TB06V
Matematiktentamen 1:1
2006-03-08
1.
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.
(a + b )2 + (a − b )2
2
2.
Lös följande ekvation:
( x − 3) ⋅ ( x + 5 ) = 0
1 p.
Ett klot har radien 1,20 dm. Klotets radie ökar till 1,25 dm.
Hur stor blir volymförändringen uttryckt i dm 3 ?
2 p.
Funktionen f ( x) = x 2 + 3x är given. Förenkla f (2 + h ) − f (2 )
så långt som möjligt.
2 p.
3.
4.
1 p.
5.
Den räta linjen 3x + 2 y − 6 = 0 bildar tillsammans med
koordinataxlarna en triangel. Rita linjen i ett koordinatsystem och
beräkna triangelns minsta vinkel.
2 p.
6.
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.
a2 ⋅ 3 a ⋅b
2 p.
1
4
a ⋅ b3
7.
8.
Summan av två tal är 5,6 och differensen är 1,8. Vilka är talen?
(Prövning duger inte som lösning).
2 p.
Värdet y kr av en bil beräknas med funktionen
y (t ) = 120000 ⋅ 0,806 t där t är bilens ålder i antal år.
Hur mycket är bilen värd efter 5 år?
1 p.
h
(b + d )
2
9.
Lös ut b ur följande formel A =
10.
Beräkna vinkeln v. Svara i grader med en decimal.
2 p.
2 p.
C
AB är 2,0 längdenheter,
BC är 1,0 längdenheter,
AD är 4,0 längdenheter.
B
v
A
11.
D
I en rektangel är ena sidan 5,00 cm längre än den andra sidan.
Beräkna sidornas längder då längden av diagonalen är 21,5 cm.
2 p.
12.
13.
Bestäm talet a så att de räta linjerna ax + 4 y = 3 och
x
+ 2 y − 1 = 0 blir vinkelräta.
a −1
2 p.
I en rätvinklig triangel är hypotenusan 775 cm och den ena kateten 217 cm.
I triangeln är en kvadrat inskriven som figuren visar. Beräkna kvadratens sida.
3 p.
Lycka till!
TB06V
1.
LÖSNINGSFÖRSLAG
(a + b )2 + (a − b )2
TEN1:1
2006-03-08
a 2 + 2ab + b 2 + a 2 − 2ab + b 2 2a 2 + 2b 2
=
=
= a2 + b2
2
2
2
Svar: a 2 + b 2
2.
( x − 3) ⋅ ( x + 5 ) = 0
x−3= 0
x=3
Svar:
3.
Vklot =
x+5= 0
x = −5
eller
eller
x1 = 3
x 2 = −5
4πr 3
3
4π ⋅ 1,25 3
4π ⋅ 1,20 3
≈ 7,23823
Vny =
≈ 8,18123
3
3
Volymförändring = 8,18123 – 7,23823 ≈ 0,943
Vursprunglig =
Svar: Volymen ökar med 0,943 dm 3
4.
f ( x) = x 2 + 3x
f (2 + h) = (2 + h ) + 3(2 + h ) = 4 + 4h + h 2 + 6 + 3h = h 2 + 7 h + 10
f (2) = 2 2 + 3 ⋅ 2 = 10
f (2 + h ) − f (2) = h 2 + 7 h + 10 − 10 = h 2 + 7h
2
Svar: f (2 + h ) − f (2) = h 2 + 7h
5.
3
y = − ⋅x+3
2
x = 0 ger skärningspunkt med y-axeln: y = 0 + 3 = 3
3
3
⋅x =3 ⇒
y = 0 ger skärningspunkt med x-axeln: 0 = − ⋅ x + 3 ⇒
2
2
1
⋅ x =1 ⇒ x = 2
2
3x + 2 y − 6 = 0
blir omskriven
Triangeln får följande utseende:
3
v
2
Minsta vinkeln står mot kortaste sidan.
2
Vinkeln beräknas: tan v =
⇒ v = 33,7°
3
Svar: v = 33,7°
a ⋅ a ⋅b
2
6.
3
a ⋅b
1
4
3
=
1
3
a ⋅a ⋅b
2
1
2
1
4
=a
1 1
2+ −
3 2
⋅b
1
−3
4
=a
12 2 3
+ −
6 6 6
⋅b
1 12
−
4 4
11
6
= a ⋅b
−
11
4
a ⋅ b3
=
a
11
6
11
b4
11
Svar:
a6
b
7.
11
4
Kallar talen för x och y och bildar ekvationssystemet:
x + y = 5,6
x − y = 1,8
Adderas ekvationerna spaltvis får vi:
2 x + 0 y = 7,4 ⇒ 2 x = 7,4 ⇒ x = 3,7
y beräknas: 3,7 + y = 5,6 ⇒ y = 1,9
Svar: Talen är 3,7 och 1,9.
8.
y (5) = 120000 ⋅ 0,806 5 ≈ 40818
Svar: Bilen är värd ungefär 41000 kronor efter 5 år.
9.
A=
h
(b + d ) ⇒ 2 A = h(b + d ) ⇒ 2 A = b + d ⇒ 2 A − d = b
2
h
h
Svar: b =
10.
2A
−d
h
Beräknar först vinkeln i den stora rätvinkliga triangeln, som här tecknas u:
tan u =
u
3
⇒ u ≈ 36,87°
4
Beräknar därefter vinkeln i den lilla rätvinkliga triangeln, som här tecknas w:
W
tan w =
2
⇒ w = 26,57°
4
Vinkeln v beräknas: v = u − w ⇒ v = 36,87° − 26,57° ≈ 10,3°
Svar: Vinkeln v är 10,3°
11.
21,5
x
x + 5,00
x beräknas med Pythagoras sats:
2
x 2 + ( x + 5) = 21,5 2
x 2 + x 2 + 10 x + 25 = 462,25
2 x 2 + 10 x − 437,25 = 0
x 2 + 5 x − 218,625 = 0
5
25
+ 218,625
x=− ±
2
4
5
x = − ± 14,996
2
x1 ≈ 12,5
( x 2 ≈ −17,5)
Rektangelns sidor blir: 12,5 cm respektive (12,5 + 5,00) cm.
Svar: Sidornas längder är 12,5 cm och 17,5 cm.
12.
Ekvationen för den ena räta linjen skrivs om:
3
a
ax + 4 y = 3 ⇒ 4 y = − ax + 3 ⇒ y = − ⋅ x +
4
4
Samma sak för den andra räta linjen:
x
x
x
1
1
1
+ 2y −1 = 0 ⇒ 2y = −
+1⇒ y = −
+ ⇒ y=−
⋅x+
a −1
a −1
2(a − 1) 2
2(a − 1)
2
För vinkelräta linjer gäller: k1 ⋅ k 2 = −1
1 ⎞
⎛ a⎞ ⎛
⎟⎟ = −1
Med värden för våra räta linjer insatta: ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜⎜ −
⎝ 4 ⎠ ⎝ 2(a − 1) ⎠
a
= −1
8(a − 1)
a = −8(a − 1)
a = −8a + 8
9a = 8
8
a=
9
Svar: a =
8
9
13.
(cm)
775
217
y
Den stora triangelns okända katet, här kallad y, beräknas med Pythagoras sats:
y 2 + 217 2 = 775 2 ⇒ y 2 = 775 2 − 217 2 ⇒ y 2 = 600625 − 47089 ⇒ y 2 = 553536
⇒ y = 744
Återgår till figuren med nya beteckningar införda. Kallar kvadratens sida x:
(cm)
775
217
x
(744 – x)
x
Likformighet ger:
x
744 − x
=
⇒ 744 x = 217(744 − x) ⇒ 744 x = 161448 − 217 x ⇒ 961x = 161448
217
744
161448
⇒x=
⇒ x = 168
961
Svar: Kvadratens sida är 168 cm.
