Harmoniska oscillatorn
10
10.1
10 – 1
HARMONISKA OSCILLATORN
Inledning
Det kanske viktigaste problemet inom mekaniken, och samtidigt ett av de enklaste att
lösa, är den harmoniska eller linjära oscillatorn. Det enklaste exemplet är där en massa
m är fastsatt i en fjäder med fjäderkonstant
k, och fjädern utövar en kraft F = −kx.
Den potentiella energin för denna kraft är
U (x) = 12 kx2 , och rörelseekvationen i avsaknad av andra krafter är
mẍ + kx = 0
Denna beskriver den fria harmonsiska oscillatorn med lösningen
När F (t) är en oscillerande kraft leder denna
ekvation till resonanser, där svängningsamplituden blir väldigt stor om frekvansen hos
F (t) sammanfaller med oscillatorns naturliga
frekvens.
Betydelsen av den harmoniska oscillatorn beror på att ekvationer med samma
form dyker upp i flera olika fysikaliska
tillämpningar. I nästan varje fall där den potentiella energin U (x) har ett eller flera minima, kan en partikels rörelse för små oscillationer kring minimat approximeras med en
harmonisk oscillator. Detta följer av att om
U (x) har ett minimum kring x = x0 , och om
vi utvecklar U (x) i en Taylorserie kring denna
punkt får vi
U (x) = U (x0 ) +
x(t) = B cos ω0 t + C sin ω0 t
där
s
ω0 =
k
m
är den naturliga frekvensen för oscillatorn.
Lösningen kan även skrivas
x(t) = A cos(ω0 t + φ)
+
1
2
d2 U
dx2
!
dU
dx
x0
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + · · ·
x0
Konstanten
U (x0 )
påverkar
inte
det fysikaliska problemet och kan sättas till
noll. Eftersom x0 är ett minimum är
dU
dx
= 0;
x0
d2 U
dx2
!
≥0
x0
där A och φ är konstanter, vilka liksom B och Med kraftkonstanten
!
C måste bestämmas ur begynnelsevillkoren,
d2 U
k=
och där A cos φ = B och −A sin φ = C.
dx2 x
0
I alla fysikaliska tillämpningar finns det
även en friktionsterm även om den ofta kan
kan vi alltså skriva potentialen
vara väldigt liten. Denna friktionskraft kan
approximativt antas vara proportionell mot
1
U (x) = k(x − x0 )2 + · · ·
hastigheten, och vi skall begränsa oss till
2
detta fall. Rörelseekvationen blir i detta fall
och för tillräckligt små värden på (x −
x0 ) kan kubiska och högre ordningens termẍ + bẋ + kx = 0
mer försummas. Detta resultat generaliseras
Denna ekvation beskriver den dämpade har- enkelt till två och tre dimensioner.
moniska oscillatorn. Om oscillatorn även
Praktiskt taget varje problem med mekapåverkas av en yttre kraft F (t) får vi ekva- niska vibrationer reduceras sålunda till en
tionen
harmonisk oscillator, då svängningsamplimẍ + bẋ + kx = F (t)
tuden är tillräckligt liten. Även elektriska
Harmoniska oscillatorn
10 – 2
problem kan skrivas på denna form. En elek- Den allmänna lösningen till den homogena ektrisk krets med en induktans L, resistans vationen kan alltså skrivas
R och kapacitans C i serie, vilken har en
z(t) = z1 eα1 t + z2 eα2 t
spänningskälla E(t) följer ekvationen
där z1 och z2 är konstanter vilka måste
bestämmas ur begynnelsevillkoren. Det finns
där q är laddningen på kondensatorn och I = tre fall beroende på om α är reellt eller komq̇ är strömmen i kretsen. Denna ekvation är plext.
identisk med den ovan.
1. Svag dämpning γ 2 < 4ω02
q
Den allmänna lösningen kan skrivas på forI
detta
fall
är
γ 2 /4 − ω02 imaginärt och
men
vi får
x(t) = xh (t) + xp (t)
Lq̈ + Rq̇ +
1
q = E(t)
C
där xh (t) är lösningen till den homogena ekvationen med högerledet lika med noll, och
xp(t) är en partikulärlösning till ekvationen
med en pålagd kraft i högerledet.
10.2
s
α=−
γ
γ2
γ
± i ω02 −
= − ± iω1
2
4
2
s
där
ω1 =
Homogen lösning
Vi börjar med att betrakta den homogena ekvationen
ẍ + γ ẋ + ω02 x = 0
där γ = b/m och ω02 = k/m. För att lösa
denna ekvation inför vi den komplexa funktionen
z(t) = x(t) + iy(t)
ω02 −
γ2
< ω0
4
Lösningen blir i detta fall
z(t) = e−γt/2 z1 eiω1 t + z2 e−iω1 t
För realdelen av z får vi med z1 = x1 +iy1
och z2 = x2 + iy2
x(t) = e−γt/2 (x1 + x2 ) cos ω1 t −
− e−γt/2 (y1 − y2 ) sin ω1 t =
där y(t) också satisfierar den homogena ekvationen och alltså
= Ae−γt/2 cos(ω1 t + φ)
z̈ + γ ż + ω02 z = 0
Detta motsvarar en oscillation med
frekvens ω1 /2π och med en amplitud
Ae−γt/2 vilken avtar exponentiellt med
tiden. Konstanterna A och φ beror på
begynnelsevillkoren. Frekvensen ω1 < ω0
är mindre än utan dämpning.
Den reella fysikaliska lösningen fås sedan ur
x(t) = Rez(t). Låt
z(t) = z0 eαt
ż = αz(t) z̈ = α2 z(t)
Då blir
2. Stark dämpning γ 2 /4 > ω02
(α2 + γα + ω02 )z0 eαt = 0
vilket ger den karakteristiska ekvationen
γ
α=− ±
2
α2 + γα + ω0 = 0
med lösningar
1
1
α = − γ ± γ 2 − ω02
2
4
1/2
q
I detta fall är γ 2 /4 − ω02 reellt och de
två lösningarna för α blir
s
γ2
− ω02 = −γ1,2
4
Båda rötterna är negativa och vi får
= α1,2
z(t) = z1 e−γ1 t + z2 e−γ2 t
Harmoniska oscillatorn
10 – 3
Realdelen blir
dvs lösningen vid kritisk dämpning
dör ut snabbare för långa tider än
den starkt dämpade lösningen, förutsatt
att dämpparametern γ är lika i båda
fallen. I många fall är det öskvärt att
en visare, en dörrstängare etc snabbt
når sitt jämviktsläge. För en given
dämpning γ uppnås detta för den kritiska
dämpningen.
x(t) = x1 e−γ1 t + x2 e−γ2 t
Båda dessa termerna dör ut exponentiellt
med tiden, den ena snabbare än den andra (γ2 > γ1 ). Konstanterna x1 och x2
bestäms av begynnelsevillkoren.
3. Kritisk dämpning γ 2 = 4ω02
I detta fall har vi endast en lösning för α
γ
α=−
2
Motsvarande lösning för x blir
x(t) = x1 e−γt/2
10.3
Linjära påtvingade svängningar
Vi undersöker nu effekten av en yttre tidsberoende kraft F (t) på en harmonisk oscillator där
F (t) = F0 cos ωt
Nu gäller allmänt att lösningen till För en elektron vilken påverkas av ett eleken andra ordningens differentialekvation triskt fält E0 cos ωt har vi t ex F (t) =
alltid innehåller två lineärt oberoende −eE0 cos ωt.
lösningar. Antag därför att
Den totala kraften blir nu
x(t) = u(t)e−γt/2
dvs
F = −kx − bẋ + F0 cos ωt
och rörelseekvationen blir
γ
ẋ(t) = u̇(t)e−γt/2 − u(t) e−γt/2
2
−γt/2
ẍ(t) = ü(t)e
− u̇(t)γe−γt/2 +
γ2
+ u(t) e−γt/2
4
vilket ger ekvationen
ü(t) −
γ2
u(t) + ω02 u(t) = ü(t) = 0
4
ẍ + γ ẋ + ω02 x =
Den allmänna lösningen kan skrivas som
x(t) = xh (t) + xp (t) där xh (t) är lösningen
till den homogena ekvationen.
En partikulärlösning fås enklast genom att studera
den komplexa ekvationen
z̈ + γ ż + ω02 z =
eller
u(t) = C1 + C2 t
F0 iωt
e
m
Vi ansätter en lösning
Den allmänna lösningen i detta fall blir
alltså
x(t) = [x1 + x2 t] e−γt/2
F0
cos ωt
m
z(t) = z0 eiωt
dvs
ż = z0 iωeiωt
z̈ = −z0 ω 2 eiωt
Denna funktion dör ut exponentiellt med Detta ger
en tidskonstant där
γ2 > γ > γ1
(−ω 2 + iωγ + ω02 )z0 eiωt =
F0 iωt
e
m
Harmoniska oscillatorn
eller
F0
1
z0 =
m ω02 − ω 2 + iωγ
dvs
1
F0 iωt
e
2
− ω + iωγ m
Vi ser att den komplexa partikulärlösningen
blir proportionell mot den pålagda yttre
kraften. Den totala lösningen innehåller även
den homogena lösningen, men som vi fann
i förra avsnittet dör denna ut exponentiellt
med tiden. Den homogena lösningen kallas
därför för den transienta lösningen, och partikulärlösningen, vilken dominerar för långa
tider, för den stationära lösningen. Den
senare skriver man ofta på formen
zp (t) =
ω02
zp (t) = χ(ω)F (t)
där
10 – 4
Den första termen i xp(t) representerar
en oscillation proportionell mot den pålagda
kraften F0 cos ωt. Denna term representerar
en reaktiv störning, och χ0 kallas för den reaktiva responsfunktionen.
Den andra termen i uttrycket för xp (t) representerar en oscillation 90◦ ur fas med den
pålagda kraften, och motsvarar en absorption
av energi från den pålagda kraften. χ00 kallas
därför för det dissipativa responset.
I det stationära tillståndet blir det arbete
som den pålagda kraften utför på oscillatorn under en liten tid dt, F (t)dx. För den
tillförda effekten får vi alltså
F (t)vp (t) =
×
h
(F0 )2
cos ωt
×
2
m (ω0 − ω 2 ) + (ωγ)2
i
−ω(ω02 − ω 2 ) sin ωt + ω 2 γ cos ωt
1
1
2
m ω0 − ω 2 + iωγ
I praktiken är vi intresserade av medeleffekten under en period. Medelvärdet under en
kallas
responsfunktionen,
eftersom period av de båda termerna ovan är
den beskriver hur systemet reagerar på den
1
< sin ωt cos ωt >= < sin 2ωt >= 0
pålagda yttre störningen. Vi observerar att
2
χ inte beror på den yttre kraften utan är en
och
karakteristisk storhet för systemet i detta fall
1
1
en harmonisk oscillator. Responsfunktionen
< cos2 ωt >= < 1 + cos 2ωt >=
2
2
kan uttryckas i en real- och en imaginärdel
Detta ger medeleffekten vilken tillförs oscillaχ(ω) = χ0 (ω) − iχ00 (ω)
torn av den yttre kraften
där
Pmed = < F (t)vp (t) >=
1
ω02 − ω 2
0
(F0 )2
ω2 γ
χ (ω) =
=
=
m (ω02 − ω 2 )2 + ω 2 γ 2
2m (ω02 − ω 2 ) + (ωγ)2
och
(F0 )2 00
=
ωχ (ω)
1
ωγ
2m
χ00 (ω) =
m (ω02 − ω 2 )2 + ω 2 γ 2
Den effekt vilken tillförs oscillatorn är i det
χ(ω) =
Den fysikaliska stationära lösningen får vi stationära tillståndet lika med den effekt
vilken förloras genom friktionen.
genom att ta realdelen av z
Effekten Pmed har ett maximum vid ω =
F0 (ω02 − ω 2 ) cos ωt
xp(t) = Rezp (t) =
+ ω0 . För liten dämpning γ ω0 kan uttrycket
m (ω02 − ω 2 )2 + ω 2 γ 2
för Pmed eller χ00 förenklas. I detta fall är Pmed
F0
ωγ sin ωt
stor endast då ω ≈ ω0 och kring ω0 kan vi få
+
=
m (ω02 − ω 2 )2 + ω 2 γ 2
en enkel formel. Med
F0 0
=
χ (ω) cos ωt + χ00 (ω) sin ωt
∆ω = ω − ω0
m
Harmoniska oscillatorn
10 – 5
där ∆ω ω0 kan vi skriva
(ω 2 − ω02 ) = (ω + ω0 )∆ω ≈ 2ω0 ∆ω
Sätter vi in att ω ≈ ω0 får vi alltså
Pmed =
(ZeE0 )2
γ
2m (∆ω)2 + γ 2
mäta, och ett centralt problem inom fysiken
är därför att beräkna denna. I en enkel modell antar vi att elektronskalet runt varje kärna
sitter i en harmonisk potential, och genom
växelverkan med övriga atomer påverkas av
en friktionskraft. Tillsammans med den yttre
kraften ger detta
mr̈ = −k r − bṙ − ZeE
Denna formel vilken kallas en Lorentz-kurva
ger en god approximation för Pmed nära resdär m betecknar skalets massa. Detta ger ekonansen vid ω = ω0 .
vationen
10.4
Dielektricitetskonstant
r̈ + γ ṙ + ω02 r = −
Ett viktigt fysikaliskt exempel på harmonisk
rörelse får vi om vi betraktar dielektricitetskonstanten för isolatorer. Låt ett elektriskt
oscillerande fält påverka en fast kropp vilken
är en isolator dvs inte leder elektrisk ström.
Varje atom i kroppen består av en kárna kring
vilken det finns ett moln eller skal av elektroner, och atomens totala laddning är noll.
För en isolator är elektronerna bundna till
atomen, och i ett elektriskt fält påverkas de
av en kraft
med γ = b/m och ω02 = k/m. Denna ekvation
han skrivas ut i komponentform i x−, y− och
z− led där
ẍ + γ ẋ + ω02 x = −
Ze
Ex
m
etc. Detta är åter ekvationen för en dämpad
harmonisk oscillator.
Den komplexa stationära lösningen kan
därför enligt ovan skrivas
rc
F = −ZeE = −ZeE 0 cos ωt
Ze
E
m
1
Ze
E 0 eiωt =
ω02 − ω 2 + iωγ m
Ze
1
= −
E
2
m ω0 − ω 2 + iωγ
= −
där Ze är kärnans laddning. Elektronerna
kring en atom får en förskjutning r relativt
den positivt laddade kärnan. Detta ger upp- Detta ger oss polarisationen
hov till en polarisering av atomen eller ett
nZ 2 e2
1
dipolmoment −Zer . Med totalt n atomer per
P = −nZer c =
E
2
m ω0 − ω 2 + iωγ
volymsenhet får vi en polarisering
och det totala fältet
P = −nZer
"
#
Det totala fältet består av det yttre fältet och
den inducerade polariseringen och ges av
ωp2
D = E + 4π P = 1 + 2
E
ω0 − ω 2 + iωγ
D = E + 4π P = E − 4πnZer
där ωp2 = 4πn(Ze)2 /m kallas plasmafrekvensen och alltså
Dielektricitetskonstanten
definieras som
för
mediet
D = (ω)E
och beror på det pålagda fältets frekvens
ω. Dielektricitetskonstanten kan man enkelt
(ω) = 1 +
ωp2
ω02 − ω 2 + iωγ
Dielektricitetskonstanten har en real- och en
imaginärdel
(ω) = 0 (ω) − i00 (ω)
Harmoniska oscillatorn
10 – 6
där
där det är en stark absorption av elektromagnetisk strålning. Därefter ökar 0 till ett för
ω02 − ω 2
0
2
höga frekvenser. Brytningsindex följer en lik (ω) = 1 + ωp 2
(ω0 − ω 2 )2 + (ωγ)2
nande kurva. Detta uppförande ser man t ex
i glaser vilka har en konstant dielektricitetoch
skonstant för små ω. I området för synligt
ωγ
00
2
ljus ökar brytningsindex med frekvensen, och
(ω) = ωp 2
(ω0 − ω 2 )2 + (ωγ)2
glas blir ogenomskinligt i det ultravioletta
området.
Liksom tidigare kan vi skriva den fysikaliska
En mer realistisk modell för ett dielektriskt
förskjutningen av elektronerna, dvs realdelen
medium får man om man antar att det finns
som
en fördelning %(Ω] av frekvenser i mediet. I
ZeE 0 0
detta fall får vi en komplex dielektricitetskonr p (t) = −
(ω) − 1 cos ωt −
2
stant vilken ges av
mωp
Z
ZeE 0 00
%(Ω)dΩ
−
(ω) sin ωt
2
(ω) = 1 +
mωp
2
Ω − ω 2 + iωγ
För små frekvenser ω ω0 är r 180◦ ur fas Med denna modell kan man få kvantitativ
med det pålagda fältet och för höga frekvenser överensstämmelse med experimentella resulω ω0 i fas. Detta följer av att
tat för 0 och 00 .
2
I praktiken mäter man real- och imaωp
0
ginärdel ur amplituden och fasskiftet för den
(ω) = 1 +
ω ω0
ω0
inducerade polarisationen. Vi inför dessa från
och
2
F0
ωp
x
(t)
=
A cos(ω0 t + φ)
0
p
(ω) = 1 −
ω ω0
m
ω
I ett dielektriskt medium med elektroner där
bundna med en elastisk kraft, kommer terω02 − ω 2
0 (ω) − 1
0
A
cos
φ
=
=
men proportionell mot ( − 1) att repre(ω02 − ω 2 )2 + (ωγ)2
ωp2
sentera en elektrisk polarisering proportionell
ωγ
00 (ω)
mot det pålagda oscillerande elektriska fältet, −A sin φ =
=
(ω02 − ω 2 )2 + (ωγ)2
ωp2
medan termen proportionell mot 00 representerar en absorption av energi från det elekdvs
triska fältet. 0 kallas för den reaktiva de"
#
"
#
len, och 00 för den dissipativa delen av . I
0 (ω) − 1 2
00 (ω) 2
A2 =
+
närheten av resonansfrekvensen ω0 , kommer
ωp2
ωp2
det dielektriska mediet att absorbera energi
och blir därför ogenomskinligt för elektromag- och
00
netisk strålning.
tan φ = − 0
(ω) − 1
Brytningsindex för elektromagnetiska
vågor är
√
n = 0
För små frekvenser är 0 konstant och större
än ett. 0 ökar när vi närmar oss ω0 och faller
sedan till ett värde mindre än ett runt ω ≈ ω0 ,
