Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet
B
e3
e2
A
e1
C
Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e1 , e2 , e3 och v och som
har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π genom A parallellt med e1 och
e2 . Om v, som representeras av den riktade sträckan från A till B, skall kunna skrivas
som summan av en vektor i planet Π och en vektor parallell med e3 så måste C vara
skärningspunkten mellan Π och en linje genom B parallell med e3 . Då är v = u + w
där u går från A till B och w från B till C. Eftersom u är parallell med planet som
spänns upp av e1 och e2 så kan vi på precis ett sätt skriva u = x1 e1 + x2 e2 . Vidare
är w parallell med e3 och det medför att w = x3 e3 . Alltså är v = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3
och det finns bara en sådan framställning.
precis ett sätt skrivas
v = x1 e1 + x2 e2
där x1 och x2 är reella tal. Vi kallar (x1 , x2 ) för koordinaterna för
v i (e1 , e2 ).
• Om e1 , e2 och e3 är tre vektorer i rummet som inte ligger i samma
plan så är (e1 , e2 , e3 ) en bas i rummet. Varje vektor v kan på precis
ett sätt skrivas
v = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 .
Vi kallar (x1 , x2 , x3 ) för koordinaterna för v i (e1 , e2 , e3 ).
Vi illusterar nu de nya begreppen med några exempel.
Exempel 4
−−→
Låt ABC vara en triangel i ett plan Π. Se figur 3.17. Vektorerna e1 = AB
−→
och e2 = AC är inte parallella och utgör därför en bas i Π. Vi vill beräkna
−−→ −−→
−→
koordinaterna för BC, AA! och AT där A! är mittpunkten på BC och
där T är triangeln ABC:s tyngdpunkt. Vi har
−−→ −→ −−→
BC = AC − AB = e2 − e1 = −e1 + e2
90
c Författaren och Studentlitteratur
!
3.3 Bas, koordinatsystem och koordinater
C
e2
A!
T
A
e1
B
Figur 3.17
−−→
och alltså är BC:s koordinater (−1, 1). Vidare är enligt exempel 1
−−→!
1 −−→ −→
1
1
AA = (AB + AC) = e1 + e2
2
2
2
−−→!
vilket betyder att AA har koordinaterna (1/2, 1/2). Slutligen ger exempel 2 om vi låter O vara hörnet A att
1
1
1
−→ 1 −→ −−→ −→
AT = (AA + AB + AC) = (0 + e1 + e2 ) = e1 + e2
3
3
3
3
och denna vektor har alltså koordinaterna (1/3, 1/3).
♦
Exempel 5
−−→
−→
−−→
Om ABCD är en tetraeder så är e1 = AB , e2 = AC och e3 = AD en
−
−
→
−−→
bas i rummet. Vi skall beräkna koordinaterna för sidan BC, för AA! och
D
C
A!
T
A
B
Figur 3.18
−→
för AT där A! är tyngdpunkten i den triangel som står mot hörnet A
och där T är tetraederns tyngdpunkt. Vi har
−−→ −→ −−→
BC = AC − AB = −e1 + e2 + 0 · e3
−−→
och alltså har BC koordinaterna (−1, 1, 0).
−−→
För att bestämma koordinaterna AA! för använder vi den formel för
triangelns tyngdpunkt som vi härledde i exempel 2. Om vi sätter O i
c Författaren och Studentlitteratur
!
91
8
3.5 Basbyte
3.5
Basbyte
Koordinaterna för en vektor beror naturligtvis på den bas vi använder.
Olika baser ger olika koordinater för samma vektor. För vissa ändamål
kan det vara naturligt att använda en bas och för andra en annan. Vi
ger ett exempel.
Exempel 10
Under början av 1600-talet studerade Galileo Galilei accelerad rörelse
och använde sig då av ett lutande plan. Hans studier låg sedan till grund
för Newtons lagar om sambanden mellan kraft och acceleration. Den
andra lagen säger att kraften är lika med produkten av massan och
accelerationen. Krafter och accelerationer representeras av vektorer och
vi analyserar i detta exempel rörelsen längs ett lutande plan med hjälp
av Newtons andra lag.
n
e2
f2
e1
f1
v
Figur 3.20
Vi antar alltså att en kropp befinner sig på ett lutande plan och att
planets lutning är 5:12. Se figur 3.20. De krafter som verkar på kroppen
är dels tyngdkraften som verkar lodrätt och dels en normalkraft som
är vinkelrät mot planet. Vi antar för enkelhets skull att friktionen är
försumbar. Om kroppens massa är 1 kg så är tyngdkraftens storlek g
Newton där g är tyngdaccelerationen. Tyngdkraften representeras alltså
av en vektor v som har längden g och som är riktad nedåt. Det är naturligt att införa en bas (e1 , e2 ) där vektorn e1 är riktad vågrätt åt höger i
figuren och e2 är riktad rakt uppåt. Vi antar att båda basvektorerna har
längden 1. I denna bas har tyngdkraften v koordinaterna (0, −g). Om
vi vill studera den accelererade rörelsen som åstadkoms av tyngdkraften
kan det emellertid vara praktiskt att införa en annan bas (f1 , f2 ) fär f1
är riktad längs det lutande planet i rörelseriktningen och f2 är riktad
c Författaren och Studentlitteratur
!
99
Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet
snett uppåt vinkelrät mot planet. Vi antar att |f1 | = |f2 | = 1.
Att lutningen är 5:12 innebär att om vi från en punkt på planet
går fem enheter nedåt och tolv enheter åt höger så kommer vi till en
ny punkt på planet. Se figur 3.21. Vektorn u1 = −5e2 + 12e1 har alltså
5 enheter
12 enheter
Figur 3.21
samma riktning som f1 . Enligt Pythagoras sats är |u1 | =
och eftersom |f1 | = 1 så är
f1 =
√
52 + 122 = 13
1
12
5
u1 =
e1 − e2 .
13
13
13
Om vi vrider figuren 90o så ser vi på samma sätt som ovan att u2 =
12e2 + 5e1 har samma riktning som f2 . Läsaren kan själv rita en figur.
Vi får
5
12
f2 =
e1 + e2 .
13
13
Sambandet mellan baserna är alltså
5
− 13
e2
f1 = 12
13 e1
f2
=
5
13 e1
+
12
13 e2 .
Vi kan också som i ett vanligt ekvationssystem lösa ut e1 och e2 uttryckta
i f1 och f2 och får
12
5
+ 13
f2
e1 =
13 f1
(3.1)
5
e2 = − 13
f1 + 12
f
.
13 2
Alltså är
5g
12g
f1 −
f2 .
13
13
Den del av tyngdkraften som verkar utmed planet är alltså (5g/13)f1
och det är den kraften som ger upphov till kroppens acceleration när
den glider nerför planet. Accelerationen är då enligt Newtons andra lag
lika med 5g/13. Den del av tyngdkraften som är riktad vinkelrätt mot
v = −ge2 =
100
c Författaren och Studentlitteratur
!
3.5 Basbyte
planet är lika med −(12g/13)f2 och den uppvägs av normalkraften n.
Alltså är
12g
n=
f2 .
13
Antag nu att vi applicerar en kraft F på kroppen och att vektorn F är
given genom sina koordinater i någon av de båda baserna t.ex. i (e1 , e2 ).
Då kan vi lätt bestämma F :s koordinater i den andra basen (f1 , f2 )
genom att utnyttja sambandet (3.1). Om F har koordinaterna (x1 , x2 ) i
basen (e1 , e2 ) dvs om
F = x1 e1 + x2 e2
så kan vi bestämma koordinaterna för F i basen (f1 , f2 ) genom följande
enkla räkning:
F
= x1 e1 + x2 e2
12
5
5
12
= x1 ( f1 + f2 ) + x2 (− f1 + f2 )
13
13
13
13
12
5
5
12
= ( x1 − x2 )f1 + ( x1 + x2 )f2 .
13
13
13
13
Koordinaterna för F i basen (f1 , f2 ) är alltså lika med
(
12
5
5
12
x1 − x2 , x1 + x2 ).
13
13
13
13
♦
Vi ger ytterligare ett exempel.
Exempel 11
Två vektorer f1 och f2 har koordinaterna (1, 1) respektive (−1, 2) i basen (e1 .e2 ). Eftersom de uppenbarligen inte är parallella så utgör de en
bas för planet. Vektorn u har koordinaterna (2, 3) i basen (e1 .e2 ). Vilka
koordinater har den i basen (f1 .f2 )?
Läsaren kan själv rita en figur med de båda baserna och den givna
vektorn. Problemet löses enkelt genom en rent algebraisk räkning.
Enligt förutsättningarna är
$
f1 =
e1 + e2
f2 = −e1 + 2e2
och eftersom u har koordinaterna (2, 3) i basen (e1 .e2 ) gäller
u = 2e1 + 3e2 .
c Författaren och Studentlitteratur
!
101
Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet
Vi vill uttrycka u som en linjärkombination av f1 och f2 och löser därför
ut e1 och e2 uttryckta i f1 och f2 . Vi får då efter några räkningar att
e1 = 23 f1 − 13 f2
som medför att
e2
=
1
3 f1
+
1
3 f2
2
1
1
1
7
1
u = 2e1 + 3e2 = 2( f1 − f2 ) + 3( f1 + f2 ) = f1 + f2 .
3
3
3
3
3
3
Vektorn u har alltså koordinaterna (7/3, 1/3) i basen (f1 , f2 ).
Antag nu att v är en vektor med koordinaterna (x1 , x2 ) i basen
(e1 , e2 ) och koordinaterna (y1 , y2 ) i basen (f1 , f2 ). Då gäller
2
1
1
1
= x1 ( f1 − f2 ) + x2 ( f1 + f2 )
3
3
3
3
2
1
1
1
= ( x1 + x2 )f1 + (− x1 + x2 )f2
3
3
3
3
v = x1 e1 + x2 e2
och eftersom koordinaterna är entydigt bestämda av vektorn får vi
2
1
y1 =
3 x1 + 3 x2
y2
= − 13 x1 + 13 x2
som ger sambandet mellan koordinaterna för en godtycklig vektor i de
båda baserna.
♦
Vi övergår nu till att studera det generella sambandet mellan koordinaterna för samma vektor u i två olika baser (e1 , e2 ) och (f1 , f2 ) i planet.
Sambandet mellan de båda baserna ges av
$
f1 = t11 e1 + t21 e2
f2 = t12 e1 + t22 e2
där koefficienterna t11 , t12 , t21 och t22 är kända. Observera numreringen
av koefficienterna. Vi har valt den så att sambandet mellan koordinaterna
skall ges av matrisen (tik ). Om u har koordinaterna (x1 , x2 ) och (y1 , y2 )
i (e1 , e2 ) respektive (f1 , f2 ) så är
u = x1 e1 + x2 e2 = y1 f1 + y2 f2 .
Genom att utnyttja sambandet mellan baserna får vi
u = y1 f1 + y2 f2
102
= y1 (t11 e1 + t21 e2 ) + y2 (t12 e1 + t22 e2 )
= (t11 y1 + t12 y2 )e1 + (t21 y1 + t22 y2 )e2
c Författaren och Studentlitteratur
!
3.5 Basbyte
och eftersom koordinaterna för u är entydigt bestämda av basen så är
$
x1 = t11 y1 + t12 y2
x2 = t21 y1 + t22 y2 .
Om vi istället vill uttrycka y1 och y2 i x1 och x2 så kan vi lösa ekvationssystemet ovan där t11 , t12 , t21 och t22 är kända tal.
Vi övergår nu till att betrakta två godtyckliga baser (e1 , e2 , e3 ) och
(f1 , f2 , f3 ) i rummet och vi antar att sambandet mellan dem ges av
f1 = t11 e1 + t21 e2 + t31 e3
f2 = t12 e1 + t22 e2 + t32 e3
f3 = t13 e1 + t23 e2 + t33 e3
Vi har numrerat koefficienterna tij så att sambandet mellan koordinaterna i slutändan ges av matrisen T = (tij ).
Antag nu att vektorn u har koordinaterna (x1 , x2 , x3 ) och (y1 , y2 , y3 ) i
baserna (e1 , e2 , e3 ) respektive (f1 , f2 , f3 ). Vi kan utföra samma räkningar
som i planet för att få ett samband mellan (x1 , x2 , x3 ) och (y1 , y2 , y3 ).
Framställningen blir emellertid mer överskådlig om använder vi oss av
matriser. Vi inför radmatriserna
%
&
%
&
e = e1 e2 e3 )
och f = f1 f2 f3 )
och kan då skriva sambandet mellan basvektorerna
f = eT.
Vi inför också kolonnmatriserna
x1
Xe = x2 och
x3
y1
Yf = y2
y3 .
där index påminner om den bas koordinaterna hänförs till. Då är
u = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 = e1 x1 + e2 x2 + e3 x3 = eXe .
Vi tar oss friheten att skriva e1 x1 istället för x1 e1 och observerar att
elementen i matrisen e är vektorer och inte tal. Matrismultiplikationen
beräknas formellt på samma sätt. Naturligtvis har vi också att
u = y1 f1 + y2 f2 + y3 f3 = f Yf .
Kombinerar vi nu matrisekvationerna u = eXe , u = f Yf och f = eT får
vi
eXe = u = f Yf = (eT )Yf = e(T Yf )
c Författaren och Studentlitteratur
!
103
Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet
och eftersom koordinaterna för u är entydigt bestämda av basen så är
Xe = T Yf .
Om vi istället vill uttrycka Yf i Xe så beräknar vi inversen T −1 och får
Yf = T −1 Xe .
Vi skall senare visa att T alltid är inverterbar om den som ovan definieras genom sambandet mellan två baser. Vi kan sammanfattningsvis
formulera följande sats:
Sats 3.5. Basbyte
Antag att (e1 , e2 , e3 ) och (f1 , f2 , f3 ) är två baser i rummet. Antag vidare
att sambandet mellan baserna ges av
f = eT
där T är en 3 × 3-matris samt e = (e1 , e2 , e3 ) och f = (f1 , f2 , f3 ) är
radmatriser. Då gäller att
Xe = T Yf
där Xe och Yf är kolonnmatriser vars element är koordinaterna i baserna
(e1 , e2 , e3 ) respektive (f1 , f2 , f3 ) .
Övning
3.13. a) Vektorn u har koordinaterna (1, 2) i basen (e1 , e2 ). Bestäm koordinaterna i basen (f1 , f2 ) om f1 = e1 + e2 och f2 = e1 − e2 .
b) Vektorn u har koordinaterna (1, 2) i basen (f1 , f2 ). Bestäm koordinaterna i basen (e1 , e2 ) om f1 = e1 + e2 och f2 = e1 − e2 .
c) Vektorn u har koordinaterna (x1 , x2 ) i basen (e1 , e2 ). Bestäm koordinaterna i basen (f1 , f2 ) om f1 = e1 + e2 och f2 = e1 − e2 .
d) Vektorn u har koordinaterna (1, 2, 3) i basen (e1 , e2 , e3 ). Bestäm koordinaterna i basen (f1 , f2 , f3 ) om f1 = e2 +e3 , f2 = e1 +e3 och f3 = e1 +e2 .
e) Vektorn u har koordinaterna (x1 , x2 , x3 ) i basen (e1 , e2 , e3 ). Bestäm
koordinaterna i basen (f1 , f2 , f3 ) om f1 = e2 + e3 , f2 = e1 + e3 och
f3 = e1 + e2 .
Blandade övningar på kapitel 3
3.14. Visa att om u, v och w är tre icke-parallella vektorer sådana att
u + v + w = 0 så bildar de tre vektorerna en triangel.
104
c Författaren och Studentlitteratur
!
