Föreläsning 1

VÄLKOMMEN TILL
Matematik, del 1, 2 sv.
Kurskod 1261.1
Kursmål
Insikter i den matematiska kunskapens särart.
Goda kunskaper om lågstadieelevers
förutsättningar att bygga upp en matematisk
begreppsvärld och tillvägagångssätt inom
elementär matematik.
Kursinnehåll
• Matematiken i samhället och som del av den
mänskliga kulturen
•Matematikundervisningens mål och skolan som
lärandemiljö
•Relationer mellan matematik och andra ämnen
•Personliga och konventionella begreppsstrukturer
•Representationsformer för matematisk kunskap:
tal och talsystem
räkneoperationer
geometri
inledande algebra
tillämpningar (procent, mätningar, statistik)
Tentlitteratur:
*** Kilborn, W. (1990). Didaktisk ämnesteori i matematik. Del 1. Grundläggande
matematik. Stockholm: Utbildningsförlaget. (finns i kursboksbiblioteket)
• Kilborn, W. (1990). Didaktisk ämnesteori. Del 2. Rationella och irrationella tal.
(sidorna 43-75, 86- 91, ingår i A-kompendiet ).
• Emmanuelsson, G. m.fl (red) (1996). Nämnaren TEMA: Matematik –
ett kommunikationsämne. Göteborgs universitet: Nämnaren.
(sidorna 45-68, 101-126, 143-203, ingår i B-kompendiet)
• Bergsten, C. Häggström J. & Lindberg L. (1997). Nämnaren TEMA:
Algebra för alla. Göteborgs universitet: Nämnaren.
(sidorna 9-29, ingår i B-kompendiet)
*** Kurskompendierna A och B som inkluderar valda artiklar utöver ovanstående
1. Kurstentamen:
11.05 kl 14.15-16.00 i rum D402.
2. Tentamenstillfälle 2 är på PF:s sommartentamen den 16.6
(tentanmälan via tentkuvert senast den 24.5).
3. Tentamenstillfälle 3 är första allmänna PF tentamensdag hösten 2006.
Tentanmälan via tentkuvert senast 10 dagar före enligt normal
kutym.
Föreläsning 1:
Vad är matematisk kunskap?
Hur uttrycks matematisk kunskap?
Om tal; kunnande och förståelse
Vad är matematik?
Det som finns i matematikböcker, i räknare, i datorer och andra
tekniska grejor....?
Tal, symboler, logik, regler, formler?
Räkneuppgifter?
Problemlösning?
Enskilt tänkande?
Samtal och argumentation?
Kulturellt verktyg?
Maktverktyg?
Nyttoverktyg?
Upptäckter?
Uppfinningar?
Tro? Övertygelse?
Enl. G. Malmer:
”Världen är full av matematik bara
man har förmåga att upptäcka den”
Håller du med henne?
Varifrån kommer då all ny
matematik? Hur vet man när det
man kallar ”matematik” är sant?
Centrala kunskapsinnehållet i matematik enligt Grunderna för läroplanen för
den grundläggande utbildningen:
Årskurserna 1-2:
•Tal och räkneoperationer, Algebra, Geometri, Mätning
•Informationsbehandling och statistik
Årskurserna 3-5:
•Tal och räkneoperationer, Algebra, Geometri,
•Informationsbehandling och statistik samt sannolikhet
Årskurserna 6-9:
•Tankeförmåga och tankemetoder
•Tal och räkneoperationer, Algebra, Funktioner, Geometri,
•Sannolikhet och statistik
I läroplanen för den grundläggande utbildningen åk 1-9 anges
om matematikundervisningen syfte och uppgift:
Undervisningen i matematik har som uppgift att ge eleven
möjligheter att utveckla ett matematiskt tänkande och lära sig
matematiska begrepp och de mest använda lösningsmetoderna.
Undervisningen skall utveckla ett kreativt och exakt tänkande
hos eleven och skall lära eleven att hitta och matematisera
problem och söka lösningar på dem.
Matematikens betydelse bör ses ur ett brett perspektiv – den
påverkar elevens andliga tillväxt och främjar hans eller hennes
förmåga till målmedvetet handlande och social växelverkan.
Undervisningen i matematik skall framskrida
systematiskt och den skall lägga en bestående grund
för eleven att tillägna sig matematiska begrepp och
strukturer.
Konkretisering kan fungera som ett viktigt hjälpmedel
då elevens erfarenheter och tankesystem förenas med
matematikens abstrakta system.
Läraren bör effektivt utnyttja problem ur vardagen
som kan lösas med hjälp av matematiskt tänkande
eller matematiska metoder.
Informations- och kommunikationsteknik bör
användas för att stödja elevens lärande.
Matematik väcker känslor!
“… Mathematics is a subject that often divides people into two
groups. There are those who say that they are skilled at
mathematics and who loved the mathematics lessons at school
and there are those who say that they hated it and “blocked” at the
first drop of a symbol (Ernest, 1996; Skemp, 1986). People in the
latter group often go on telling horror stories about past
encounters with mathematics in school. The devastating feelings
of not understanding the “name of the game” and lacking a
“mathe-matical mind” often run all through the stories.
What is it about mathematics at school that
creates such strong opinions for or against?...”
”Jag är rädd för matematik. Har man en gång kommit efter,
hinner man aldrig med igen.
Jag tycker att matematik verkar roligt och intressant och
skulle vilja ha ett större kunskapsområde inom
matematiken – men rädslan sitter kvar och gör att det låser
sig.”
”Jag har arbetat och även undervisat i matematik, vilket
har gått bra. Men sätt ett papper med uppgifter framför
mig och jag kan knappt räkna division.”
I enkäten deltog 149 klasslärarstuderande, 122 kvinnor och 27 män.
Sant
kvinnor
Falskt
män
kvinnor
män
1. Jag är ofta nervös då jag
måste räkna ut något
26 (21%) 3 (11%)
96
24
2. Många gånger då jag löser ett
matematikproblem kan jag
plötsligt inte tänka klart
62 (51%) 7 (26%)
60
20
3. Jag har aldrig varit lika bra i
matematik som i andra skolämnen 50 (41%) 5 (19%)
72
22
19 kvinnor (16%) ansåg att alla tre påståenden stämde. Inga män.
”djup
förståelse,
logiskt
tänkande,
förmåga att
dra
slutsatser”
”M
a
ett tema
FÖ språ tik ä
RK k so r
my LA m
cke RA
om t i v R
vär
å
ld ” r
”för att
engagera
eleverna måste
undervisningen
bygga på
samtal och
argumentation”
BEGREPPSBILDNING – transformationer mellan
representationsformer
■■■ ■■
Anna och Karin ritar
Bilder
tolk
a
symbolisera
konkretisera
3>2
läsa
avbilda
a/gene
Förenkl
a
kriv
ra
e
s
i
at
m
e
s ch
ka
l
o
t
rita
Omvärldssituationer
mo
del
lera
bes
kri
va
bes
ralisera
Laborativa
modeller
Skrivna
symboler
skriva
era
ma
tis
da
l
i
ra
b
e
l
v
a
el
d
o
m
sch
e
Klossarna
ligger på
bänken
framför
flickorna
f or
ma
illu
lis
era
s tr
era
Tre är fler än
två
beskriva
dramatisera
Klassen får klossar av läraren,
Anna får fler än Karin
Talade
symboler
Vårt talsystem:
•tiosystem: ett positionssystem med basen 10
•använder de 10 hindu-arabiska siffrorna 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
•som tilldelas både ett positionsvärde/plasvärde och ett absolut värde
(antal) t.ex. talet 564 som bildas av siffrorna 5,6 och 4
Skrivet i sk. utvecklad form
564 = 500+60+4 = 5·100+6·10+4·1
eller med hjälp av tiopotenser 564 = 5·102 + 6·101 + 4·100
•siffrans plats i talet anger således dess värde, siffran har ett platsvärde: 5
hundratal, 6 tiotal, 4 ental.
• Med dessa tio siffror kan vi skriva hur små och stora tal som helst och
enkelt utföra beräkningar med dem
Hur lång pappersremsa behövs för den utskrivna formen av
nedanstående tal om varje siffra kräver ett 4 mm utrymme?
10
10
(10 )
a) Härifrån till Gamla Vasa?
b) Härifrån till Helsingfors?
c) Härifrån till Kapstaden i Syd-Afrika?
d) Ett varv runt ekvatorn?
Talet består av en etta plus 10 000 miljoner nollor.
4 mm * 10 000 miljoner = 40 000 miljoner mm = 40 000 000 000 mm
= 40 000 km
Typsiffror enligt Grunderna för läroplanen för
den grundläggande utbildningen 2004:
spegelskrift
Markus, 5 år skrev telefonnumret 31531
Naturliga tal (N): (0) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ....
Hela tal (Z) bildas av de naturliga talen och deras motsatta tal (samt
noll) ... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....
Rationella tal (uppräkneligt många) (Q): reella tal som kan skrivas som kvot
av två hela tal (b≠0). Har periodisk decimalutveckling (ex. 1/3 ≈ 0,3(3) ...
Irrationella tal (inte uppräkneligt många): alla reella tal som inte kan skrivas
som bråk, ex. e=2,71828... , pi=3, 14159.... Eulers konstant 0,57722...
kvadratrötter ex. √2 ... Har icke-periodisk decimalutveckling.
De ovanstående talmängderna bildar tillsammans de reella talen (R)
Dessutom finns andra talmängder såsom imaginära tal, komplexa tal (reella
+ imaginära) etc.
Att de (positiva) rationella talen är lika många som de
naturliga talen, dvs uppräkneligt många, kan visas med hjälp
av parbildning, varje bråk tilldelas ett nummer från 1 osv. enl.
följande:
1/1
2/1
3/1
4/1
5/1
6/1 ..... 7/1
8/1 ...
1/2
2/2
3/2
4/2
5/2
6/2
7/2
8/2 ...
1/3
2/3
3/3
4/3
5/3
6/3
7/3
8/3 ...
1/4
2/4
3/4
4/4
5/4
6/4
7/4
8/4 ...
1/5
2/5
3/5
4/5
5/5
6/5
7/5
8/5 ...
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
7/6
8/6 ...
...
...
...
....
....
....
....
....
Barns tidiga användning och förståelse av tal
känner igen mängder utan att räkna de enskilda föremålen
(”subitizing” eller känna igen mönster)
rabblar TALRAMSAN som en lek med ord utan numerisk innebörd
använder talen som symboler eller namn
talramsan utvecklas till ett instrument, TALRADEN, för att räkna antal
föremål i en mängd genom parbildning
De första stegen i barns räknande följer enligt Gelman och Gallistel
följande mönster:
a. Barnet lär sig att kvantifiera.
Det finns en bestämd mängd äpplen i korgen. Det finns tre äpplen nu, även
efter en stund eller trots att locket är på.
b. Barnet lär sig att jämföra mängder genom parbildning.
Vilken korg innehåller fler äpplen?
c. Barnet lär sig att det inte spelar någon roll i vilken ordning föremålen räknas.
Man kan börja från att peka på vilket äpple som helst i korgen.
d. Barnet lär sig att räkneorden kommer i en bestämd ordning, dvs talraden
(talens ordningsegenskap = ordinaltal).
Då äpplena i korgen skall räknas, paras varje äpple ihop med ett ord i talraden.
e. Barnet lär sig att då varje föremål i mängden kopplats samman med ett
räkneord så kan antalet föremål anges med det sist nämnda räkneordet. (talens
mängdegenskap = kardinaltal)
(test av talförståelse med 500 slumpvis utvalda norska elever i respektive
årskurs år 1995)
Vad betyder siffran 7 i 0,573?
a) 70
b) 7
c) 0,7
d) 0,07
åk 4
26%
40%
11%
13%
0,07 (R)
70
7
0,7
åk 6
54%
23%
10%
10%
Vilken siffra står på hundradelsplatsen i 6,423?
a) 6
b) 4
c) 2
d) 3
2 (R)
6
4
3
åk 4
10%
15%
65%
4%
åk 6
31%
8%
55%
5%
Elevers förståelse av decimaltal (åk 5):
Vilket av följande decimaltal är störst?
0,62
0,234
0,4
I åk 5 svarade elever:
0,62 (38%) (rätt svar)
0,532 (29%)
0,4 (25%)
0,31
0,532
Elevers bråkförståelse:
(Resultat från engelsk undersökning)
12 år
13 år
14 år
15 år
78%
66%
71%
68%
1/10 + 3/5 = 7/10 55%
38%
49%
45%
1/3 + ¼ = 7/12
54%
38%
35%
45%
1/10 + 3/5 = 4/15
16%
27%
24%
21%
1/3 + ¼ = 2/7
18%
29%
22%
20%
3/8 + 2/8 = 5/8
(Test med 170 svenska elever i årskurs 4)
Hur lång är en säng för en vuxen?
a) 50 cm
b) 100 cm
20 % av eleverna svarade d).
c) 200 cm
d) 400 cm
EXEMPEL 1
a) 1 liter bränsle kostar 1,23 euro. Hur mycket kommer det att kosta att fylla
mopedtanken som rymmer 3 liter?
b) 1 liter bränsle kostar 1,23 euro. Hur mycket kommer det att kosta att fylla en
liten behållare som rymmer 0,53 liter?
1b) 63% valde svaret 1,23 /0,53 =
EXEMPEL 2
a) Av 1 kg vete får man 0,75 kg vetemjöl. Hur mycket vetemjöl får man av 15 kg
vete?
b) 1 kg tvättmedel används för att tillverka 15 kg tvål. Hur mycket tvål kan
tillverkas av 0,75 kg tvättmedel?
2b) 45% valde svaret 15/0,75 =
Varför väljer många 13-åringar division i b)-uppgifterna?
340 st 13-14-åringar i Singapore fick lösa följande uppgifter:
Uppg. a) Antal gäster:
Maja har 7 kamrater och Pia har 9. De hade ett gemensamt kalas i slutet av
terminen. De bjöd alla sina vänner och alla kom.
Hur många kamrater var på kalaset?
Uppg. b) Dela ballonger:
Hur kan 4 barn på ett kalas dela på 14 ballonger?
a) Antal gäster:
84,7% gav det orealistiska svaret 16 gäster.
b) Dela ballonger: De flesta elever ansåg att en ballong inte går att dela i
halvor.
Scenario från årskurs 4:
Man diskuterar lösningen av uppgiften 9 · 9 + 9 under ledning av läraren
9·9 + 9
Läraren skriver på tavlan:
81 + 9 = 90
Eleven Valter markerar och säger:
” Men jag tänkte 10 gånger 9 är 90”
Läraren frågar:
”Hur tänkte du?”
Valters motivering:
”Det är en gång mera nio”
Läraren är förbryllad, men accepterar svaret med kommentaren
”så kan man också tänka”. Vad menade Valter? Är hans tänkande effektivt?
”Vilken ekvation kan bäst hjälpa dig att subtrahera 12 - 7?”
a) 5 + 4 = 9
b) 5 + 2 = 7
c) 12 + 7 = 19
d) 5 + 7 = 12
Kalle i årskurs 3 gav svaret b).
Kalles lärare ansåg att svaret var fel. Enligt läraren borde svaret vara d).
Vad anser du?
Kalles motivering:
”Om jag tar 2 från 12 och 2 från 7 så får jag 10 – 5.
Och det är 5.”
Enligt Kalle måste svaret därför vara 5 + 2 = 7 eftersom det är det enda som
innehåller 2, 5 och 7.
Markus, 5 år,
Hans problem: att dela
40 med 2.