1:
Definitionsmängd: 0 < x < 15.
Då x = 0 är y = 3. Vi får en konstantterm som
är 3. Det funktionsuttryck vi söker kan alltså
skrivas på formen f (x=) kx + 3 .
c) Prova olika värden på x och sätt in i
ekvationen A = x(15 – x). Skissa graf.
Max då x = 7,5.
Steg 2:
Då x = 3 är y = 9. Sätt in i funktionsuttrycket:
Värdemängd: 0 < A ≤ 56,25
4220
f (3) = 9 = k ⋅ 3 + 3 ⇒ k = 2
Vi får funktionsuttrycket: f (x=) 2 x + 3
4211-4212
Se figur i facit. De fyllda ringarna anger att
y = –3 och y = 7 ingår i lösningen: Värdemängd:
−3 ≤ y ≤ 7
4221
Se facit.
a) y = omkretsen − 2 ⋅ x  = 32 − 2 x
4213
Intäkten kan skrivas: x st · 100 kr/st = 100x kr
Vinsten är intäkt – tillverkningskostnad:
V (x ) = 100 x − (1200 + 16 x + 0, 4 x 2 ) =
=84 x − 1200 − 0, 4 x 2
f (3 − 4 x ) =
3 − 4(3 − 4 x ) =
−9 + 16 x =
0
9
x=
16
b) Om y ökar kommer x att minska till dess att
y = 16. Eftersom triangeln är liksidig kommer
alltid x att vara större än 8 med den givna
omkretsen.
Definitionsmängd: 8 < x < 16
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
5
Värdemängden: 0 < y < 16
En linjär funktion kan alltid skrivas på formen
y = kx + m.
4222
Talet k framför x beskriver linjens lutning:
När x ökar minskar uttrycket 0,83x. Det medför
att funktionen y(x) kommer att öka så länge x
5600 − 3800
=
k =
g/vecka 225 g/vecka
ökar, eftersom uttrycket i nämnaren minskar.
10 − 2
Vid tillräckligt stora x kommer funktionen att
närma sig 240/2 = 120.
Använd ett värde på linjen för att räkna ut m:
Vid små värden på x närmar sig funktionen
värdet 240/(2+12) = 120/7.
Värdemängd: 120/7 < y < 120.
5600 = 225 · 10 + m => m = 3350.
Detta ger uttrycket: y = 225 · x + 3350
4309
4306
a) Sätt in 4 i uttrycket =>
Se exempel 2 s. 206. Använd grafritande
räknare eller dator.
a)
=> linjerna y = 3x –2 och y = 6 skär varandra då
x = 2,7
4
S(4) =
15 − h/dygn =
13 h/dygn
2
b)
11 h/dygn= 15 −
b) Samma metod som i a) ger x = 2.
⇒n=
8 år
4307
c) och d) Se facit.
En linjär funktion kan alltid skrivas på formen
y = kx +m. Bestäm först k i ekvationen
y = kx +m, det vill säga linjens lutning.
4310
Ur tabell: När lårbenets längd ändras
(480 – 435) mm så ändras mannens längd
(176,3 – 165,2) cm.
x
1
5
Det ger
=
k
11,1
=
cm/mm 0,247 cm/mm
45
Använd ett tabellvärde för att räkna ut m:
176,3 = 0,247 · 480 + m => m = 57,74
n
h/dygn
2
Gör en tabell:
y
1
9
En linjär funktion kan alltid skrivas på formen
y = kx +m. Bestäm först k i ekvationen
y = kx +m, det vill säga linjens lutning.
=
k
9 −1
= 2
5 −1
Sätt in x = 425 mm:
Använd en av de kända punkterna på linjen för
att räkna ut m:
y = (0,247 · 425 + 57,74) cm = 163 cm (162,7)
9 = 2 · 5 + m => m = –1
4308
Sätt in x = 0:
Mellan vecka 2 och vecka 10 är förhållandet
mellan barnets ålder och vikt i stort sett linjärt.
y = 2 · 0 – 1 = –1
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
6
4311
Anta att ljusen brinner ner lika snabbt hela
tiden. De linjära funktioner som vi ska
undersöka uttrycker ljusens längd, y, som
funktion av brinntiden, t.
y=
k1t + m1 (Hannas ljus)
1
y=
k2t + m2 (Fredriks ljus)
2
Bestäm k i ekvationerna, det vill säga linjernas
lutning.
Hannas ljus: k1 =
Om priset är direkt proportionellt mot tiden så
ska kvoten mellan pris och tid vara konstant:
750
kr/mån = 125 kr/mån
6
450
kr/mån = 150 kr/mån
3
Priset är inte direkt proportionellt mot tiden.
4406
a) Proportionalitetskonstanten
0− y
18
Fredriks ljus: k2 =
4405
k=
0− y
12
Vi söker tiden t timmar när Hannas ljus är
dubbelt så långt som Fredriks, dvs. när
=
y1 (t ) 2 y2 (t ) ⇒
y 1820
=
= 0,035
x 52000
Här uttrycker proportionalitetskonstanten
räntan på kontot.
3500 kr
b) 20000 kr ⋅ 0,035 =
4407
k1t + m1= 2(k2t + m2 )
I A och D är graferna räta linjer som utgår från
origo.
Ljusen lika långa från början dvs. y = m 1 = m 2 .
Ersätt m 1 och m 2 med y och sätt in k-värdena i
ekvationen:
4408
Se lösningsförslag facit.
4409
−y
−y
t +=
y 2 t + 2y
18
12
−y
−y
=
t 2 t+y
18
12
−2 y
6y
t+ t=
y
36
36
36
=
t =
timmar 9 timmar
4
Direkt proportionell. Grafen är en rät linje som
utgår från origo => R= k ⋅ l
Sätt in de givna värden på R och l och lös ut k:
12 Ω = k ⋅1,5 m
k= 8 Ω / m
(För att få enklare siffror kan man sätta ljusens
längd till t.ex. 36 cm.)
Detta ger:
=
l
4404
"Direkt proportionell" betyder att grafen är en
rät linje som utgår från origo. Om ett hg godis
i lösvikt kostar 10,90 kr så kostar tre hekto
10,90 · 3 = 33 kr.
R 26
=
m = 3,25 m
k 8
4410
Se exempel 2, s. 210. Direkt proportionalitet.
Kvoten är densamma för de olika talparen.
a)
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
7
a
=
1
8
=
b
c) Utgå från formeln s = kv 2 och rita
bromssträckan som funktion av hanstigheten
mellan 0 och 130 km/h. Se facit.
4
⇒ a= 2
2
4
⇒ b= 4
2
b) Samma metod som i a) ger a = 2 och b = 28.
4411
4420
Proportionalitet om k = 2. Detta ger
a = 2 · 32 = 18
Eftersom kvoten inte är densamma för de
olika talparen är sambandet inte en direkt
proportionalitet.
=
b
4412
72
= 6
2
4421
a) Avläs i diagrammet: 7,5 m
Första värdet:
b) Två steg. Av det övre diagrammet framgår
att 9 m tyg väger 3 kg. Av det undre
diagrammet framgår att 3 kg tyg kostar 375 kr.
c) l= k ⋅ m Plocka ut en punkt på linjen, t.ex.
2,5 kg och 9 m => k = 3 m/kg. Vi får formeln:
4 = k ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⇒ k = 0,5
Kontroll av övriga värden ger samma resultat,
dvs. proportionaliteten stämmer.
4422
Se facit.
l= 3 ⋅ m
4423
d) Se facit.
Givet: Fg =
4417
Se facit.
820 =
N
4418
4503
4419
a) Sätt in M = 12,21 s i det givna sambandet.
Givet: s = kv 2
m
m
s
50
=
=
0,005
2
2
2
2
v
100 km /h
km2 /h 2
2
s kv
=
0,005 ⋅ 802 m = 32 m
a)=
15
s
km=
/h
v =
b)=
0,005
k
= 55km/ h
k
⇒=
k 33,27 ⋅109 N ⋅ km2
2
2
6370 km
33,27 ⋅109
=
FN =
N 818 N (817,65)
6378,8482 km 2
4
4
> k =π
V =⋅
k r 3 =π r 3 =
3
3
=
k
k
r2
3000 km=
/h
=> P = 1247 poäng (1246,7)
b) Algebraisk lösning:
1100 9,23(26,7 − t )1,835
=
1,835
1,835
(26,7 − t )
1
 1100 1,835
=
 9,23 


1
 1100 1,835
t=
26,7 − 
s=
13,17 s (13,1656)

 9,23 
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
8
4504
4610
a) Sätt in x = 80 kg i det givna uttrycket:
a) Se exempel s. 219. Vi börjar med att
bestämma startvärdet C i uttrycket
y = 0, 45 80 cm = 4 cm
y= C ⋅ a x
b) Samma metod som i a):
Från början 2000 bakterier => C = 2000.
y = 0, 45 2600 cm = 23 cm
c) Grafisk lösning. Se exempel s. 216. Rita
=
y 50
=
och y 0, 45x 0,5 i lämpligt
graferna
fönster. Avläs skärningspunktens x-koordinat.
En ökning av antalet bakterer med 50 % varje
timme ger att förändringsfaktorn a = 1,5.
Detta ger uttrycket:=
y 2000 ⋅1,5x
b) Samma metod som i a) men
förändringsfaktorn blir nu 2.
Algebraiskt:
50 = 0, 45x 0,5
1
0,5
 50 
 0, 45 = x


0,5
0,5
⇒=
x 12000 kg (12345)
c) I det här fallet är uttrycket linjärt och inte
en exponentialfunktion. Varje timme ökar
antalet bakterier med 1000 st. Vi får
=
y 2000 + 1000 x
4505
Se facit.
4611
4506
a) Bestäm uttrycket för bakterietillväxten.
Startvärdet är 1500. Förändringsfaktorn är
1,12. Uttrycket för antalet bakterier som
funktion av tiden kan alltså skrivas:
0,156 ⋅ 202,53 kg =
310 kg (305,3)
a) m =
b)
=
y 1500 ⋅1,12 x
200
= d 2,53
0,156
där x är antalet tvåtimmarsperioder.
1/2,53
 200 
=
d =
cm 17 cm

 0,156 
c) Om diametern ökar med 25 %:
Sätt in tiderna i tabellen och räkna ut antalet
bakterier efter varje tvåtimmarsperiod:
(d ⋅1,25)2,53 =
d 2,53 ⋅1,252,53 (se potenslagarna s.31)
y2tim =
1500 ⋅1,121 st =
1680st
1,252,53 = 1,76
y 4tim =
1500 ⋅1,122 st =
1880st
En ökning av diametern med 25 % innebär
alltså att massan ökar med 76 %.
d) För att massan ska fördubblas krävs att
diametern ökar med 32 %, ty
x 2,53 = 2
1/2,53
=
x 2=
1,315
osv
b) Se facit.
c) Ca 2200 st. Av diagrammet framgår att
antalet är något större än 2200 efter 7 timmar.
d) Se facit.
4612
a) Teckna ett uttryck för tillväxten.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
9
Antal år = 10. Startvärde = 1000 kr. Slutvärde
är 1400 kr. Dvs.
4615
1400
= 1000 ⋅ a10
4707
Se facit.
Se exempel 1 s. 224. Använd räknaren för att
hitta skärningspunkterna mellan kurvorna =>
1
10
=
a 1,=
4
3, 42%
y 1000 ⋅1,034220 kr =1960 kr
b)=
1 < x < 3.
c) 1000 ⋅1,0342 x kr
4708
4613
a) Uttrycket för priset på motorcykeln som en
funktion av antalet år x:
Se facit. Vilken funktion är linjär? Vilken visar
en exponentiell tillväxt? Om du är osäker kan
du använda räknare och rita upp de givna
funktionerna.
4709
=
y 60000 ⋅1,04 x
a) Avläs i grafen. B och C har samma
funktionsvärde då x = –1 och x = 4.
Efter två är den värd:
y =60000 ⋅1,042 kr =64900 kr (64896)
b)
b) Avläs i grafen. A och B har samma
funktionsvärde då x = 0.
c) Grafen skär linjen y = 0 då
x = och då x = 4.
5
1,04 = 1,2166
⇒ Priset har ökat med 21,7%
d) Nej, grafen skär aldrig x-axeln.
c) Fördubbling då
4710
1,04 x = 2
Se facit.
Rita graferna för y = 2 och y = 1,04x. Ställ in
lämpliga värden på fönstret. Använd räknaren
för att hitta skärningspunkten.
4711
a) Om x är antal år:
=> x = 17,65 dvs. 18 år.
=
y1 200 ⋅1,12 x kr
=
y2 (200 + 29 x ) kr
4614
Om 2 år (algebraisk lösning):
a) Av uppgiftsformuleringen framgår att
lufttrycket kan beräknas med formeln:
p= 101 ⋅(1 − 0,12)x kPa
där 101 kPa är normalt lufttryck vid havsnivå
och x är antalet km över havet.
Sätt in x = 8,848 i uttrycket => p = 33 kPa.
200 ⋅1,122 kr =251 kr
(200 + 29 ⋅ 2) kr =
258 kr
=> Alternativ B är fördelaktigast.
b) Sätt in x = 5 i ekvationerna ovan. =>
Alternativ A är fördelaktigast.
b) Lös ekvationen 0,88x = 0,5 grafiskt.
Se uppgift 4613 c ovan. => x = 5,4 km.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
10
c) Skillnaden är 5 kr.
200 ⋅1,121 kr =224 kr
(200 + 29) kr =
229 kr
d) Lönerna är lika stora då
200 ⋅1,12 x =200 + 29 x
Grafisk lösning ger x = 4,2 år.
4712
Se facit.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
11
5114
a) 1:an motsvarar 1/4 av hjulet.
Kapitel 5
b) 3: an motsvarar 1/8 av hjulet.
5110
a) P (flicka)
=
b) P (M) =
c) 4 motsvarar 1/12 av hjulet.
15
3
=
10 + 15 5
5115
a)
1
25
5111
a) P (vinst)
=
antal gynnsamma utfall 2
=
antal möjliga utfall
5
2 3
b) P (inte vinst) =1 − =
5 5
b) P (inte 6) =−
1 P (6) =−
1
1 11
=
12 12
c)
5112
a) Sannolikheten att även den andra kulan är
röd:
P (inte 2eller 4) =
1 − P (2) − P (4) =
1 1 24 3 2 19
=1 − − = − − =
8 12 24 24 24 24
5205
12
12
=
12 + 5 + 3 20
b) P (interöd) =
1−
P (1eller 3) = P (1) + P (3) =
1 1 3
= + =
4 8 8
a) Se exempel 1. Rita ett koordinatsystem.
Gynnsamma utfall är då samma siffra visas vid
båda tillfällena => 4 utfall. Antalet möjliga
utfall är 4 · 4 = 16.
12 8
=
20 20
5113
4 1
=
16 4
a) Additionsprincipen:
P (samma siffra båda gångerna)
=
P (1) + P (6) = 0,2 + 0,3 = 0,5
b) Utnyttja koordinatsystemet i a) och räkna
antalet utfall då poängsumman blir 4 => 3 st.
b) Additionsprincipen:
P (1) + P (3) + P (5) =
= 0,2 + 0,15 + 0,1 = 0, 45
P (poängsumma =4) =
c) Utnyttja resultatet i a):
c)
P (minst 4) = P (4) + P (5) + P (6) =
= 0,1 + 0,1 + 0,3 = 0,5
d)
P (jämn) = P (2) + P (4) + P (6) =
= 0,15 + 0,1 + 0,3 = 0,55
3
16
P (olika siffra båda gångerna) =1 −
1 3
=
4 4
5206
Rita koordinatsystem.
a) 3 gynnsamma utfall av totalt 64 möjliga =>
3
P (s < 4) =
64
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
1
b) P (s ≥ 3) =1 −
P (båda fröna gror) = 0,75 ⋅ 0,65 = 0, 49 (0, 4875)
1 63
=
64 64
c) P (s ≥ 9) =1 −
b)
P (inget frö gror) = (1 − 0,75) ⋅(1 − 0,65) = 0,88 (0,875)
28 36
=
64 64
5207
Rita koordinatsystem.
c)
a) Antal gynnsamma utfall är 7.
P (enbart A gror)= 0,75 ⋅ (1 − 0,65)= 0,2625
P (enbart B gror)= 0,65 ⋅ (1 − 0,75)= 0,1625
P (samma dag)=
b) P (onsdag )=
7 1
=
49 7
=>
1
49
P (enbart ett frö gror) = 0,2625 + 0,1625 = 0, 425
P (två dagar som följer på varandra) =
c) 14 2
= =
49 7
5208
5306
a) Antal gynnsamma utfall är 6. Antal möjliga
utfall är 20.
6
20
Rita ett koordinatsystem med 4 · 8 rutor.
P=
a) Antal gynnsamma utfall är 4. Antalet
möjliga utfall är 32 => P = 1/8.
b) Oberoende händelser.
Multiplikationsprincipen:
b) Antal gynnsamma utfall är 8. Antalet
möjliga utfall är 32 => P = 1/4.
P (båda från Umeå) =
5209
5307
Rita koordinatsystem:
a) P (högst tre prickar)
=
a) Multiplikationsprincipen:
3
1
=
36 12
b) Se facit.
Räkna antalet gynnsamma utfall => 6.
Antalet möjliga utfall är 6 · 6 · 6 rutor.
6
1
=
6 ⋅ 6 ⋅ 6 36
5305
P (alla visar krona) =
1 1 1 1 1
⋅ ⋅ ⋅ =
2 2 2 2 16
b) 4 mynt (A, B, C, D) kan kombineras på 6
olika sätt så att exakt 2 mynt visar krona.
5210
P (=
triss)
6 5
30
3
⋅ =
=
20 19 380 38
AB, AC, AD, BC, BD, CD
P (exakt två mynt visar krona)
=
6 3
=
16 8
c) Om antingen mynt A, B, C eller D visar krona
så är villkoret uppfyllt.
a) Oberoende händelser.
Multiplikationsprincipen:
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
2
P (endast ett mynt visar krona) =
1 1 1 1 1
= + + + =
16 16 16 16 4
5317
5308
b) Sannolikheten att den andra "snurren"
hamnar på samma färg som den första är 1/3.
Sannolikheten att hjulet visar samma färg
1 1 1
varje gång är ⋅ = .
3 3 9
a)
a) Se exempel 3. Komplettera träddiagrammet
med ett fjärde barn. Möjliga utfall:
pppp pppf ppfp ppff pfpp pfpf pffp pfff
1 1 1 1
⋅ ⋅ =
3 3 3 27
fppp fppf fpfp fpff ffpp ffpf fffp ffff
5318
Av dessa uppfyller 6 utfall villkoret två pojkar
och två flickor.
Beroende händelser. Rita träddiagram enligt
exempel s 256.
P (två f och två p)=
Om Lucia först tar en svart strumpa är
sannolikheten att hon även tar en svart
strumpa andra gången:
6
16
b) Studera möjliga utfall i a) ovan. Antal
gynnsamma utfall är 5 => P (fler p än f ) =
5
16
14 13 182
⋅ =
20 19 380
Om Lucia först tar en vit strumpa är
sannolikheten att hon även tar en vit strumpa
andra gången:
5309
Se facit.
5314
6 5
30
⋅ =
20 19 380
Se facit.
5315
Oberoende händelser. Sannolikheten att han
ska gissa rätt på första frågan är 1/5.
Sannolikheten att han ska gissa rätt på alla
frågorna är
Sannolikheten att strumporna har samma
färg:
182 30 212
+
=
380 380 380
1 1 1 1
1
⋅ ⋅ ⋅ =
5 5 5 5 625
5319
Sannolikheten att han inte ska gissa rätt på
någon av frågorna är
a)
Oberoende händelser.
4 4 4 4 256
⋅ ⋅ ⋅ =
5 5 5 5 625
5316
Oberoende händelser. Chansen att pricka in
alla tre vinnarna:
1 1 1
1
⋅ ⋅ =
12 11 15 1980
1 1 1
1
⋅ ⋅ =
4 4 8 128
b) Sannolikheten att det andra hjulet hamnar
på samma siffra som det första är 1/4.
Sannolikheten att alla tre hjulen visar samma
1 1 1
siffra är ⋅ = .
4 8 32
5320
Se facit.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
3
5321
a) Beroende händelser.
kan sannolikheten att två flickor ska vinna
förenklas till
Sannolikheten att dra två positiva tal är
3 ⋅ (0, 484 ⋅ 0, 484 ⋅ 0,516) =
0,363
4 3 12 2
⋅ =
=
6 5 30 5
5323
Men produkten kan även bli positiv om två
negativa tal dras. Sannolikheten för det är
1
3
 
a) Oberoende händelser:
2 1 1
⋅ =
6 5 15
=>
13
2
b)  
3
2 1
7
+ =
5 15 15
c) Summera halv och helgarderingar.
b) Sannolikheten för att dra ett positiv tal och
ett negativt är
4 2 2 4 16 8
⋅ + ⋅ =
=
6 5 6 5 30 15
2 matcher med 2/3 chans att tippa rätt.
10
2
10
2
1 2
 3  ⋅ 3 
   
7
8
=
15 15
1 2
 3  ⋅ 3 
   
5322
3
⋅  =
3
5324
54259
a)
= 0, 484
54259 + 57821
a) Siffrorna 0-9 kan väljas på 10 olika sätt =>
104 kombinationer.
b) Beroende händelser. Rita träddiagram, eller
skriv upp alla olika vinstkombinationer.
Tre grenar ger resor som går till två flickor och
en pojke:
ffp fpf pff
I a)-uppgiften har vi beräknat sannolikheten
att den första resan går till en flicka.
Eftersom sannolikheten att den andra och
tredje resan ska gå till en flicka är lika stor
(
10 matcher med 1/3 chans att tippa rätt.
1 match med 3/3 chans att tippa rätt.
Alternativt:
1−
13
54259
54258
)
≈
54259 + 57821 54258 + 57821
b) Sannolikheten att två personer ska välja
samma är
1
.
104
5329
a) P (vinst) =
2
10
b) P (ingen vinst) =
8 8 8
512
⋅ ⋅ =
10 10 10 1000
P (vinst) =
1 − 0,512 =
0, 488
10
8
c) P (ingen vinst) =  
 10 
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
4
29 + 64 = 93
10
8
P (minst en vinst) = 1 −  
 10 
P (äldre än 4 =
år)
5330
a)
93
= 46,5 %
200
d) P (yngre
=
än 5 år)
3
P (inget rätt) =  
4
6
15 + 54 + 38
= 53,5 %
200
5411
3
P (minst ett rätt) = 1 −  
4
Se exempel 1 s. 161.
6
9 3
=
12 4
P (blå eller gul)
=
b)
Antal försök som ger blå eller gul kula vid 200
kast:
12
3
P (inget rätt) =  
4
12
3
P (minst ett rätt) = 1 −  
4
3
⋅ 200 =
150 kast
4
5331
5412
a) Sant, enligt satsen på s. 259.
a) Totalt antal lotter 8 000 000.
b) Sant enligt ovan.
Totalt antal vinster: 1 600 500.
c), d) och e) Se facit.
P=
(vinst)
5332
P (inget prov innehåller otillåtna ämnen) =
(1 − 0,015)5 =
0,9855
P (minst ett prov innehåller otillåtna ämnen) =
1600500
= 20 %
8000000
b) P (> 10000)
=
4 + 16 + 64
= 0,0000105
8000000
c) Sannolikheten att få en 25 kronorsvinst:
5
=1 − 0,985 =
0,073
P=
(25 kr)
5333
P (A och B och C) =
3 14 5 14 1
= ⋅ ⋅ =
=
7 15 6 42 3
712000
= 0,089 =>
8000000
0,089 ⋅ 52 lotter =
5 lotter (4,6)
5413
5410
Antal vinstlotter:
a) Totalt antal barn = 200.
60 000 · 0,003 lotter = 180 lotter
64
Relativ frekvens: = 0,32
= 32%
200
Intäkt:
15
b) P (2 =
år) = 7,5 %
200
60000 ⋅ 20 kr − 180 ⋅ 5000 kr =
300000 kr
5414
c) Addera antalet barn som är äldre än 4 år =>
Se viktigruta s. 261:
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
5
5509
340
kast = 400 kast
0,85
Se exempel 1 s 269. Andel som blivit bättre av
placeboeffekten:
5415
a) Skissa t e x ett cirkeldiagram. Tre
kvadranter, dvs. 75 % av cirkeln, upptas av
kommuninvånare som kan engelska. 20 % av
invånarna måste höra hemma i dessa tre
kvadranter eftersom de pratar både engelska
och tyska. De som endast talar tyska täcker
sedan en del av den fjärde kvadranten.
a) Studera cirkeldiagrammet:
P (t men inte e) = 35 % − 20% =
15 %
b) Studera den fjärde kvadranten, som
motsvarar 25 % av invånarna:
P (varken t eller e) = 25 % − 15% =
10 %
5506
a) P (Norrland)
=
5510
Se facit.
5511
För att personen inte ska vakna krävs att alla
väckningssystem fallerar. Sannolikheten för
det är
0,05 ⋅
2
2
⋅
=5,5 ⋅10−6
100 365
5512
Chansen för att alla moment utförs felfritt är
0,956 = 74 %
213
= 59,2 %
360
5513
360 − 213 − 71
b) =
P (Götaland) = 21 %
360
c)
43
= 70%
61
71
⋅ 450000 km 2 =
89000 km 2
360
5507
a) Avläs i diagrammet: ca 70 %.
b) Avläs i diagrammet: 1-åringar 90 % och 17åringar ca 58 %. 1-åringarna är 55 % fler, ty
90
= 1,55 .
58
Avläs i diagrammet:
c) Avläs i diagrammet: ca 70 %
a) ca 19 %.
d) Om femteklassare är 11 år:
b) ca 1 %
0,70 · 20 = 14 st
c) Gunnel ca 7 % och Lars ca 4 % => ca 1,8ggr.
5514
5508
Totalt antal barn (summera staplarna): 71 st
Avläs i befolkningspyramiderna
(liggande histogram):
Av histogrammet ser vi att 5+3 barn väger mer
än 4 kg. Frekvensen är 8.
a) Åldersgrupp 0-5 år.
Sannolikheten att ett av dessa barn väger mer
än 4 kg i den här gruppen av barn:
b) Åldersgrupp 40-45 år.
c) Se facit.
P (mer än 4 kg)
=
8
= 11 % (11,267)
71
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
6
5713
5709
a) Fel. Tänk t.ex. medeltemperatur under en
kall vintervecka.
Medelvikt 7 kg och Vb 5 kg ger t.ex. följande
tre vikter: (7–5/2) kg, 7 kg och (7+5/2) kg.
b) Sant. Tänk t.ex. temperaturvärden.
5714
c) Sant. Se definition lägesmått s. 278.
d) Fel, inte när antalet observationer är jämnt.
15 ⋅15800 kr/månad =237 000 kr/månad
Om medellönen ska bli 16000 kr efter att två
till anställts ger detta att den nya
totalsumman:
e) Sant, tänk t.ex. temperatur.
5710
Se exempel 3, sidan 280. 12 kulor med
medelvikten 56 gram väger tillsammans
12 · 56 g = 672 g. Den nya medelvikten blir
672 + 69
g/kula = 57 g/kula
13
17 ⋅16000 kr/månad =272 000 kr/månad
De två nyanställda har tillsammans fått
35000 kr/månad. De kan alltså t.ex. ha fått
20 000 kr/månad respektive 15 000 kr/månad.
b) Se facit.
5711
a) x=
a) Totalt tjänar de 15 anställda
−2° + 9° + (−6°) + (−4°) + 12°
= 1,8°
5
b) Om vi ordnar observationerna i
storleksordning är –2 talet i mitten.
5715
Givet:
12° – (–6°) = 18°
A+ B +C
= 22 ⇒ A + B + C = 66
3
B= A + 1
5
C= A
4
5712
Vi får:
c) Det största värdet – minsta värdet:
a) Medianen 15 ger att två tal måste vara
mindre än 15 och två tal större.
Medelvärdet 12 ger att summan av talen ska
vara 60. T.ex.
5, 5, 15, 17, 18
b) De två minsta observationsvärdena är 1 och
2. Det ger de två högsta:
66
A+ B +C =
5
A + A + 1 + A =66
4
5
65
A(2 + ) =
4
65
A = 20
=
13 / 4
Det vill säga B är 21 år.
1 + 2 + 15 + x + y =
60
⇒
x+y =
42
där antingen x eller y är minst 16, dvs. det
största talet kan högst vara 42 – 16 = 26.
Ledningar och lösningar till M 1c 47-10699-8  Liber AB
7