HU / Institutionen för matematik och statistik
Inledning till universitetsmatematik
Tent 23.1.2014
Svara på fem uppgifter: uppgifterna 1–4 samt antingen uppgift 5 eller uppgift 6.
1. Gäller följande påståenden för alla mängder A, B , C och D ?
(a) (A r B) ∪ (C r D) ⊂ (A ∪ C) r (B ∩ D).
(b) (A r B) ∪ (C r D) ⊃ (A ∪ C) r (B ∩ D).
2. Vi definierar en talföljd (a0 , a1 , a2 , . . .) rekursivt genom: a0 = 0, a1 = 1 och an =
an−2 + an−1 för alla naturliga tal n ≥ 2.
(a) Beräkna summan a0 + a2 + a4 + a6 .
(b) Visa med induktion att för alla n ∈ N gäller
n
X
a2i = a2n+1 − 1.
i=0
3. (a) Vi betraktar avbildningen f : ]0, 1] → [0, ∞[, där
f (x) =
s
1
−1
x
för alla x ∈ ]0, 1].
Bestäm den inversa avbildningen till avbildningen f , eller motivera varför den
inte existerar.
(b) Anta, att f : X → Y och g : Y → Z är avbildningar. Visa, att om f är en
surjektion och g inte är en injektion så är g ◦ f inte en injektion.
4. Vi definierar relationen ∼ på mängden R r {0} genom: a ∼ b om och endast om
a
∈ Q.
b
(a) Visa, att ∼ är en ekvivalensrelation.
(b) Nämn fyra olika element i ekvivalensklassen [2]∼ samt i ekvivalensklassen [π]∼ .
(c) Vi betraktar avbildningen f : R r {0} → R r {0}/∼, där f (x) = [x]∼ för alla
x ∈ R r {0}. Är avbildningen f injektiv? Är den surjektiv?
Välj en av följande uppgifter! Uppgift 5 behandlar komplexa tal och uppgift 6 behandlar
matematik för datavetenskap och statistik.
5. Låt w =
1+i
− (1 + 2i)(3 + 4i).
1−i
(a) Bestäm modulen |w| till det komplexa talet w . Rita en bild, där det framstår
vilken punkt i det komplexa planet motsvarar talet w̄ .
(b) Lös den komplexa ekvationen x4 = 9i och märk ut lösningarna i det komplexa
planet.
(c) Bestäm de tal z ∈ C, som uppfyller ekvationen Re(z 2 ) + i Im(z̄(1 + 2i)) = −3.
Vänd!
6. (a) Är följande påståenden gällande heltal sanna eller falska? Motivera!
i. ∃n∀m(nm = m)
ii. ∀n∃m(n2 < m)
iii. ∀n∀m∃p p =
m+n
2
(b) Vi betraktar bitföljder med tio element som exempelvis 00110 10110. Hur många
sådana följder har
i. minst tre nollor och minst tre ettor?
ii. exakt fyra nollor och sex ettor, om vi i tillägg kräver att efter varje nolla
kommer en etta?
Tips: fundera på hur många sätt du kan komplettera följden 01 01 01 01 till
en lämplig bitföljd med tio element.
(c) Det amerikanska federala postverket (United States Postal Service d.v.s. USPS)
identifierar sina betalningsuppdrag med en kod med elva symboler d1 d2 . . . d11 .
De tio första symbolerna identifierar betalningsuppdraget och den sista symbolen d11 är en kontrollsymbol, som bestäms av ekvationen
d11 =
10
X
dk mod 9.
k=1
I följande USPS-betalningsuppdragskoder fattas en symbol. Bestäm symbolen
som fattas eller motivera varför det inte är möjligt att bestämma den.
i. 8509103858
ii. 6668703201
Om två av de tio första symbolerna i en USPS-betalningsuppdragskod byter
plats sinsemellan, kommer felet fram med hjälp av kontrollsymbolen?
