Karlstads universitet
VT 2013
Fakulteten för hälsa, natur- och teknikvetenskap, Matematik
Mirela Vinerean Bernhoff
Rum: 21E 112; tel: 054-700 1773
Geometri med projektdel (7.5 hp)
MAAD 24
Undervisande lärare: Mirela Vinerean Bernhoff, rum 21E 112, tfn 700 1773
Sekreterare: Birgitta Ländin, rum 21E 116, tfn 700 1862
Behörighetskrav
Kunskaper i matematik 60 hp, inklusive Linjär algebra, 7.5 hp, Analys B1, 7.5 hp, och Analys B2, 7.5
hp eller motsvarande.
Kurslitteratur
1) [JR] John Roe, Elementary Geometry, Oxford University Press, 1993;
2) [S] Kompletterande material (stenciler).
3) [List 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] Listor med rekommenderade uppgifter utöver dem i kursboken [JR]
Kursens omfång
Kap.1 - 11 i kursboken (delar av kap.2, 6, 8 och 9 lämnas för självstudier) samt kompletterande
material (stenciler).
Kursens mål
Kursens mål är att den studerande efter genomgången kurs skall kunna:
a) För instuderingsdelen:
- Redogöra för centrala begrepp och definitioner inom absolut, klassisk euklidisk och icke-euklidisk
geometri, differentialgeometri;
- Formulera ett givet urval av kursens satser;
- Beskriva huvuddragen i ett givet urval av kursens bevis;
- Använda kursens teori, metoder och tekniker för att lösa geometriska problem;
- Definiera den räta linjen i planet och i rummet, definiera planet i rummet och härleda de ekvationer
som karakteriserar dessa begrepp;
- Härleda ekvationerna för andragradskurvor i planet och andragradsytor i rummet;
- Definiera isometrier i planet och i rummet och kunna bevisa satsen om strukturen av dessa
avbildningar;
- Bevisa Frenet-Serrets formler för glatta kurvor i rummet;
- Formulera och bevisa fundamentalsatsen för glatta kurvor i rummet.
1
Karlstads universitet
VT 2013
Fakulteten för hälsa, natur- och teknikvetenskap, Matematik
Mirela Vinerean Bernhoff
Rum: 21E 112; tel: 054-700 1773
b) För projektdelen:
- I samråd med handledare identifiera, formulera och avgränsa en frågeställning, välja metod,
utarbeta en tidsplan samt beskriva detta i en projektplan
- Söka, samla, värdera och kritiskt granska vetenskaplig litteratur inom det matematiska / matematiskt
didaktiska ämnesområdet
- Analysera och sammanställa data och information samt göra relevanta bedömningar utifrån dessa
- Visa färdighet i att skriftligt och muntligt presentera och diskutera sina resultat, samt anpassa
redovisningens utformning till en specificerad målgrupp
Kursens huvudsakliga innehåll
Kursen har två olika delar, en instuderingsdel och en projektdel.
Undervisningen i den första delen består av föreläsningar och övningar och innehåller:
•
Den euklidiska geometrins axiom
- punkter, plan, rymd, räta linjer, cirklar och andra kurvor
•
Kartesiska axlar i planet och rummet
- euklidisk geometri i R2 och R3
•
Den euklidiska skalärprodukten i R3
- normer av vektorer, längder och vinklar, gruppen av euklidiska isometrier i R2 och R3
•
Räta linjer och andragradskurvor i R2
- planets ekvation och andragradsytor i R3
•
Kvadratiska former i två och tre variabler
- klassificering av andragradskurvor respektive andragradsytor med hjälp av teorin för
kvadratiska former
•
Icke-euklidiska geometrins historia, hyperbolisk geometrins historia, konstruktion av modeller
•
Glatta kurvor i R3
- krökning och torsion av en glatt kurva, Frenet-Serrets formler för glatta kurvor
•
Differentialgeometrins fundamentalsats för glatta kurvor i R3
Den andra delen genomförs i projektform med matematisk eller matematikdidaktisk innehåll, antingen
individuellt eller tillsammans med annan student. I det fall flera studenter samarbetar i ett större
projekt skall den individuella arbetsinsatsen och ansvarsområdet tydligt framgå vid projektets början.
Uppsatsens innehåll bestäms i samråd med handledare och examinator. Arbetet skall göras inom
kursens ram.
2
Karlstads universitet
VT 2013
Fakulteten för hälsa, natur- och teknikvetenskap, Matematik
Mirela Vinerean Bernhoff
Rum: 21E 112; tel: 054-700 1773
Rekommenderade uppgifter
Se rekommenderade uppgifter från kursboken i kursplaneringen nedan.
Under kursens gång kommer också extra rekommenderade uppgifter (utöver dem i kursboken) att
delas ut ( List 1-List 7).
Examination
Examination för första delen av kursen sker i form av muntligt prov vid kursens slut kombinerat med
inlämningsuppgifter under kursen enligt anvisningar som lämnas vid kursens start
(inlämningsuppgifterna examineras muntligt).
Projektarbetet examineras genom en skriftlig rapport samt muntlig redovisning vid projektseminarium.
Kursplanering och rekommenderade uppgifter
Lecture 1: Introduction. Axioms for geometry (part1)
[JR] Ch. 1.1, 1.2 + [S]
Exercises: the same as for Lecture 2
Lecture 2: Axioms for geometry (part2)
[JR] Ch. 1.3, 1.5 + [S]
[JR] Ch. 1.4 – home study
Exercises: [JR] Ch. 1.6 (p. 27) : 1, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12 + [List 1]
Lecture 3: Vector geometry
Important properties in a triangle (seminar)+
Use of Cabri-geometre and Skechped programs (laboratory)
[JR] Ch. 2 + [S]
Exercises: [JR] Ch. 2.5 (p. 48-49) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
Lecture 4: Congruence axioms. Euclidean geometry (part1).
[JR] Ch. 3 + Ch. 4.1, 4.2 + [S]
Exercises: [JR] Ch. 3.6 (p. 61-62) : 1, 2, 3, 4, 5 + start with exercises for Lecture 5
3
Karlstads universitet
VT 2013
Fakulteten för hälsa, natur- och teknikvetenskap, Matematik
Mirela Vinerean Bernhoff
Rum: 21E 112; tel: 054-700 1773
Lecture 5: Euclidean geometry (part2)
[JR] Ch. 4.3, 4.4 + [S]
Exercises: [JR] Ch. 4.6 (p. 81-83) : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12
Lecture 6: Euclidean spaces. Cartesian coordinates. Isometries
[JR] Ch. 5.1 + Ch. 4.5 + Ch. 5.3, 5.4 + [S]
Exercises: [JR] Ch. 4.6 (p. 81-83) : 8, 13 + Ch. 5.5 (p. 102-103) : 1, 2, 5, 7, 10, 12, 14
Lecture 7: Line and plane in space
[S] + [JR] Ch. 6- optional home study
Exercises: [JR] Ch. 6.7 (p. 129-132) : 1, 5, 6, 7, 11, 12 + [List 2]
Lecture 8: The general equation of a conic. Circles
[JR] Ch. 7.1 + [S]
Exercises: [JR] Ch. 7.6 (p. 164-167): 1, 2, 3 + [List 3]
Lecture 9: Ellipse, hyperbola and parabola (part 1)
[JR] Ch. 7.2 + [S]
Exercises: [JR] Ch. 7.6 (p. 164-167): 4, 5, 6, 11 + [List 4]
Lecture 10: Ellipse, hyperbola and parabola (part 2)
[JR] Ch. 7.2 + [S]
Exercises: [JR] Ch. 7.6 (p. 164-167): 8, 9, 3 + [List 4]
Lecture 11: More general conics and their classification
[JR] Ch. 7.3 + [S]
Exercises: [JR] Ch. 7.6 (p. 164-167): 7 + [List 5]
Lecture 12: Intersections of lines and conics
[JR] Ch. 7.4 + [S]
Exercises: [JR] Ch. 7.6 (p. 164-167): 13, 15 + [List 5]
4
Karlstads universitet
VT 2013
Fakulteten för hälsa, natur- och teknikvetenskap, Matematik
Mirela Vinerean Bernhoff
Rum: 21E 112; tel: 054-700 1773
Lecture 13: Quadric surfaces (part1)
[JR] Ch. 10.1 + [S] Exercises: --
Lecture 14: Quadric surfaces (part 2): reduction to canonical form
[JR] Ch.10.2, 10.3 + [S]
Exercises: [JR] Ch. 10.5 (p. 239-241): 1, 3 + [List 6]
Lecture 15: Intersection of a quadric with a line or a plane
[JR] Ch.10.4 + [S]
Exercises: [List 6]
Lecture 16: Differential geometry of curves (part 1)
[JR] Ch.11 + [S]
Exercises: [List 7]
Lecture 17: Differential geometry of curves (part 2)
[JR] Ch.11 + [S]
Exercises: [List 7]
Lecture 18: Differential geometry of curves (part 3)
[JR] Ch.11 + [S]
Exercises: [List 7]
Self-reading: Lecture 19: Geometry from Euclid to Einstein
(a first step in Hyperbolic geometry)
[S] Exercises: --
5
