Geometriska former. GFo

Geometriska former. GFo
Delområde GFo omfattar följande åtta diagnoser:
GFo1 Grundläggande symmetri
GFo2 Avbildning
GFo3 Plana figurer
GFo4 Kroppar
GFo5 Likformighet, begrepp
GFo6 Likformighet, beräkningar
GFo7 Pythagoras sats
GFo8 Geometriska konstruktioner
Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan. MGF, Förberedande
mätning och geometri, utgör förkunskaper även för det här delområdet. Eftersom symmetri är en
viktig grund för all geometri finns två diagnoser om symmetri och avbildning, GFo1 och GFo2. Av
dessa omfattar GFo1 förkunskaper till GFo3, som i sin tur följs av GFo4 och GFo7. GFo3
omfattar i sin tur förkunskaper till GFo5 och GFo8, samtidigt som GFo5 omfattar förkunskaper till
GFo6.
MGF Förberedande
Mätning och Geometri
GFo1 Grundläggande symmetri
GFo 3
Plana figurer
GFo4 Kroppar
GFo8 Geometriska konstruktioner
GFo7 Pythagoras
sats
GFo2
Avbildning
GFo5 Likformighet,
begrepp
GSk2 Förstoring och förminskning.
GFo6 Likformighet, beräkningar
AUp4
Kvadratrötter
Didaktiska kommentarer till delområdet GFo
Geometri är ett av de övergripande områdena i matematiken och behandlar rummets natur, form
och storlek samt egenskaper hos geometriska figurer och kroppar. Den mer formella geometrin
handlar inledningsvis om att känna igen och klassificera olika geometriska figurer och kroppar
och att känna till viktiga egenskaper hos dessa. En hel del av detta utgår från begreppet symmetri
som därför har en central plats i den grundläggande geometriundervisningen.
Centrala begrepp inom den plana geometrin är sidor, hörn och vinklar. Motsvarande begrepp
inom rymdgeometrin är sidor (sidoytor), kanter och hörn. Terminologin är dock tvetydig. En kub
har t.ex. sex sidor (sidoytor) som är begränsade av kanter. Varje sådan sida är en kvadrat som i
sin tur begränsas av fyra sidor (!). De sex kvadraternas sidor är alltså kanter till kuben.
För att kunna följa undervisningen i geometri krävs det att eleverna behärskar ett antal viktiga
begrepp. Bland dessa ingår de vanligaste geometriska figurerna och kropparna och deras
egenskaper. Symmetri är ett viktigt begrepp i vår omvärld, och kommer till uttryck såväl i naturen
som i den vardag människan konstruerat. Symmetri är alltså ett centralt begrepp inom geometrin
och med hjälp av symmetri kan man klassificera geometriska figurer och lösa en rad geometriska
problem. Som exempel har en likbent triangel en symmetrilinje och en liksidig triangel tre
symmetrilinjer, vilket ger viktig information om vinklarnas inbördes storlek.
På motsvarande sätt har de flesta rektanglar två symmetrilinjer som skär varandra med räta
vinklar. En rektangel med fyra symmetrilinjer kallas för kvadrat. Även romben har två vinkelräta
symmetrilinjer som samtidigt är diagonaler. En romb med fyra symmetrilinjer är en kvadrat.
Alla symmetriska figurer kan (klippas ut och) vikas utefter symmetrilinjerna varvid de två
kongruenta halvorna täcker varandra.
När det gäller de plana månghörningarna, polygonerna, så är de uppbyggda av ett antal
sträckor (sidor). Dessa sträckor bildar vinklar med varandra. Figurerna benämns i första hand
efter antalet hörn: triangel, fyrhörning, femhörning etc. Man skiljer de olika typerna av figurer med
hjälp av sidornas och vinklarnas storlek. Vissa trianglar är likbenta, andra liksidiga eller
rätvinkliga. Bland fyrhörningarna kan man urskilja parallellogrammer vars motstående sidor är lika
långa. Vissa av dem har räta vinklar och kallas då rektanglar, andra har lika långa sidor och
kallas då romber. Om alla sidorna i en rektangel är lika långa eller om alla vinklarna i en romb är
90 grader kallas figuren för kvadrat. I polygoner med fler än tre sidor kan man dra diagonaler. I en
fyrhörning kan man dra två diagonaler och i en femhörning fem diagonaler.
Av de plana figurerna är cirkeln speciell. Från cirkelns periferi är det alltid lika långt till
medelpunkten. Detta avstånd kallas radie och det är radien man ställer in då man ritar en cirkel
med hjälp av en passare. En sträcka som är en symmetrilinje till cirkeln kallas för diameter.
Diametern går genom cirkelns medelpunkt och är därför dubbelt så lång som radien.
Eftersom egenskaper som symmetri, kongruens och likformighet är viktiga begrepp inom
geometrin är det väsentligt att eleverna känner till figurernas namn och egenskaper. Detsamma
gäller för kropparna.
De tredimensionella objekten, kropparna, är lite mer komplicerade. Det är därför viktigt att
eleverna får se och känna på dessa kroppar och om möjligt även bygga dem. De kommer då att
upptäcka att sidoytorna (och mantelytan i en cylinder och en kon) består av plana figurer såsom
rektanglar och trianglar (respektive cirkelsektorer). Det korrekta namnet för ett tredimensionellt
objekt är ”kropp”. I elevdiagnosen används ofta ordet objekt eller föremål.
Det är också viktigt att eleverna kan avbilda kroppar som prisman eller pyramider på ett papper
på ett sådant sätt att de kan rita in en rymddiagonal respektive en höjd. I annat fall blir det svårt
att bestämma längden av rymddiagonalen eller höjden.
Den klassiska geometrin är uppbyggd av definitioner och satser. Det är inte nödvändigt att
eleverna kan bevisa alla dessa satser, men de bör förstå satsernas innebörd och kunna tillämpa
satserna vid problemlösning. En bra metod att lära sig de mest intressanta satserna inom den
plana geometrin, är att utföra motsvarande konstruktioner med passare och linjal. Detta gäller
inte minst förmågan att dela en sträcka, konsturea mittpunktsnormalen till en sträcka, bisektrisen
till en vinkel eller att konstruera den cirkel som omskriver en triangel.