Hur skall man använda trigonometriska funktioner
för att finna sidor och vinklar i trianglar?
1. De enklare lösningarna kan bara användas i rätvinkliga trianglar. Så kolla om det finns en
rätvinkel eller om man kan dela upp figuren i räta trianglar.
2. Trigonometriska funktioner bildar samband mellan 2 sidor och en vinkel. Vad söker du?
a) en vinkel- då måste du känna till 2 sidor (eller de andra vinklar och använda vinkelsumma i en triangel)
b) en sida - då måste du kunna en sida och en (spetsig) vinkel (kan du de två andra sidorna- kan du
använda Pytagoras sats i stället)
3. Hur förhåller sidorna sig till (den sökta eller kända) vinkeln? Närliggande (=den av de vinkelräta
sidorna som bildar ett ben av vinkeln), Motstående och Hypotenusan (= alltid längsta sidan och
motstående till räta vinkeln). OBS det är inte om sidan är vågrätt eller lodrätt som är viktigt, ej heller
vilka bokstäver som betecknar de använda sidorna, utan hur de ligger i förhållande till vinkeln
man vill knyta sidorna till.
Namn
4. Vilka sidor som kan kopplas till den sökta
eller kända vinkeln bestämmer vilket
trigonometriskt samband till höger som du
skall använda.
sinus
Allmän
beskrivning
sin v =
Formelsamlingens
kortbeskrivning
sin A =
motstående
hypotenusan
a
c
cosinus cos v =
närliggande
hypotenusan
cos A =
b
c
tanv =
motstående
närliggande
tan A =
a
b
tangens
5. Lös ut det som söks med vanliga ekvationsregler
Exempel: v = 37º
Höjden= h v
h = 6,2m Sök s !
Lösning: i exemplet, till vinkeln v är
h = närliggande sida och s = hypotenusan då får vi
använda cosinus funktionen:
6 ,2 m
cos v = hs ⇔ s = cosh v = cos
37 ° ≈ 7 ,8m
s =staglängd
I övningarna på nästa sida skall du träna dig på att bilda en ekvation som säger hur du skall räkna
ut x (= en sida) eller X (= en vinkel). Versaler (stora bokstäver) betecknar vinklar och gemena
(=små bokstäver) betecknar sidolängder. Du skriver lämpligen som den kursiverade texten i
lösningsexemplen nedan.
Första steget blir att välja en standardformel som du kan använda. De flesta blir baserade på de
trigonometriska sambanden ovan men även Pytagoras sats a2 + b2 = c2 eller vinkelsumman i en
triangel 180º = A + B + C kan finnas med för att hålla dig uppmärksam.
I.
II.
III.
IV.
M
x
x
D
k
m
k
Lösning: till D är x den
Lösning: till M är k den
motstående och m närliggande
motstående sidan och x
hypotenusan så:
sidan så: tan D = x/m
få x ensam genom multiplikation
sin M = k / x
med m: x = m · (tan D)
man skriver oftast hel enkelt:
få x ur nämnaren genom
multiplikation med x:
x = m tan D
få x ensam
genom division med sin M:
x · sin M = k
d
x
m
X
Lösning: Vi har 3 sidor
Lösning: till X är w den
som skall kopplas ihop i en närliggande sidan och m
rätvinklig triangel: Pytagoras hypotenusan så:
sats
Cos X = w/m
d2 + x 2 = k 2
x 2 = k 2 - d2
x=
Man kan skriva:
X = arccos (w/m)
Och man räknar på
kalkylator så här:
k2 - d 2
[cos -1] (w/m) [Exe]
x = k / (sin M)
SSVH
w
Jeff Forssell fil: M:\MaAllm\trigGrnd5W97.doc version 01-11-29
Äldre rälknare: (w/m) [cos-1][=]
10:22
sida 1
Övning: Ställ upp en lösning (liknande den kursiverade texten i exemplen på
förklaringsbladet) för sida x eller vinkel X i dessa rätvinkliga trianglar. Facit finns nedan
1.
2.
x
3.
a
x
A
5.
A
6.
c
b
x
A
8.
a
b
A
9.
x
X
c
b
X
11.
c
b
12.
B
a
x
a
10.
c
c
A
7.
x
A
4.
B
x
B
x
a
X
b
13.
14.
X
x
15.
R
B
16.
B
x
c
a
c
d
x
x
17.
m
A
18.
19.
F
20.
D
x
x
c
a
x
c
s
b
b
21.
X
22.
23.
A
V
b
24.
V
x
X
x
a
k
X
b
Facit
c · (sin A)
skriver man :
1) x = a/sin A
5) x= b tan A
2) x = b/ cosA
6) x = a/tan A
9) sin X = a/c
13) cos X = a/c
17) x = b/tan D
10) x = c cos B
14) x = c sin B
18) tan X = c/b
c sin A oftast
3) x = c sin A
7) tan X = a/b eller
X = arctan (a/b)
11) x = b/sin B
15) x = d sin R
19) x = a/cos F
4) x = c cos A
8) cos X = b/c eller
X = arccos(b/c)
12) x = a tan B
16) x = m/tan A
20)* x = s
24) x = k/sin V
2
21)* X = 90° - V
22)* X = ½90° = 45°
23) x = a/tan A
* 20 -22 är slamkrypare som inte bygger på trigonometriska funktionerna
SSVH
Jeff Forssell fil: M:\MaAllm\trigGrnd5W97.doc version 01-11-29
10:22
sida 2
− c2
