Matematik CD för TB
Trigonometriproblem
Här följer några problem med där trigonometri kommer till användning.
1
Figur 1:
Ett föremål rör sig sakta rakt mot ett fyrtorn. Klockan 13:00 ser man föremålet under vinkeln
12.5◦ från fyrtornet (räknat i förhållande till en horisontell linje). Klockan 13:15 är motsvarande
vinkel 18.7◦ . Beräkna föremålets hastighet m/min.
2
Beräkna sträckan x
Figur 2:
Håkan Strömberg
1
KTH Syd Haninge
Matematik CD för TB
3
I B finns en kula, som hänger i ett snöre AB. Beräkna kulans höjd H över marken.
Figur 3:
4
Ptolemaios från Alexandria (ca 150 e Kr) angav att då R = 60 och V = 72◦ är
Figur 4:
A = 70 +
32
3
+ 2
60 60
Jämför detta resultat med det riktiga.
5
Beräkna vinkeln V
Figur 5:
Håkan Strömberg
2
KTH Syd Haninge
Matematik CD för TB
Trigonometriproblem Lösningar
1
Vi starta med att rita in två linjer BD och CE vinkelräta mot den horisontella linjen. Vi får då
Figur 6:
två rätvinkliga trianglar △ABE och △ACD i båda dessa trianglar är samtliga vinklar direkt eller
indirekt givna. Dessutom är sidorna BD = CE = 45 m. Vi kan nu bestämma den okända kateten
i dessa trianglar. Först sträckan AB, som vi antar är x m
tan 18.7◦ =
45
x
45
tan 18.7◦
x ≈ 133
x =
Sedan sträckan AC, som vi antar är y
tan 12.5◦ =
45
y
45
tan 12.5◦
y ≈ 203
y =
Under 15 minuter har föremålet förflyttat sig y − x = 203 − 133 = 70 meter, vilket ger en hastighet
på
70
≈ 4.7
15
Svar: Hastigheten är 4.7 m/min
2
Vi startar med att bestämma DC. Antag att sträckan är y
380
y
380
y =
tan 51.34◦
y ≈ 304
tan 51.34◦ =
Håkan Strömberg
3
KTH Syd Haninge
Matematik CD för TB
Vi kan nu bestämma AC. Antag att sträckan är z
z
304
z = 304 · tan 55.81◦
tan 55.81◦ =
z ≈ 447.5
Nu kan vi bestämma x = z − 380 = 447.5 − 380 = 67.5
Svar: 67.5 m
3
Vi drar en horisontell linje från B vinkelrätt mot AC till punkten D. Vi ser att snöret som kulan
Figur 7:
hänger i har längden AB = 1.65 − 0.35 = 1.3 m. Vi kan nu bestämma AD. Antag sträckan är x
x
1.3
x = 1.3 · cos 72◦
cos 72◦ =
x ≈ 0.4
H = 1.65 − 0.4 = 1.25
4
Vi drar en radie vinkelrätt mot A och delar triangeln i två rätvinkliga. Eftersom triangeln är likbent
(två radier utgör benen) delas också vinkeln V mitt itu. Vi kan nu sätta upp följande likhet.
sin
a
V
= 2
2
R
V
a = 2R sin
2
Detta ger
a = 2 · 60 sin 36◦ ≈ 70.5
Att jämföra med
A = 70 +
32
3
+ 2 ≈ 70.5
60 60
Stämmer bra eller hur?
Håkan Strömberg
4
KTH Syd Haninge
Matematik CD för TB
5
Dra en linje som skapar en rätvinklig triangel med motstående katet 25 m och hypotenusan 30
m. Vi kan nu bestämma vinkeln V genom
25
30
25
V = arcsin
30
◦
V ≈ 56.4
sin V
=
Svar: 56.4◦
Håkan Strömberg
5
KTH Syd Haninge
