Bengt ulin
Digitalromantik med Euler
En alternativ rubrik på denna artikel kunde vara ett uttryck från
lotterireklamen: ”Plötsligt händer det”. Två polynom som Leonhard
Euler beskrivit som genererar primtal vid insättning av vissa tal.
Men för vilka tal då? Flera intressanta undersökningar som kan
genomföras av elever i gymnasieskolan presenteras.
L
eonhard Euler har givit oss två trevliga primtalsalstrare, nämligen de två
andra­gradspolynomen:
A(n) = n2 + n + 17 och B(n) = n2 + n + 41.
Det första polynomet ger idel primtal för
n = 0, 1, 2, ... , 15 och det andra hela 40 primtal i rad för 0 ≤ n ≤ 39. Den långa raden av
primtal upphör i och med n = 16 respektive n = 40, som ger A(16) = 172 respektive
B(40) = 412. Även nästföljande n-värde ger
sammansatta tal: A(17) = 17·19 respektive
B(41) = 41·43. Hur ser det då ut när man sätter in ännu högre n-värden i dessa båda polynom?
1. Givetvis ger n-värden som är multipler
av 17 resp 41, t ex 34 och 82, sammansatta
tal som är delbara med 17 respektive 41, men
även det näst föregående n-värdet ger delbarhet med 17 respektive 41, eftersom differensen A(n) – A(n – 1) och likaså B(n) – B(n – 1)
är 2n. Om t ex A(n) är delbart med n, så är
därför även A(n – 1) delbart med n.
2. Om vi låter S beteckna 16 i fråga om
A(n) och 40 beträffande B(n), så finner man
att talföjden F bestående av talen
n = S+1, S+1+3, S+1+3+5, S+1+3+5+7
ger sammansatta tal, medan heltal som ligger mellan dessa n-värden ger primtal. Fort-
58
Nämnaren nr 4 • 2006
sätter det så i oändlighet? Det kan vara en
trevlig uppgift för intresserade gymnasieelever att undersöka detta.
Till att börja med är svaret lätt funnet
ifråga om mellanliggande primtal: svaret
är nej, vilket framgår av att redan 2-multipeln av 17 resp 41, dvs 34 resp 82, hamnar i
F-talens mellanrum. Det finns alltså heltal
mellan de tal som tillhör talföljden F som
vid insättning ger sammansatta tal. För att
undersöka frågan huruvida talföljden F ger
idel sammansatta tal är följande tabell av intresse; den bjuder faktiskt på en aritmetisk
skönhet:
n
A(n)
B(n)
S + 1
17 · 19
41 · 43
S + 4
19 · 23
43 · 47
S + 9
23 · 29
47 · 53
S + 16
29 · 37
53 · 61
osv
Vi ser här att om det sammansatta talet
skrivs som produkten av två faktorer p och
q, så återkommer q som första faktor i nästföljande produkt. Dessutom ökar respektive
faktor med talen 2, 4, 6, 8, osv. Med gissningen att denna regelbundenhet fortsätter i det
oändliga kan vi börja med att jämföra A(n)
med produkten pq där
n = (S + 1) + 3 + 5 +. . .+ (2k + 1),
p = (S + 1) + 0 + 2 + 4 +...+ 2k
och
q = (S + 1) + 2 + 4 + 6 +...+ (2k + 2)
för
S = 16 och k = 0, 1, 2, ...
vilket innebär
n = S + (k + 1)
2
p = S + 1 + k (k + 1)
q = S + 3 + k (k + 3)
Det är nu inte svårt att identifiera A(n) med
pq, varmed frågan huruvida talen som tillhör talföljden F ger sammansatta tal av den
angivna typen är positivt besvarad.
För polynomet B(n) blir argumenteringen densamma; S betyder då 40.
3. Låt oss återgå till A(n). De prim­faktorer
som dyker upp i de sammansatta talen före­
faller vara lägst 17. Förblir det så? Eller är det
tänkbart att något av primtalen 3, 5, 7, 11 och
13 uppträder? Talet 2 kan inte förekomma,
eftersom n2 + n = n (n + 1) är ett jämnt tal som
tillsammans med 17 ger ett udda tal. Även
denna frågeställning kan vara utmanande
för elever med intresse för talteori. En likartad undersökning kan företas för B(n).
4. En fråga som osökt infinner sig är om
andra andragradspolynom än A(n) och B(n)
kan konkurrera med Eulers polynom som
primtalsalstrare.
5. Det kan vara värt att nämna att det i
följden av naturliga tal finns hur långa sammanhängande band av idel sammansatta tal
som helst, dvs band av typen
6. Ett klassiskt men inte så välkänt exempel
på en effektfull överraskning är Mosers cirkeldelningsproblem. Eleverna får rita figurer
svarande mot tal n = 1, 2, 3, 4, 5 och 6 där n är
antalet punkter på en konvex sluten kurva,
lämpligen en cirkel, så utplacerade att man
erhåller maximalt många delområden när
cirkelskivan delas av alla de möjliga kordor
som sammanbinder de valda punkterna. När
man räknar antalet delområden blir många
elever hälsosamt överraskade för n = 6.
Jag får hänvisa intresserade läsare till Andrejs Dunkels (1983) artikel och till min
bok (Ulin, 1988). Problemet dök upp i Martin Gardners matematikhörna i Scientific
American, aug 1969. Såvitt jag vet var det
för övrigt Andrejs Dunkels som berikade
det svenska språket med termen ”digital­
romantiker”, en beteckning som passade utmärkt på honom själv.
Avslutningsvis vill jag hänvisa till artikeln i Normat (Ulin, 2004), där en viss delbarhetsegenskap inträffar drygt en kvarts
miljon gånger för att plötsligt avlösas av en
annan.
Litteratur
Dunkels, A. (1983). Problem med problem,
Nämnaren 10(3).
Ulin, B. (1988). Att finna ett spår, Stockholm:
Utbildningsförlaget (utsåld).
Kan köpas i tysk bunden upplaga, Der Lösung auf der Spur,Verlag Freies Geistesleben,
1987, (info@geistesleben,com) eller i engelsk
paperback, Finding the Path, The Association of Waldorf Schools of North America,
1991, c/o Pine Hill Waldorf School, Wilton,
NH 03086, USA
Ulin, B. (2004). Än så många exempel ger ingen
garanti . . ., Normat 52(3),
N + 2, N + 3, ..., N + m,
där m kan bli hur stort som helst, om man
bara väljer N tillräckligt stort. Vill man exempelvis skaffa sig minst 100 samman­satta
tal i rad (m = 101), kan man välja N som talet
N = 101! =101 · 100 · 99 · ... · 2
Vi ser att talen N + k är delbara med var sitt
av de hundra heltalen k, då k ligger i intervallet 2 ≤ k ≤ 101.
Nämnaren nr 4 • 2006
59
