Föreläsning 5: Geometri
•Geometri i skolan
•Grundläggande begrepp
•Former i omvärlden
•Plangeometriska figurer
•Symmetri och tessellering
•Tredimensionell geometri och geometriska kroppar
•Omkrets, area, volym
•Längdskala
•(enheter och enhetsomvandlingar)
”GEOMETRI” från grekiska: geo = "jord", metria = "mäta")
Varför undervisar vi i geometri?
3-K:
Kultur
Kommunikation
Kreativitet
Geometri, kultur och
kommunikation: Med vilka former
konstruerar människan sin fysiska
värld? Med vilka begrepp kan den
fysiska världens former beskrivas?
Vilka är relationerna mellan
begreppen?
Bron mellan Replot och fastlandet
Bro över Zambezi-floden
Cameroon, västra Central-Afrika
Former i vardagen
Rektangel
Cirkel
Rätblock
Cylinder
Kvadrat
Former i naturen?
A. Plangeometri (planimetri)
Behandlar geometriska egenskaper hos figurer i två dimensioner
dvs. i ett plan
1. Punkt, sträcka, linje, stråle, normal
2. Polygoner (månghörningar); Omkrets. Area.
3. Vinklar; Bisektris. Vinkelsumma i triangel och fyrhörning
4. Cirkeln; radie, diameter, omkrets (periferi), korda, medelpunkt,
tangent, sekant, sektor
5. Kongruens. Avbildning.
6. Symmetri. Mönster. Tessellering.
7. Koordinatsystem. Koordinataxlar. Spegling i axlar.
Koordinater.
8. Likformighet; Skala (längdskala)
9. Omkrets och area av oregelbundna figurer
5. Kongruens och avbildning
I kongruenta figurer är sträckor, areor och vinklar lika
stora. De har samma form (likformiga) och samma
storlek .
Avbildning (ändring) i skala 1:1 ger kongruenta
figurer (symmetriska)
- spegling i linje och i punkt
- vridning
- parallellförskjutning
Spegling i en linje (reflektion)
Motsvarande punkters
vinkelräta avstånd till linjen
är lika
Vridning (rotation) kring en punkt
fixpunkt
Spegling i en punkt då
vridningen är 180°
Alla punkter i
figuren vrids lika
mycket runt en
fixpunkt
Parallellförskjutning (translation):
Alla punkter i figuren
flyttas lika långt i
samma riktning
6. Symmetri. Mönster. Tessellering
Mönster med symmetri är upprepning av
kongruenta figurer, bilden kan inte urskiljas från
originalet.
Symmetrilinjer
Höger och vänster halva är
varandras spegelbilder
(Jämför: Palindromiska tal ex. 1991; palindromiska ord och texter ex. oro)
Tessellering
När samma figur upprepas så att ett heltäckande mönster bildas.
Figuren tessellerar.
Exempel på tesselleringar:
4* 90° = 360°
6*60°=360°
Vid plana
tesselleringar 360° i
mötespunkterna
3*120°=360°
Tessellering med
en sk pentominobit
Arabiskt mönster
Escher 1
Escher 2
Escher 3
8. Likformighet och skala
Längdskala. Kartskalor
Förstoring. Förminskning
Rita i skala. Figurerna likformiga: har samma form
Skalan anges som
förhållandet mellan bild och
verklighet.
2
1
3
Orienteringskartans
skala 1 : 15 000
Sträckan motsvarar 360 km i verkligheten
Skalan? Kortaste avståndet Utsjoki –
Helsingfors?
1cm ? 7 cm? i
verkligheten? Hur
lång är banan fågelvägen?
B. Rymdgeometri (stereometri)
Behandlar geometriska egenskaper hos
geometriska kroppar
10. Polyedrar (sidoytorna är månghörningar).
Prisma. Rätblock. Kub. Pyramid.
11. De fem platonska kropparna (regelbundna
polyedrar):
Tetraeder. Kub (Hexader). Oktaeder. Dodekaeder.
Ikosaeder.
12. Cylinder. Kon. Klot.
13. Avbildningar. Perspektivritning
14. Volym
10. Polyeder
Är en geometrisk kropp som begränsas av ett ändligt antal
månghörningar som kallas sidoytor.
Hos rätblock, kub, prisma och pyramid brukar man skilja mellan
basyta och sidoytor.
11. Platonska kropparna
Är regelbundna polyedrar: sidoytorna är kongruenta regelbundna
månghörningar
Dodekaedern
Tetraedern
Kuben; Hexaedern
Oktaedern
Ikosaedern
Antal sidoytor:
Sidoytorna
begränsas av
regelbundna:
Liksidig pyramid; Tetraeder
4
trianglar
Kub; Hexaeder
6
kvadrater
Oktaeder
8
trianglar
Dodekaeder
12
femhörningar
Ikosaeder
20
trianglar
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Tetrahedron.gif
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/48/Hexahedron.gif
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Octahedron.gif
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Dodecahedron.
gif
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Icosahedron.gif
Varför finns inte fler än dessa fem??
Några väsentliga lärandemål för längd, omkrets, area och
volym
Eleverna skall kunna:
•skilja mellan begreppen längd, omkrets, område, yta, area och volym
• uppskatta och mäta längd
•uppskatta och beräkna både omkrets och area av följande typer av områden:
trianglar och fyrhörningar (kvadrat, romb, rektangel, parallellogram)
•uppskatta och beräkna både begränsningsarea och volym för rätblock och
(specialfallet) kub
•skilja mellan längdenhet, areaenhet och volymenhet, klara av enhetsbyten med
dessa enheter samt välja lämpliga enheter
Läraren bör begrunda
•Vilka är nödvändiga färdigheter och aritmetiska förkunskaper?
•Vad är relevanta tillämpningar?
•Vilken är relationen mellan skolgeometrin och elevernas vardag och
kulturella miljö?
•Valet av arbetssätt
ENHETER
SI-enheter (Système International d’Unités).
Totalt sju grundenheter varav meter, kilogram och sekund
ingår i F-6.
Storheter
Enheter
Längd:
mil, km, (hm, dam), m, dm, cm, mm
Area:
km2, ha, a, m2, dm2, cm2, mm2
Volym:
m3, dm3, cm3, mm3
Massa:
t, kg, hg, (dag), g, (dg, cg), mg
Tid:
a, mån, d, h, min, s
(kl), hl, (dal), l, dl, cl, ml
Viktigt att kunna:
mätredskap
olika enheter
samband mellan enheter; relationstal, enhetsbyten
uppskattningar; tillämpningar
Gamla enheter:
Kroppsenheter; famn, fot, tum, aln, spann
1 famn = 3 alnar = 1,781 m
1 fot = 12 tum = 29,69 cm
1 tum = 2, 54 cm
1 spann = 1/4 aln = 148,4505 mm.
1 tunnland = 4936,5 m2
Anglosaxiska enheter: inch, foot, mile, ounce, pound ....
