En liten introduktion till
ELEKTRISKA KRETSAR
Patrik Eriksson 2005
Longum iter est per praecepta,
breve et efficax per exempla
Vägen görs lång genom regler,
kort och effektiv genom exempel.
/Seneca Philosophus, Epistulae
GRUNDBEGREPP
Spänning
Vi tänker oss att den neutrala fördelningen av fria elektroner i ett material omgrupperas. Vi får ett område
med överskott och ett område med underskott av elektroner. För att denna förflyttning skall ske krävs att
någon form av arbete uträttas. Eftersom elektronerna strävar att åter inta neutral fördelning måste någon
form av verkan finnas mellan dessa bägge områden. Detta kallar vi potentialskillnad eller elektrisk spänning.
(Betecknas U)
Definition:
Om arbetet W uträttas då laddningen Q förflyttas från punkt A till B är spänningen mellan A och B:
U =
W
Q
U =
Nm
= Volt
As
As = Ampèresekund = 1 Coloumb.
En laddning på 1C som kräver arbetet 1Nm för att förflyttas från A till B ger spänningen 1 Volt mellan
punkterna A och B.
Den elektriska spänningen kan jämföras med begreppet lägesenergi inom mekaniken.
Anordningar, sådana att de mellan två områden, poler, kan skapa och vidmakthålla ett visst konstant överresp. underskott av laddningar, kallas strömkällor. Ett exempel härpå är ett vanligt ficklampsbatteri.
Ström
Om vi så ansluter en elektrisk ledare mellan den nyligen nämnda strömkällans poler kommer spänningen,
dvs laddningsöverskottet vid den ena polen att skapa en ström av laddning ut i ledaren, mot den andra
polen, strävande efter att skapa en så jämn laddningsfördelning som möjligt.
Begreppet elektrisk ström (Betecknas I) är ett mått på den laddningsmängd som förflyttas, och med vilken
hastighet detta sker.
Definition:
I =
Q
t
I=
As
= Ampère
t
Ampèresekund = 1 Coloumb
En laddning på 1C som passerar ett tvärsnitt av ledaren på tiden t = 1s. ger upphov till strömmen
1Ampère. (Därav begreppet As = Amperesekund)
Analogt med t.ex. ett vattenflöde kan man uttrycka det som så att spänningen är trycket, strömmen är mängden
Beroende och oberoende källor
En ideal källa skulle vara kapabel att leverera hur stor ström som helst och ändå hålla polspänningen
konstant. I praktiken fungerar inte detta, eftersom varje källa är underställd den hårda verklighetens
(DHVTM) fysiska begränsningar.
En källa, låt vara ett batteri eller laboratorieaggregat, kan betraktas som en spänningskälla E och en inre
resistans Ri.
Ju bättre källa, desto mindre är Ri. Vid obelastad källa går ingen ström genom kretsen, spänningsfallet över
Ri är noll, och spänningen ut på källans poler är lika med E. Men när strömkällan belastas med RL, och
kretsen sluts går en ström genom både Ri och RL. Vi får en potentialförändring utmed kretsen allt enligt
Kirchoff II (Kirschoffs spänningslag / KVL). Sålunda kommer spänningen över källans poler, och därmed också
lasten, att sjunka omvänt mot strömmen.
UL = U0 – IL * Ri
Tomgångsspänningen = E
I praktiken använder man sig av spänningsregulatorer i bl.a. laboratorieströmkällorna, vilka är en aktiv krets
som justerar spänningen till att hålla sig konstant oberoende av strömuttaget (inom rimliga och
specificerade gränser).
Resistans
Då laddningar vandrar från en pol till en annan i en sluten krets sker en energiomvandling. Laddningarna
kolliderar med atomerna i ledaren, vilket ger upphov till en energiförlust. Den i strömkällan upplagrade
energin i form av potential omsätts i ledaren till värme.
Antalet fria elektroner varierar mellan olika material, och om antalet är litet innebär detta en liten ström.
Liten tillgång på fria elektroner innebär ett hinder för strömmen, och detta hinder kallar vi resistans.
(Beteckning R)
Definition:
R =
U
I
R=
V
= Ω
A
V = spänningen i Volt
A = strömmen i Ampère
Ω = resistansen i Ohm
En ström på 1 Ampère i en ledare ansluten till en spänning 1 Volt ger en resistans i ledaren på 1 Ohm.
Schemasymboler för resistans, samt variabel resistans. (potentiometer)
Ohms Lag
R =
U
I
Detta är ellärans absolut viktigaste lag!
Förutsatt att resistansen är konstant för en given ledare är förhållandet mellan spänning och ström
proportionellt. Om spänningen över ett visst motstånd ökar till det dubbla ökar sålunda strömmen också till
det dubbla.
Förr eller senare kommer ni att råka på begreppet impedans, vilket också är besläktat med resistans (resistans
ingår i impedansbegreppet), men det räknar man med i det mer allmänna fallet där vi har varierande
strömmar; växelström.
Kirchoffs spänningslag
(Kirschoff II / KVL)
Denna kallas även Kirchoffs andra lag.
”Summan av potentialändringarna i en godtycklig sluten krets är lika med noll.”
Summera alla potentialändringar genom en ”vandring” längs den slutna kretsen. Markera med tecken
vilken sida av varje kretskomponent som har högre resp. lägre potential.
Följ strömmen – när ni går in i en belastning (resistans) sätter ni positivt tecken (ni går från högre potential
till en lägre), och när ni går in i en källa sätter ni negativt tecken (ni går från en lägre potential till en högre).
U 1 + U R1 + U 2 + U R2 = 0
Exempel:
Sätt U1 till 5 volt, U2 till 10 volt, R1 till 30 ohm och R2 till 20 ohm.
Detta ger:
5 + U R1 + 10 + U R2 = 0
→ 15 + U R1 + U R2 = 0
Vad får vi för spänning över motstånden?
Vi tar hjälp av strömmen I för att klura ut detta.
5 + 10
U
= 0,3 A ..
= I ger oss strömmen I i kretsen
30 + 20
R
Ohms lag ger oss även U = R ⋅ I vilket ger
Ohms lag
För R1: U = 30 ⋅ 0,3 = 9
För R2 U = 20 ⋅ 0,3 = 6
Observera att vi hade minustecken framför spänningarna över motstånden, så vi får alltså -9 volt över R1,
samt –6 volt över R2. Minustecknet innebär alltså att spänningen över motstånden är motriktad den över
spänningskällorna. (Spänningen ökar över en spänningskälla, den minskar över ett motstånd.)
Kirschoffs spänningslag i kretsen ger sålunda följande: 5+(-9)+10+(-6)=0
Kirchoffs strömlag
(KI / KCL)
Denna kallas även Kirchoffs första lag.
”Summan av strömmarna in och ut från en viss knutpunkt = 0”
En punkt i ett nät där två eller flera ledare förenas kallas knutpunkt eller nod. Strömmarna som passerar in i
denna punkt är lika med dem som passerar ut.
När man betraktar ett nät utifrån Kirchoffs strömlag väljer man en referensriktning för samtliga strömmar.
Denna kan väljas godtyckligt, då man vid senare beräkningar bara får ett negativt värde om
referensriktningen inte överensstämmer med den fysikaliska.
∑I = 0
Kirschoffs strömlag i ovanstående bild ger: I3 + I2 +(-I1) + (-I4) = 0
LIKSTRÖMSNÄT
Nätets anatomi
En praktisk strömkrets förefaller ofta ganska komplex med ett stort antal komponenter och förbindelser.
För att analysera och förstå ett nät, i det här fallet ett likströmsnät, kan man likt matematikens ekvationer
dela upp det i flera beståndsdelar, vilka lättare låter sig betraktas.
Strukturen hos ett likströmsnät kan sålunda delas upp i sina abstrakta beståndsdelar; gren, nod, slinga och
maska enligt följande:
Gren
Ledare eller annan kretskomponent. Dessa
utgör själva innehållet i nätet.
2
1
3
nod
gren
4
5
Nätets beståndsdelar
Nod
En punkt där två eller flera grenar av nätet är
sammankopplade.
Slinga
Sammankopplade grenar som bildar en sluten
krets.
Ex. 1-2-3-1 eller 1-4-5-3-1.
Maska
Slinga som inte innesluter någon gren.
Ex. 1-2-3-1 eller 5-4-3-5.
Om man har ett komplicerat nät får man lätt problem att överblicka detsamma, och vid beräkningar får
man ett så stort antal ekvationer så det blir tidsödande att lösa. Därför tillämpar vi några enkla regler för
hur vi snabbt och enkelt kan förenkla en krets eller delar därutav.
Seriekoppling
Seriekoppling av resistorer går till på så sätt att ett antal
resistanser i serie kan ersättas med endast en ekvivalent
resistans. Denna utgör då summan av de seriekopplade
resistorerna.
Detta åskådliggör vi till exempel genom att tillämpa Kirchoffs
spänningslag på en krets bestående av en strömkälla U
kopplad till en strömkrets bestående av tre resistanser i serie;
R1, R2 och R3.
R1, R2 och R3 skall ersättas med en resistans R’ sådan att
strömmen I’ i den ekvivalenta kretsen blir lika stor som I i
den ursprungliga.
U − I ⋅ R1 − I ⋅ R 2 − I ⋅ R3 = 0
U − I '⋅R ' = 0
U = I ⋅ R1 + I ⋅ R 2 + I ⋅ R3
U = I (R1 + R 2 + R3)
U = I '⋅R '
U = I ⋅ R'
I '= I
R' = R1 + R 2 + R3
Principen för seriekoppling kan generaliseras enligt följande:
R ' = R1 + R 2 + R3 + .....Rn
Seriekopplade spänningsgeneratorer följer samma mönster som enligt Kirchoffs spänningslag.
Spänningskällor i serie adderas till sin ekvivalent.
Seriekopplade strömgeneratorer förekommer inte som modell.
Parallellkoppling
Parallellkoppling av resistorer innebär en problemställning
liknande seriekopplingen. Ett antal parallella resistanser kan
ersättas med endast en ekvivalent. Vi åskådliggör detta med ett
exempel liknande det förra, vi vill att strömmen skall vara
densamma i bägge kretsarna (I = I’), för då är de ekvivalenta.
Eftersom alla resistorerna är kopplade parallellt över källan,
innebär detta att spänningen är samma över alla resistanserna,
d.v.s. U.
Strömmen I däremot, delas upp i olika grenar; I1, I2 och I3.
Strömmen i varje gren är omvänt proportionell till resistansen,
allt enligt Ohms lag.
Först använder vi Kirchoffs strömlag:
I = I1 + I 2 + I 3
Sedan jobbar vi vidare med Ohms lag, och tecknar strömmarna i
varje gren: I1, I2 och I3, samt strömmen I’ för den ekvivalenta
kretsen. Dessa sätter vi in i ekvationen för Kirschoffs strömlag
och räknar såsom följer:
U = I 1 ⋅ R1 ⇔ I 1 =
U
R1
U = I 2 ⋅ R2 ⇔ I 2 =
U
R2
U = I '⋅R' ⇔ I ' =
U = I 3 ⋅ R3 ⇔ I 3 =
U
R3
I = I'
I = I1 + I 2 + I 3 =
U
R'
⎛1
1
1 ⎞
U U U
+
+
= U ⋅ ⎜⎜ +
+ ⎟⎟
R1 R2 R3
⎝ R1 R2 R3 ⎠
⎛1
1
1 ⎞ U
U ⋅ ⎜⎜ +
+ ⎟⎟ =
⇒
⎝ R1 R2 R3 ⎠ R'
I '=
U
R'
1
1
1
1
+
+
=
R1 R2 R3 R'
Och denna princip för parallellkoppling av resistanser generaliserar vi till:
1 1
1
1
= +
+ ...
R' R1 R2
Rn
Parallellkopplade strömgeneratorer följer samma mönster enligt Kirchoffs strömlag. Strömkällor i
parallellkoppling adderas till sin ekvivalent.
Parallellkopplade spänningsgeneratorer förekommer inte som modell.
Spänningsdelning
En standardföreteelse i elektriska nät är spänningsdelaren.
Medelst en koppling som i den vidstående figuren medges
delning av spänningen U1 med hjälp av motstånden R1 och
R2 så att en lägre spänning U2 erhålles. Här använder vi vad
som kallas spänningsdelningslagen, och den kan vi räkna
fram på följande sätt, med bl.a. lite hjälp av herrarna Ohm
och Kirschoff:
I1 =
U1
R1 + R2
U 2 = R2 ⋅ I 1
⇒ U 2 = R2 ⋅
U1
R1 + R2
Sålunda får vi fram den formel som brukar kallas
spänningsdelningslagen:
U 2 = R2 ⋅
I detta fallet är strömmen I2 = 0
U1
R1 + R2
Observera att om kretsen belastas på utgången (vi lägger till
en last RL parallellt med R2 ) får vi en ström I2, p.g.a.
strömdelning kommer strömmen genom R2 att minska, och
därigenom kommer U2 att sjunka. Vi måste alltså räkna
med denna last RL i parallellkoppling med R2. Om lastens
resistans är mycket större i förhållande till R2 kan vi i
allmänhet bortse från inverkan av denna och I2, men annars
måste den räknas med.
Här är kretsen belastad med ett RL ,
varvid strömmen I2 måste tas med i beräkningen.
Strömdelning
Enligt Kirchoffs strömlag är summan av
strömmarna in i en punkt lika med strömmarna ut ur
densamma. Ett nät där två resistorer är
parallellkopplade kommer strömmen i varje gren att
vara proportionell mot motståndet, och summan av
strömmarna genom motstånden är givetvis den
totala strömmen I genom kretsen.
Enligt parallellkopplingslagen är R1 och R2
ekvivalenta med en resistans R’ :
R2
R1
1 1
1
1
= +
⇒ =
+
R' R1 R2
R' R1 ⋅ R2 R1 ⋅ R2
⇒
R ⋅R
1 R1 + R2
=
⇒ R' = 1 2
R' R1 ⋅ R2
R1 + R2
U är konstant i systemet, och Ohms lag ger då
sambanden:
U = I 1 ⋅ R1 = I 2 ⋅ R2 = I ⋅ R' = I ⋅
R1 ⋅ R2
R1 + R2
Division med R1 ger:
I1 = I ⋅
R2
R1 + R2
Och detta kan sammanfattas som strömdelningslagen.
Division med R2 ger:
I2 = I ⋅
R1
R1 + R2
