Karlstads unversitet
Avdelningen för matematik
Tentamen i matematik, Civilingenjör - termin 4, 7,5 hp,
ingående i CBGB04 samt CKGB40
2009-03-25 kl. 8.15-13.15
Ansvarig lärare: Niclas Bernhoff (2024).
Hjälpmedel: Beta - Mathematics handbook. Miniräknare är ej tillåten.
Tentamen (100 poäng) består av två delar, en LA-del (75 poäng) och en
F-del (25 poäng). För betyg 3 skall man ha minst 50 poäng, varav
minst 30 på LA-delen och minst 10 på F-delen. Betyg 3 tillsammans med
minst 65 poäng ger betyg 4 eller betyg 5 för minst 80 poäng. OBS! För full
poäng krävs fullständiga lösningar.
Del 1 - Linjär algebra.
1. a) Bestäm en minstakvadratlösning till det olösbara systemet
2x + 3y = 2
x+y =2
.
3x + 4y = 1
b) För vilka värden på a är är de tre vektorerna (1, 2, 4), (1, 3, 9) och
(1, a, a2 ) en bas för R3 .
2. För vilka värden på a har ekvationssystemet
ax + y + 4z = 2
2x + y + a2 z = 2
x − 3z = a
(8p)
(6p)
(12p)
(i) entydig lösning; (ii) oändligt många lösningar; (iii) ingen lösning.
Ange också lösningarna i det/de fall som det finns oändligt många lösningar.
3. Låt S : R4 → R3 vara den linjära avbildningen
S(x, y, z, w) = (x + 2y + 2z − 4w, 2x + 2y + 3z − 5w, −x + 2y − w),
M : R3 → R3 vara den linjära avbildningen
M (x, y, z) = (y, −z, −x)
och T : R4 → R3 vara den sammansatta linjära avbildningen T (x, y, z, w) =
M(S(x, y, z, w)).
a) Bestäm avbildningen T ′ s matris med avseende på standardbaserna i
R4 och R3 .
(6p)
b) Bestäm dimensionen samt en bas för bildrummet (värderummet) till
avbildningen S.
(7p)
c) Avgör om vektorn y = (5, −5, 0) tillhör värderummet till S.
(3p)
d) Är avbildningen S injektiv?
(3p)
e) Är avbildningen M bijektiv?
(3p)
var god vänd
1
4. Diagonalisera matrisen
(12p)
1 0 2
A = 9 4 15 ,
2 0 1
dvs bestäm en inverterbar matris P och en diagonalmatris D, sådana att
A = P DP −1 . Kontrollera ditt svar!
5. a) Bestäm en ortonormal bas för underrummet
(10p)
M = Span {(1, 0, 2, 0), (2, 3, 4, 1), (5, 4, 0, −2)}
till R4 .
b) Bestäm koordinaterna för y = (12, 11, 4, −3) i denna bas.
(5p)
Del 2 - Fouriers metod
6. Homogenisera (dock utan att lösa) randvärdesproblemet:
′′
′′
utt − uxx = 0, 0 < x < 2, t > 0
u(0, t) = 2t, u(2, t) = 3
.
u(x, 0) = 5 sin(2x), u′t (x, 0) = 2 sin(3x)
(5p)
7. Lös randvärdesproblemet:
′
′′
ut − uxx = 0, 0 < x < π, t > 0
u′x (0, t) = u′x (π, t) = 0
.
2
u(x, 0) = sin (2x)
8.
Lös randvärdesproblemet:
′′
′′
uxx + uyy = 0, 0 < x < 2, 0 < y < 2
.
u(x, 0) = u(x, 2) = 0 för 0 < x < 2
u(0, y) = 0, u(2, y) = 5 sin(2πy) för 0 < y < 2
2
(10p)
(10p)
Lycka till!
