Talteori

Talteori
(OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med
hösten 2012)
T4.4-T4.7, 4.3, 4.7,T4.13-T4.14
S: Jag har svårt för ”visa-uppgifter”. i kapitel 4 Talteori. Kan du hjälpa mig?
Det gäller dessa uppgifter:
4.2: T4.4-T4.7, 4.3, 4.7
4.3: T4.13-T4.14
L: När det gäller T4.4 (Visa att 4 är en delare till 28x-72y för alla heltal x
och y) så försöker man bryta ut en 4:a. Det går om 4 delar både 28 och 72. Samma
tankegång för uppgift 4.3 När det gäller övriga visa uppgifter så skriver man om
heltalet med hjälp av den information man får. T. ex. i T4.5 så är n=5k (k är ett
heltal), i T4.6a är a-3=2k eller a=2k+3 och i T4.7 så är n=9k. Med hjälp av denna
information så skall det inte vara så svårt att kunna visa det som efterfrågas.
Som exempel tar jag T4.6 b (Visa att 3|(a+1)=>9|(a²-a+7)):
a+1=3k →a=3k-1. a²-a+7= (3k-1)²-(3k-1)+7= 9k²-9k+9= 9(k²-k+1). Saken är klar
eftersom k²-k+1 är ett heltal. k är ju ett heltal.
T.4.13 Här är det moduloräkning som gäller. 19 är kongruent -1 modulo 5 och 11 är
kongruent 1 modulo 5 och 12 kongruent 2 modulo 5. Man kan också skriva 19=5*4-1
och 11=5*2+1 och använda binomialteoremet (se kapitel 6). Gör man det så kommer
alla termer utom (-1)19 och 111 att vara delbara med 5. Det som återstår är att
studera 2+(-1)19 - 111
T4.14. n=4k+r där r=0,1,2,3. Man får gå igenom de fyra fallen.
vi studerat kapitel 8:
Alternativt när
Polynomet kan skrivas som n(n-1)(n-2)(n-3). Två av dessa faktorer måste vara
jämna, oberoende av om n är jämnt eller udda. 4=2*2 så där får vi vår eftersökta
fyra. Kan du visa att polynomet är t.o.m. är delbart med 8?
T4.10c
Bestäm kvot och rest då -103 divideras med -7
S: Har fastnat på tal T4.10, hur ska jag tänka på c-uppgiften? Jag svarade kvot
14 och rest 5 men boken säger kvot 15 och rest 2. Kan du hjälpa mig hur jag ska
tänka här så att det blir rätt. Jag hade problem även på a-uppgiften, sitter fast
i kortdivisionen, tror jag.
L: Definitionen på sidan 150 säger att resten skall vara ett icke-negativt tal.
Så man får hoppa förbi -103, alltså 15*-7=-105, för att sedan hoppa 2 steg till
höger på tallinjen tills man kommer till -103.
T4.12
Bestäm resten då 7¹¹+13¹⁷-19 divideras med 5.
S: Jag igen:) Kan du förklara uppg. T4.12 för mig.
L: 7 kongruent med 2 mod 5, 13 kongruent med 3
mod 5, 19 kongruent med -1
mod 5
så
7¹¹ + 13¹⁷-19
är kongruent med 2¹¹ + 3¹⁷-(-1)
mod 5
men
3
är kongruent med -2
2¹¹+(-2)¹⁷+1
mod 5 så vi kan studera
mod 5. Uttrycket kan skrivas som
2¹¹-2¹⁷+1 eftersom 17 är ett udda tal.
Nu kan du skriva upp femmans multiplikationstabell (mod 5) och se mönstret då man
multiplicerar tvåor. Då framgår att
2¹¹-2¹⁷+1 är kongruent med 3-2+1=2 mod 5
Ett snabbare alternativ är här att hitta potenser av 7 och 13 som ligger nära en
multipel av 5
7² = 49 = 50-1 och 13² = 169 = 170 -1 så
7¹¹+13¹⁷-19 är kongruent med 7(-1)⁵ + 13 (-1)⁸ - (-1)= -7 + 13 +1 = 7 som är
kongruent med 2 mod 5.
T4.20a,b
Student: Nu har jag hållit på hela helgen med diofantiska ekvationer och just nu
känns det hopplöst.....
Jag har lyssnat på din förläsning flera gånger försökt med hjälp av dina
lösningar förstå vad det är som händer efter att jag har fått fram sgd. Det
lyckas jag med men sen är det stopp!
Jag håller på med T4.20 a & b.
2X+3Y=11
&
3X-9Y=6
Kan du hjälpa mig med dessa ekvationer och lösa dem med alla steg så jag kan
följa och förstå vad det är jag ska göra? Just nu känner jag mig hjälplös att jag
inte ser vad som sker. Vore oerhört tacksam om du vill hjälpa mig att knäcka
koden på dessa tal. Har du andra tips och råd hur jag ska göra?
L: Tror det är klokt att släppa något man inte förstår och sedan komma tillbaks
till det senare. Då brukar man se det med nya ögon.
T4.20 a
3=2+1
2=2*1
Här behövde vi ingen algoritm för att se att sgd(3,2)=1
Sedan skall vi uttrycka 1 med hjälp av 3 och 2. Från första ekvationen ovan får
vi direkt att 3-2=1. (I allmänhet tar det några steg när vi går algoritmen
baklänges). Så vi har 3-2=1, ekvationen är 2x+3y=11.
Kan du se vad nu 3-2=1 skall multipliceras med för att vi skall kunna identifiera
en lösning till ekvationen?
I b är sgd(3,9)=3. 3 delar 6 så lösning finns. Bra idé att dividera ekvationen
med 3:
x-3y=2. 3-1=2 så x=-1 y=-1 är en lösning. För så här små tal blir det väldigt få
steg i algoritmen. Kanske det som förbryllar dig?
T4.21, 4.34
S: Jag har läst i boken, föreläsningsanteckningar, lyssnat på föreläsningen
och övat. Men lyckas ändå inte lösa T4.21. Jag behöver en hel lösning på den
uppgiften.
Jag förstår inte tecknen framför k resp. n
4.34) 5x+4y=24, sgd(5,4)=1, sen kommer jag inte längre…
L: Du finner min lösning av T4.21 här
http://homepage.lnu.se/staff/hfrmsi/1ma101/sol_ch4.pdf
Tillvägagångssättet för ekvationen ax+by=c är
1) Bestäm sgd(a,b)
2) Kolla om sgd(a,b) delar c. Om den inte gör det så saknas lösning.
3) Utnyttja nu Euklides algoritm från 1) men gå ”baklänges”. Uttryck
sgd(a,b) med hjälp av a och b.
4) Multiplicera sedan resultatet i 3 så att du får den diofantiska
ekvationen.
5) Du kan nu läsa av en lösning x=x0, y=y0.
6) Men det finns fler! x=x0-(k*b/sgd(a,b)) och y=y0+(k*a/sgd(a,b)) utgör
samtliga lösningar. k är ett heltal. Om man har sgd(a,b)=1 så slipper
man dividera. Vi kunde dividerat hela ekvationen med sgd(a,b) på ett
tidigt stadium om vi velat.
7) Det resultat du fått fram kanske inte ser ut att stämma med facit men
det beror på annat val av parametern
Kom ihåg att k är ett heltal, kan vara både positivt och negativt. För ax+by=c skall det vara …+k för den
ena och ….-k… för den andra. Man kan ju alltid stoppa in den allmänna lösningen i ekvationen och då
skall k-delarna ta ut varandra. I uppgift T.21 c) gav jag svaret på x=546 + 15n; y=-468 - 13n, på föreläsningen
men boken anger x=6+15n; y=-13n. Förklaringen är att n-> n+36 för att gå från den ena till den andra lösningen.
När det gäller 4.34 så skriv 1=5-4 och hoppa in vid punkt 4 ovan. Vad skall ekvationen multipliceras med?
S: Jag skulle behöva lite extra hjälp med diofantiska ekvationer. När jag kommit
fram till sgd och ska räkna åt andra hållet så tappar jag "tråden". Tyckte jag
förstod dina exempel i lektion 4 och lyckades lösa exemplet där som vi skulle
lösa. Om du har lust att skicka ett exempel som innehåller flera steg där du
förklarar de olika stegen så klarnar det nog förhoppningsvis.
L: När man vill göra ett RSA-krypto med de löjligt små primtalen p=3607 och
q=3803 blir man tvungen att lösa den diofantiska ekvationen
(*) 19x + 13710012y=1 så låt oss titta på den!
Först skall vi hitta sgd(13710012,19).
13710012 = (721579)*19 + 11
(1)
19 = 11 + 8
(2)
11 = 8 + 3
(3)
8 = 2*3 +2
(4)
3 = 2 + 1
(5)
2 = 2*1
Så sgd(13710012,19)=1 och därmed finns en lösning för 1 delar 1.
Kan vi utnyttja Euklides algoritm (EA) för lösa vår diofantiska ekvation? Ja det
kan vi! Börja med ekvation (5) skriv den som 1 =………..
3 – 2 = 1
(6)
Nu är högerleden i (6) och (*) lika! (Allmänt så startar man med den näst sista
ekvationen i EA för där dyker sgd upp)
Målet är nu att skriva om (6) som
19* (………..) + 13710012 (………..) = 1
Då kan vi identifiera de 2 parenteserna som x respektive y. Vi når dit genom att
gå EA baklänges. Genom ekvation (4) kan vi uttrycka 2 med hjälp av 8 och 3.
3 – (8 – 2*3) = 3*3 – 8 = 1
Nu utnyttjar vi (3) och uttrycker 3 med hjälp av 11 och 8.
3 * (11 - 8) – 8 = 3*11 - 4*8 = 1
Nu är vi nästan framme! Med hjälp av (2) uttrycker vi 8 som 19-11.
3*11 – 4*(19-11) = 7*11 – 4*19 = 1
Till sist (1) ger att 13710012 - (721579)*19 = 11 så
7*(13710012 - (721579)*19) – 4*19 =
19 * (-5051057) + 13710012 * (7) =1
Vi har hittat en lösning
x = -5051057
y = 7
Finns det en lösning så finns det oändligt många:
x = -5051057 + k*13710012
y = 7
- k*19
k är ett heltal. För RSA-kryptot så behöver man hitta den lösningen som har det
minsta positiva x:et. Då väljer man k=1 och x=8 658955.
4.21a
För vilka heltal a finns det heltal x sådant att ax ≡ 1 (mod 6)
S: Jag satt i helgen och räknade uppgifterna till talteori (v 9-10) och jag
klarade alla utom 4.21.
Skulle du kunna visa mig hur man löser denna uppgift?
L: Om vi tar a som exempel så kan kongruensen formuleras som ax=1+k6, k ett
heltal. Eller som en diofantisk ekvation ax-k6=1. För ett givet a finns
heltalslösningar x, k till ekvationen då och endast då sgd(a,6) delar 1. Alltså
får a och 6 inte ha någon gemensam delare. a måste vara kongruent 1 eller 5 mod 6.
Enklast är dock att skriva upp ”sexans tabell” (obs kongruensräkning!) och ser
var ettorna dyker upp.
4.23-24, 4.37-38
S: Har kört fast på uppg. 4.23/24 4.37/38, har du någon ledtråd?
L: 4.23. Varje heltal kan skrivas som 4k+r där k är ett heltal och r=0,1,2 eller
3. (4k+r)4 =4*(…)+r4 så frågan är för vilka r som r4 och r ger samma rest vid
division med 4. Fyra fall att kolla.
4.24. 15=2*8-1, 7=8-1. Så 15n=8*(……)+(-1)n osv.
4.37. Varje heltal har sin unika primtalsfaktorisering. Om p|a7 så betyder det
även att p|a därför att faktorn p kan inte skapas när man multiplicerar a med sig
självt ett antal gånger. Om p inte delar a, t.ex. för p=5 och a=2*7*13, så medför
det att p inte heller delar a7 heller (5 delar inte 2777137).
4.38. Fokusera på primtalen 2 och 3. Kom ihåg att i primtalsfaktoriseringen av en
kvadrat n2 är exponenterna alltid jämna tal.