ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Föreläsning XI
Mikael P. Sundqvist
FÖRELÄSNING XI
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Additionsformler
Sats
Det gäller att
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
α
β
b
a
h
x
y
och
FÖRELÄSNING XI
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Subtraktionsformler
Från
följer
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
och
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β,
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β.
och
FÖRELÄSNING XI
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Exempel
Exempel
π
Beräkna cos 12
FÖRELÄSNING XI
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Dubbla vinkeln
Sats
Det gäller att
sin 2x = 2 cos x sin x,
och
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x.
π
Exempel
Beräkna cos 12 igen.
Exempel
Lös ekvationen
cos 2x = 1 + sin x.
FÖRELÄSNING XI
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Hjälpvinkelmetoden
Exempel
⋆ Skriv sin x + √3 cos x på formen A sin(x + 𝜙).
⋆ Lös ekvationen
sin x + √3 cos x = 1.
FÖRELÄSNING XI
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING XI
Invers till cosinus
Cosinus är injektiv på [0, π]
y
1
-2 π
-π
π
-1
2π
x
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Invers till cosinus
FÖRELÄSNING XI
På intervallet [0, π] är funktionen f(x) = cos x injektiv. Vi kallar dess invers
f −1 för arcus cosinus, f −1 (x) = arccos x . arccos har definitionsmängd [−1, 1]
och värdemängd [0, π].
y
π
1
1
-1
-1
π
x
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Exempel
Exempel
Vad är arccos
√3
2
?
FÖRELÄSNING XI
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING XI
Invers till sinus
Sinus är injektiv på [−π/2, π/2]
y
1
-2 π
-π
π
-1
2π
x
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Invers till sinus
FÖRELÄSNING XI
På intervallet [−π/2, π/2] är funktionen f(x) = sin x injektiv. Vi kallar dess
invers f −1 för arcus sinus, f −1 (x) = arcsin x . arcsin har definitionsmängd
[−1, 1] och värdemängd [−π/2, π/2].
y
π
2
1
-
π
2
1
-1
-1
-
π
2
π
2
x
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Exempel
Exempel
och
Beräkna
arcsin(sin π/3)
arcsin(sin 2π/3).
FÖRELÄSNING XI
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING XI
Invers till tangens
Tangens är injektiv på (−π/2, π/2)
-2 π
-π
y
π
2π
x
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Invers till tangens
FÖRELÄSNING XI
På intervallet (−π/2, π/2) är funktionen f(x) = tan x injektiv. Vi kallar dess
invers f −1 för arcus tangens, f −1 (x) = arctan x . arctan har definitionsmängd
ℝ och värdemängd (−π/2, π/2).
y
π
2
-
π
π
2
2
-
π
2
x
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING XI
Invers till cotangens
Cotangens är injektiv på (0, π)
-2 π
-π
y
π
2π
x
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Invers till cotangens
FÖRELÄSNING XI
På intervallet (0, π) är funktionen f(x) = cot x injektiv. Vi kallar dess invers f −1
för arcus cotangens, f −1 (x) = arccot x . arccot har definitionsmängd ℝ och
värdemängd (0, π).
y
π
π
x
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING XI
Hyperboliska funktioner
Vi definierar de hyperboliska funktionerna cosinus hyperbolicus och sinus hyperbolicus som
e x + e −x
cosh x =
,
2
e x − e −x
sinh x =
,
2
x∈ℝ
y
x∈ℝ
5
cosh(x)
-3
-2
1
-1
-5
-10
2
x
sinh(x)
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Identiteter för hyperboliska funktioner
Sats
Det gäller att (hyperboliska ettan)
cosh2 x − sinh2 x = 1
Vidare gäller (dubbla vinkeln)
och
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
Allmänt (additionsformler)
och
sinh 2x = 2 cosh x sinh x.
cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x
FÖRELÄSNING XI
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING XI
Parametrisering av enhetscirkeln
y
Här har vi ritat cirkeln
x 2 + y 2 = 1.
x(t) = cos t
y(t) = sin t
Vi kan skriva
{
där t är vinkeln. Låter vi
0 ≤ t < 2π
så täcker vi hela enhetscirkeln.
t
sin(t)
(cos(t),sin(t))
t
cos(t)
1
x
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING XI
Parametrisering av hyperbel
Här har vi ritat hyperbeln
x 2 − y 2 = 1.
x(t) = cosh t
y(t) = sinh t
y
(cosh(t),sinh(t))
Vi kan skriva
{
där t/2 är den markerade arean.
Låter vi
0 ≤ t < +∞
så täcker vi hela den högra delen
av hyperbeln.
Area
t
2
x
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Cosinus hyperbolicus – kedjekurva
En hängande kedja beskrivs av en cosinus hyperbolicus-kurva.
Du kan se bilder på http://en.wikipedia.org/wiki/Catenary.
FÖRELÄSNING XI
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING XI
