2
Problemsamling 4
Lösningsförslag,
problemsamling 4
| i ekvationen 9 x + 3 y +
1
20
H-x - y + 1000L ! 1000, dvs.
179 x
20
+
59 y
20
+ 50 ! 1000.
Efter förenkling fås
179 x + 59 y ! 19 000
EFtersom SGDH179, 59L = 1 följer | av känd sats | att vi kan skriva 1 som en lineär
kombination av 179 och 59. Gör det! Man får …
1. Ekvationen 45 x + 39 y ! 0 kan skrivas
!
4. Problemtexten utmynnar | givet att antalet elefanter och hästar representeras av x, y
179 ÿ H-29L + 59 ÿ 88 ! 1.
3 ÿ 5 x = -13 y
Det tal som vänster- och högerled beskriver har enligt FUNDAMENTALSATSEN unika
primtal i sin primtalsfaktorisering. Därför måste vänsterledets primtalsprodukt 3 ÿ 5
dyka upp inuti högerledets y. På motsvarande sätt måste högerledets primtalsfaktor 13
finnas inuti vänsterledets x.
Således måste x ! 13 m och y ! 15 n, för några val av hela tal m, n.
Av detta följer (efter insättning i ekvationen !) att 15 ÿ 13 m = -13 ÿ 15 n. Efter
förkortning kan vi konstatera att m = -n.
Alltså, om Hx, yL är heltalslösningar till den givna ekvationen måste Hx, yL = H-13 n, 15 nL
för något heltal n.
Omvänt, om Hx, yL = H-13 n, 15 nL för något heltal n, så ser man (kontrollen detta själv)
att den givna ekvationens vänsterled blir lika med noll.
Efter multiplikation i båda leden med 19000 erhålls likheten
179 ÿ H-29 ÿ 19 000L + 59 ÿ H88 ÿ 19 000L ! 19 000
Därmed har vi hittat en lösning till 179 x + 59 y ! 19 000, nämligen
Hx0 , y0 L = H-29 ÿ 19 000, 88 ÿ 19 000L = H-551 000, 1 672 000L
Samtliga lösningar ges nu av
Hx, yL ! Hx0 , y0 L + H59 n, -179 nL = H-551 000 + 59 n, 1 672 000 - 179 nL
Emellertid är vi enbart intresserade av ickenegativa lösningar.
Dvs sådana att -551 000 + 59 n ¥ 0 och 1 672 000 - 179 n ¥ 0. Detta leder till att
551 000
59
<n<
1 672 000
.
179
Eftersom n skall vara ett heltal följer att n = 9339 eller n = 9340.
Alltså, antalet elefanter, hästar och lamm blir lika med
1, 319, 680 eller 60, 140, 800.
Alltså, samtliga lösningar ges av Hx, yL = H-13 n, 15 nL, där n œ !.
2. Problemet kan omformuleras sålunda: för vilka heltal n finns det heltal x och y
sådana att 1212 x + 666 y = n? Eftersom SGDH1212, 666L = 6, är svaret att ekvationen är
lösbar precis när 6 \n. Det givna uttrycket antar således värdena 86 k, k œ !<.
Eftersom SGDH1212, 666L = 6, följer att lösning existerar omm 2121 + n är delbart med
6. Det minsta positiva n:et för vilket detta inträffar är n = 3. Se tabellen:
n
1 2 3
Hn + 2121L mod 6 4 5 0
5. (a) Funktionen som avbildar x + Â y på det reella talparet Hx, yL: "
en bijektion från " till #2 .
x + Â y # Hx,yL
Min bijektion från #2 till # är mer invecklad. Den avbildar varje reellt talpar
Hx, yL = I… a-1 a0 .a1 a2 … , … b-1 b0 .b1 b2 …M på det reella tal som fås då man
omväxlande tar tecken från x och från y:
H… a-1 a0 .a1 a2 … , … b-1 b0 .b1 b2 …L # … a-1 b-1 a0 b0 .a1 b1 a2 b2 …
#2
#.
T.ex. avbildas H3.14, 15.2345L = H03.1400, 15.2345L på 0135.12430405 … = 135.12430405.
1
x #x
3. Man ser direkt att Hx0 , y0 L = H3, -1L är en lösning.
(b) H0, 1L
Eftersom 10, 23 saknar gemensamma delare >1 följer på gängse sätt att samtliga
lösningar ges av
Hx, yL = Hx0 , y0 L + nH23, -10L = Hx0 + 23 n, y0 - 10 nL = H3 + 23 n, -1 - 10 nL, n œ !.
(c) Betrakta först den uppräkneliga delmängden
M.a.o.
n œ ! Ï x ! 23 n + 3 Ï y ! -10 n - 1
A
4. Problemtexten utmynnar | givet att antalet elefanter och hästar representeras av x, y
| i ekvationen 9 x + 3 y +
1
20
H-x - y + 1000L ! 1000, dvs.
179 x
20
+
59 y
20
+ 50 ! 1000.
Efter förenkling fås
179 x + 59 y ! 19 000
EFtersom SGDH179, 59L = 1 följer | av känd sats | att vi kan skriva 1 som en lineär
kombination av 179 och 59. Gör det! Man får …
#2 är
n
A = :1 - J 1 N
2
1 n
H1, ¶L
n ¥ 0> = :0, 1 , 3 , 7 , 15 , …> av intervallet @0, 1D, och bijektionen
2
1 n+1
1-J 2 N # 1-J 2 N
A \ 80<, dvs.
4
8
16
3
Problemsamling 4
A ö A\80<
0
1
2
3
4
1
2
3
4
7
8
#
#
#
7
8
#
15
16
15
16
#
31
32
ª
Denna bijektion kan utökas till en bijektion @0, 1DöH0, 1D med hjälp av identiteten på
@0, 1D \ A. Se figuren nedanför, där linjestyckena representerar identitetsfunktionen, och
punkterna representerar den förstnämnda bijektionen
1
2
0
1
3
7 15
2
4
8 16
