LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
TENTAMENSSKRIVNING
LINJÄR ALGEBRA
2016-01-11 kl 8–13
INGA HJÄLPMEDEL.
Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Alla koordinatsystem får antas
vara ortonormerade och positivt orienterade om inget annat anges.
1. Bestäm, för varje värde på a, antalet lösningar till ekvationssystemet
x + y + az = 1
2x + ay + 4z = 2 .
4x + 5y + 2az = 4
2. Betrakta punkterna P1 : (1, 1, 1), P2 : (2, 3, 4), P3 : (5, 6, 7) och P4 : (4, 1, 4).
a) Bestäm arean av triangeln med hörn i P1 , P2 och P3 .
(0.2)
b) Bestäm en ekvation på affin form för planet genom P1 , P2 och P3 .
(0.2)
c) Bestäm volymen av tetraedern med hörn i P1 , P2 , P3 och P4 . (Volymen av en tetraeder
är en sjättedel av volymen av motsvarande parallellepiped.)
(0.2)
d) Från P4 dras en höjd till tetraedern i c), dvs. en linje vinkelrät mot planet i b). I vilken
punkt träffar denna höjd planet?
(0.4)
3. Låt e1 , e2 vara en bas i planet, och inför nya vektorer e01 , e02 genom
(
e01 = 2e1 − e2 ,
e02 = e1 + e2 .
Visa att också e01 , e02 är en bas i planet. Bestäm koordinaterna med avseende på basen e01 , e02
för den vektor som i basen e1 , e2 har koordinaterna (1, 2). Bestäm även koordinaterna med
avseende på basen e1 , e2 för den vektor som i basen e01 , e02 har koordinaterna (1, 2).
4. På denna uppgift skall endast svar ges. Ange vilka av påståendena nedan som är sanna
respektive falska. Varje rätt svar ger 0.2 poäng, varje fel svar ger −0.2 poäng och varje
uteblivet svar ger 0.0 poäng. (Du kan dock inte få negativ poäng totalt på uppgiften)
a) För alla n × n -matriser A och B gäller det att (A + B)T = AT + B T .
b) För alla inverterbara n × n -matriser A och B gäller det att (A + B)−1 = A−1 + B −1 .
c) Om det för 3 × 3 -matrisen A gäller att rang A = 3 så är A inverterbar.
d) Om kolonnvektorerna i en 3×4-matris spänner upp R3 så är dessa kolonnvektorer linjärt
oberoende.
e) Låt A vara en kvadratisk matris. Om ekvationssystemet AX = Y är lösbart för alla Y
så har detta system entydig lösning för alla Y .
Var god vänd!
5. Vektorerna i rummet projiceras först ortogonalt på xz-planet, varefter de vrides π2 radianer
kring z-axeln, i positiv led sett från spetsen av z-axeln. Bestäm matrisen A för denna sammansatta avbildning F . Bestäm rang och nolldimension för A, samt en bas för nollrummet.
Ange slutligen värdemängden till F .
6. Låt
2 −1 −1
A = −1 2 −1 .
−1 −1 2
a) Bestäm alla egenvärden och egenvektorer till A.
(0.3)
b) Diagonalisera A, dvs. ange en inverterbar matris S och en diagonalmatris D sådana att
S −1 AS = D. Välj här, om det är möjligt, S som ortogonal matris.
(0.3)
c) Antag att matrisen B har en ortogonal bas av egenvektorer. Visa att B TB = BB T . (0.4)
LYCKA TILL!
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
SVAR
LINJÄR ALGEBRA
2016-01-11
1. Då a = 1 eller a = 2 finns oändligt många lösningar. Då a 6= 1 och a 6= 2 finns en
lösning.
2. a) Arean är
√
3 6
.
2
b) En ekvation är x − 2y + z = 0.
c) Volymen är 3.
d) Punkten (3, 3, 3).
0
0
3. Koordinaterna med avseende på
basen e1 , e2 för den vektor som i basen e1 , e2 har
1 5
koordinaterna (1, 2) är − 3 , 3 . Koordinaterna med avseende på basen e1 , e2 för
den vektor som i basen e01 , e02 har koordinaterna (1, 2) är (4, 1).
4. a) Sant.
b) Falskt.
c) Sant.
d) Falskt.
e) Sant.
5. Avbildningsmatriserna för projektionen och vridningen blir
1 0 0
0 −1 0
0 0 .
respektive
V = 1
P = 0 0 0
0 0 1
0
0 1
Matrisen för den sammansatta avbildningen
0
A=VP =1
0
F blir således
0 0
0 0 .
0 1
Här gäller det att rang A = 2, nolldim A = 1, och bas för nollrummet är vektorn
(0, 1, 0). Värdemängden till F blir planet x = 0, dvs. yz-planet.
6. a) a) Egenvektorer X = t(1, 1, 1), t 6= 0, till egenvärdet λ = 0, och alla X 6= 0 i
planet x + y + z = 0, till egenvärdet λ = 3.
1
√
√1
√1
0 0 0
3
2
6
b) Exempelvis S = √13 − √12 √16 (ortogonal) och D = 0 3 0 .
√1
0 0 3
0
− √26
3
