Kombinatorik

Kombinatorik
6.19
Förenkla C(n+1,2)-C(n,2) och C(n+1,3)-C(n,3)
S: Sitter med med uppgift 6.19 a och b i EA och trots att det finns
lösningsförslag till a på hemsidan så förstår jag inte. C(n+1,2) - C(n,2) Jag är
med på att C(n,2) = n(n-1)/2.
Men hur får jag att C(n+1,2) = (n+1)*n/2? Kan inte se hur jag får att det blir
gånger n här. Uppgift b är ju snarlik a så antar att den blir förståelig när jag
fattar a.
L: Om du är med på att C(n, 2) = n(n-1)/2 så skall denna formel gälla för alla
heltal n. Även n+1 så C(n+1,2) = (n+1)(n+1-1)/2 =(n+1)*n/2.
Det är det som är det fina med en formel.
Den gäller alltid! (här då n ≥ 2)
Om du skall låna 2 av mina 7 dvd och jag sedan visar en 8:e som du också får
låna, hur många fler valmöjligheter har du då fått?
Ja den 8:e tillsammans med någon de sju första.
I b så ger jag dig 2 extra att välja bland. Hur många fler valmöjligheter har du
då fått? Försök lösa den med kombinatoriskt tänk och se sedan att algebran ger
samma resultat.
6.10.b, 6.11d
6.11d. Hur många 5-siffriga tal kan man bilda av siffrorna 1,2,3,4 och 5 så att ingen siffra är på sin
egen plats. Varje siffra förekommer precis en gång.
S:Jag har problem med dessa två uppgifter i kombinatoriken. Trots att jag ser
svaren i facit kan jag inte lista ut hur man räknar fram dem.
De flesta talen i facit är förklarade med kombinatoriska begrepp men 6.10.b) i
min utgåva har bara själva värdet av uträkningen utskrivet.
Speciellt förvirrande är dessutom 6.11.d) i facit eftersom de skriver
C(5,4)*4!
vilket ju är ekvivalent med P(5,4). Varför detta sätt att förklara det på?
Jag räknar (hehe) med att fler studenter har problem med dessa uppgifter då jag
frågade ett par erfarna matematikstudenter och de inte kunde hjälpa mig. Jag vet
i alla fall att jag skulle vara alldeles oerhört tacksam om du lade upp något av
dina egna pedagogiska lösningsförslag till dessa!
L: 6.10b. Här försöker jag skissa på ett Venn-diagram. Vad kan hända?
Antingen är alla tre bokstäverna olika. Hur många sådana "ord" finns det?
Eller så innehåller de två M. två T eller två A. Hur många ord finns det med
2 M? Ja sedan är det bara att addera alla fallen (additionsprincipen).
Inga överlappande mängder så vi behöver inte fundera över någon dubbelräkning.
6.11 d. Stjärnmärkt och därmed en utmaning! Börja med något mindre problem som
är lättare att överblicka. T.ex. tre siffror.
123, 132, 213, 231, 312, 321
Från alla 3! skall vi dra bort de där 1:an är på rätt plats. Det finns 2! sådana.
Totalt finns det C(3,1)=3 fall där en siffra är på rätt plats. Men vänta nu!
Vi har dragit bort fallet när 1 och 2 är på rätt plats en gång för mycket osv
3! - C(3,1) 2! + C(3,2)1! - C(3,3)0!=6-6+3-1=2 (de är 231 och 312).
Tror du att du efter denna uppvärmning kan ge dig på det 5-siffriga problemet?
OBS Fel i facit. Skall vara C(5,0) i sista termen.
Metoden kallas inklusions- och exklusionsmetoden. Man får hålla på och korrigera
för dubbelräkningar o.s.v. tills man får det rätt.
T6.5-T6.7
S: Det handlar om Permutationer och Kombinationer. Jag förstår alla formler och
vad de betyder osv. men det jag har svårt för är att veta när man ska använda
dem. På din föreläsning på nätet har du ritat upp en figur med ja och nej
till ”med hänsyn tagen till ordningen” och jag och nej till ”med återläggning”.
Jag tror att det är här som jag inte fattar, jag förstår inte när det är ”med
hänsyn tagen till ordningen” eller ”med återläggning” eller när det inte är det.
T.ex. uppgift T6.5-T6.7 i EA, jag förstår inte hur jag ska tänka för att komma på
hur jag ska lösa uppgiften. Kan du hjälpa mig?
1)
LL:
Först utan återläggning och utan hänsyn till ordning. Du lånar 3 av mina 7
DVD. Det kan du göra på C(7,3) sätt. Tänk så här 7*6*5 möjligheter men för varje
val t.ex. DVD 2,3 och 5 finns det 6 permutationer (235,253, 325, 352, 523,532).
De måste divideras bort för ordningen är ointressant här. Vi bryr oss inte om
ordningen! Så det finns 7*6*5 / (3*2*1) möjligheter för dig att låna tre av mina
7 DVD. Det talet kallar vi ”7 över 3” och betecknar C(7,3) eller med parentes och
7 över 3 i den. Ser du urnan med 7 bollar (dvd) och att du drar 3 gånger utan
återläggning (du kan bara välja en dvd en gång)?
2)UUtan återläggning och med hänsyn till ordning: Hur många ”ord” med tre bokstäver
kan bildas av A,B,C,D,E,F,G. Ingen bokstav får användas mer än en gång.
P.PP.s.s. 7*6*5 men denna gången bryr vi oss om ordningen så vi skall inte dividera
med 6. T. ex. BCE, BEC, CBE, BEC, EBC, ECB, är sex olika ord. Ser du urnan med 7
bollar (bokstäver) och att du drar 3 gånger utan återläggning (du kan bara välja
en bokstav en gång)?
3)MMed återläggning och med hänsyn till ordning. Hur många symbolsträngar av längd
7 kan bildas av 1, X och 2 (obegränsad tillgång av 1, X och 2)?
3 möjligheter för position 1 men det har vi för position 2 ,3,…7 också så det
finns 3⁷ möjligheter. Ser du urnan med 3 bollar (1,X,2) och att du drar 7 gånger
med återläggning (symbolerna får användas igen)? Tipsrader är strängar av längd
13. Det finns 3¹³ olika tipsrader.
T6.17b, 6.1b, 6.19b
Student: Jag kan inte 6.19 b. (Ser vad du gjort på 6.19 a, men förstår inte den
första omskrivningen av uttrycket)
På T6.17 b förstår jag inte hur du får fram den gemensamma nämnaren. Hur
försvinner (n-1-k)! och (k-1)! Förstår inte heller när det är ! eller ej.
Vet ej heller hur jag ska visa lösningen till 6.1b.
Lärare: Ditt problem när det gäller T6.17b är, tror jag, att definitionerna av
binomialkoefficient och fakultet inte sitter riktigt. De finns på formelbladet,
se http://homepage.lnu.se/staff/hfrmsi/1ma101/Formels_grundl_alg.pdf. k! = k
* ((k-1)!) följer direkt från definitionen (och därmed att 1/(k-1)! =k/k!).
6.1b är lite klurig! Här tycker jag man skall pröva sig fram med tre personer A,
B, C. Lista alla fall på led (blir 3!=6) och alla möjligheter kring det runda
bordet. Här skall vi räkna det fall då A har B till höger och C till vänster
endast en gång. Hur många gånger förekom den situationen i din lista? Försök se
ett mönster.
6.19b. Kan förstås med ett kombinatoriskt resonemang: Välja 3 objekt från n+1
stycken kan göras på C(n,3) +C(n,2) sätt. I första fallet tar jag inte med
det n+1 :a objektet, i det andra fallet gör jag det och då skall jag välja 2 av
de n objekten. I min föreläsning tog jag upp detta med exempel med CD-skivor. Går
naturligtvis också bra att använda definitionen av C(n,k)=n! / k! (n-k)! och
räkna på.
T6.16
S: T6.16. Jag får 15 över 8, detta stämmer ej med facit.
L: C(15,7)=C(15,8). Allmänt C(n,k)=C(n,n-k). Antingen tittar jag på vilka jag
skall välja eller vilka jag inte skall välja och det kan göras på lika många sätt.
6.10.b, 6.11d
6.11d. Hur många 5-siffriga tal kan man bilda av siffrorna 1,2,3,4 och 5 så att ingen siffra är på sin
egen plats. Varje siffra förekommer precis en gång.
S:Jag har problem med dessa två uppgifter i kombinatoriken. Trots att jag ser
svaren i facit kan jag inte lista ut hur man räknar fram dem.
De flesta talen i facit är förklarade med kombinatoriska begrepp men 6.10.b) i
min utgåva har bara själva värdet av uträkningen utskrivet.
Speciellt förvirrande är dessutom 6.11.d) i facit eftersom de skriver
C(5,4)*4!
vilket ju är ekvivalent med P(5,4). Varför detta sätt att förklara det på?
Jag räknar (hehe) med att fler studenter har problem med dessa uppgifter då jag
frågade ett par erfarna matematikstudenter och de inte kunde hjälpa mig. Jag vet
i alla fall att jag skulle vara alldeles oerhört tacksam om du lade upp något av
dina egna pedagogiska lösningsförslag till dessa!
L: 6.10b. Här försöker jag skissa på ett Venn-diagram. Vad kan hända?
Antingen är alla tre bokstäverna olika. Hur många sådana "ord" finns det?
Eller så innehåller de två M. två T eller två A. Hur många ord finns det med
2 M? Ja sedan är det bara att addera alla fallen (additionsprincipen).
Inga överlappande mängder så vi behöver inte fundera över någon dubbelräkning.
6.11 d. Stjärnmärkt och därmed en utmaning! Börja med något mindre problem som
är lättare att överblicka. T.ex. tre siffror.
123, 132, 213, 231, 312, 321
Från alla 3! skall vi dra bort de där 1:an är på rätt plats. Det finns 2! sådana.
Totalt finns det C(3,1)=3 fall där en siffra är på rätt plats. Men vänta nu!
Vi har dragit bort fallet när 1 och 2 är på rätt plats en gång för mycket osv
3! - C(3,1) 2! + C(3,2)1! - C(3,3)0!=6-6+3-1=2 (de är 231 och 312).
Tror du att du efter denna uppvärmning kan ge dig på det 5-siffriga problemet?
OBS Fel i facit. Skall vara C(5,0) i sista termen.
Metoden kallas inklusions- och exklusionsmetoden. Man får hålla på och korrigera
för dubbelräkningar o.s.v. tills man får det rätt.
1)
3)