LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi betraktar

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära ekvationssystem. Gausselimination
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
GAUSSELIMINATION
Vi betraktar ett linjärt ekvationssystem med n obekanta x1 , x 2 ,..., x n och m ekvationer:
 a11 x1 + a12 x 2
a x + a x
 21 1
22 2

...
...
 ...

a m1 x1 + a m 2 x 2
+  + a1n x n = b1
+  + a 2 n x n = b2
...
=
+  + a mn x n = bm
(sys1)
En talföljd (n-tippel) s1 , s2 ,..., sn är en lösning till systemet om substitutionen
x1 = s1 , x 2 = s2 ,..., xn = sn satisfierar alla ekvationer i (sys1).
Definition1. Mängden av alla lösningar till ett ekvationssystem kallas systemets
lösningsmängd.
Vi säger att två system är ekvivalenta om de har samma lösningsmängd.
ANTAL LÖSNINGAR. För ett linjärt ekvationssystem gäller precis en av följande
alternativ:
1. Systemet har precis en lösning.
2. Systemet har oändligt många lösningar
3. Systemet saknar lösning. ( Systemet är inkonsistent)
ELEMENTERA OPERATIONER
Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets
lösningsmängd:
1. Byta plats på två ekvationer
2. Multiplicera en ekvation med ett tal ≠0
3. Addera en multipel av en ekvation till en annan ekvation
TOTALMATRIS
När vi löser ett linjärt ekvationssystem (sys1) räknar vi endast med systemets
koefficienter. Vi kan skriva alla koefficienter i en tabell som vi kallar systemets
totalmatris och räkna endast med matrisens element.
 a11 a12

a 21 a 22
Totalmatris till (sys1)= 
 ...
...

a m1 a m 2
Om vi inför matriserna
... a1n b1 

... a 2 n b2 
.
... ... ... 

... a mn bm 
1 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära ekvationssystem. Gausselimination
 a11 a12 ... a1n 
 b1 

a
b 
a 22 ... a 2 n
 och
A =  21
B =  2
... ... ... 
 ...
 ... 


 
a m1 a m 2 ... a mn 
bm 
då är totalmatrisen= (A|B)
Anmärkning: Matrisen A kallas ekvationssystemets koefficientmatris.
Istället att skriva hela ekvationer, räknar vi med rader i totalmatrisen.
Vi får göra följande elementära radoperationer utan att ändra systemets
lösningsmängd:
1. Byta plats på två rader
2. Multiplicera en rad med ett tal ≠0
3. Addera en multipel av en rad till en annan rad
GAUSSELIMINATION ( Successiv elimination) .
Med hjälp av elementära operationer överför vi systemet till ett ekvivalent system på
trappstegsform (som är enkelt att analysera och eventuellt lösa).
Vi startar med den första ekv. i systemet. Den första ekv använder vi för att eliminera
x1 i alla ekvationer förutom första ( Om x1 finns inte i den första ekvationen, d.v.s.
om a11 =0, byter vi plats med den ekvation där x1 finns. )
Efter första steg får vi följande ekvationssystem
a '11 x1 + a '12 x 2

+ a ' 22 x 2


...
...
 ...

+ a' m 2 x2

+  + a '1n x n = b'1
+  + a ' 2 n x n = b' 2
...
=
+  + a ' mn x n = b' m
(sys1’)
Därefter använder vi andra ekvationen och eliminerar på samma sätt x 2 från alla
andra förutom ekv 2 ( dvs vi eliminerar x 2 från ekv 3…ekv m) .
Det kan hända att x2 är eliminerad efter första steg från alla ekvationer utom första,
då går vi direkt till x3 .
Alla eventuella 0=0 skriver vi längst ned i systemet. Att vi får 0=0 betyder att en
ekvation är en linjär kombination av andra ekvationer och därför kan försummas.
A) Får vi någon gång en ekvation av typ
0= b där b≠0
( t ex 0=4)
har systemet INGEN LÖSNING. (Självklart behöver vi i detta fall inte göra flera
räkneoperationer)
2 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära ekvationssystem. Gausselimination
B) Om fallet A inte förekommer är systemet lösbart. Vi fortsätter tills vi får systemet
på trapstegsform:
a '11 x1 + a '12 x2



...
...
 ...

+
a '1n xn =
b'1
+ 
+
a ' 2 n xn =
b' 2
+ a ' 2 k xk
+
...
=
 eventuella 0 = 0 längst ned i systemet
Då löser vi ut de ledande variablerna. Alla andra, om det finns några förutom
ledande, varierar fritt (fria variabler).
Vi har följande två fall för (konsistenta) lösbara system:
B1. PRECIS EN LÖSNING om systemet är konsistent (lösbart) men har inga fria
variabler.
B2. OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om systemet är konsistent (lösbart) och har
minst en fri variabler.
Anmärkning: Vi inför en parameter för variabel som varierar fritt.
Vi kan utföra Gausselimination med hjälp av systemets totalmatris genom att
överföra totalmatris till trappstegsform
Exempel på trappstegsform:
1 8 1 − 4 3 6


0 0 1 1 3 3
0 0 0 0 0 0
En totalmatris har trappstegsform om
• Eventuella nollrader är längst ned
• En etta (ledande etta) är den första icke-noll element i varje rad som inte består
enbart av nollor.
• De ledande ettorna står längre till höger ju längre ned vi läser
- Ledande ettor svarar mot ledande variabler om de står i första delen av
totalmatrisen.
- Vi inför en parameter för varje variabel som inte har ledande etta ( för varje variabel som
varierar fritt).
A) INGEN LÖSNING om en ledande etta står i andra delen av totalmatrisen på
trappstegsform.
1 1 2 1
Exempel för ” ingen lösning” 
 (en ledande etta i andra delen av
0 0 0 1
totalmatrisen )
3 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Motsvarande system:
Linjära ekvationssystem. Gausselimination
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧
0
= 1
= 1
B) Om fallet A inte förekommer då är systemet lösbart:
B1. PRECIS EN LÖSNING om systemet är konsistent (lösbart) men inga fria
variabler.
1 2 3 9
0 1 2 8
Exempel för ” precis en lösning” �
� � , tre ledande ettor och tre variabler
0 0 1 7
0 0 0 0
(inga fria variabler). Lägg märke till att en nollrad inte betyder automatiskt oändligt
många lösningar utan att en ekvation är en linjär kombination av andra‼!
Motsvarande system:
𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧
𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧
𝑧𝑧
0
=
=
=
=
9
8
7
0
(Anmärkning, Vi upprepar att sista ekvationen 0=0 betyder att en ekvation är en
linjär kombination av andra ekvationer och därför kan försummas.)
B2. OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om systemet är konsistent (lösbart)
och minst en fri variabler.
1
0
Exempel för ” oändligt många lösningar” �
0
0
variabler (en fri variabel).
Motsvarande system:
2
0
0
0
3 9
1 8
� �
0 0
0 0
𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧
𝑧𝑧
0
0
=
=
=
=
9
8
0
0
ÖVNINGAR
1. a) Lös systemet
4 av 12
, två ledande ettor och tre
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära ekvationssystem. Gausselimination
x + y + z = 6

x + 2 y + 2z = 9
x + y + 2z = 7

b) Ange systemets lösningsmängd.
1. Lösning:
x + y + z = 6
x + y + z = 6


y+z=3
 x + 2 y + 2 z = 9 ⇔ ( ek 2 − ekv1) 
x + y + 2z = 7
( ek 3 − ekv1) 
z =1


Vi har fått trappstegs form och löser ut de ledande variablerna. Vi börjar från den sista
ekvationen: z = 1, y + 1 = 3 ⇒ y = 2, och x + 2 + 1 = 6 ⇒ x = 3
d.v.s. Precis en lösning: x=3, y=2, z=1 ( d.v.s. inga fria variabler)
z = 1, y = 2, x = 3
Lösningsmängden består av precis en punkt (3,2,1).
Vi kan även skriva lösningsmängden= {(3,2,1)}.
Svar: a) Precis en lösning: x=3, y=2, z=1 ( d.v.s. inga fria variabler)
b) Lösningsmängden= {(3,2,1)}.
-----------------------------------------------------------------------------Lösning med hjälp av systemets totalmatris:
1 1 1 6
1 1 1



1 2 2 9 ~ ( rad 2 − rad 1) 0 1 1
1 1 2 7
( rad 3 − rad 1) 0 0 1
6

3 trappstegsform
1
När vi får trappstegsform skriver vi motsvarandeekvations system
x + y + z = 6

y+z=3


z =1

Härav z = 1, y = 2, x = 3
Svar: a) Precis en lösning: x=3, y=2, z=1 ( d.v.s. inga fria variabler)
b) Lösningsmängden= {(3,2,1)}.
========================================================
2. a) Lös systemet
x + y + 2z = 1

2 x + 2 y + 4 z = 3
b) Ange systemets lösningsmängd.
Lösning:
x + y + 2z = 1
x + y + 2z = 1
⇔

2 x + 2 y + 4 z = 3
0 = 1
5 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära ekvationssystem. Gausselimination
Svar: Systemet har ingen lösning.
-----------------------------------------------------------------------Lösning med hjälp av systemets totalmatris:
1 1 2 1
1 1 2 1

 ~ 
 (trappstegsform)
0 0 0 1
2 2 4 3
Ingen lösning eftersom en ledande etta finns i andra delen av totalmatrisen.
Svar: a) Systemet har ingen lösning.
b) Lösningsmängden= ∅ (" den tomma mängden").
========================================================
3. a) Lös systemet
 x + 4 y + 5z = 1

2 x + 8 y + 10 z = 2
b) Ange systemets lösningsmängd.
Lösning:
 x + 4 y + 5z = 1
 x + 4 y + 5z = 1
⇔

,
2 x + 8 y + 10 z = 2
0 = 0
⇒ x = 1 − 4 y − 5z
Svar: Oändligt många lösningar: x = 1 − 4 y − 5z , där y och är godtyckliga tal.
Vi kan beteckna y=t och z=s och beskriva lösningen med hjälp av två parametrar:
x = 1 − 4t − 5s
y=t
z=s
där t, s är godtyckliga tal.
-----------------------------------------------------------------------Lösning med hjälp av systemets totalmatris:
1
1 4 5
1 4 5 1

 ~ 
 ( trappstegsform)
2 8 10 2
 0 0 0 0
Lösbart system ( ingen ledande etta i andra delen). En ledande etta men tre variabler x,y och
z. Vi kan lösa ut en variabel ( ledande x). Två andra y och z varierar fritt. Oändligt många
lösningar:
 x + 4 y + 5z = 1
Motsvarande system på trappstegsform 
0 = 0
x = 1 − 4 y − 5z , där y och är godtyckliga tal.
Vi kan beteckna y=t och z=s och beskriva lösningen med hjälp av två parametrar:
x = 1 − 4t − 5s
y=t
z=s
där t, s är godtyckliga tal
Svar: a) Oändligt många lösningar: x = 1 − 4t − 5s y = t z = s
b) Lösningsmängden är mängden av alla punkter (1 − 4t − 5s, t , s ) där t, s är (vilka som
helst) reella tal.
6 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära ekvationssystem. Gausselimination
Vi kan formellt skriva lösningsmängden = { (1 − 4t − 5s, t , s ) : t , s ∈ R }.
=========================================
4. Lös följande system med avseende på x, y och z
x + y = 2

a) 2 x + 2 y = 4
3x + 3 y = 7

x + y = 2
x + y = 2


b) 2 x + 2 y = 4 c) 2 x + 2 y = 4
x − y = 0
3x + 3 y = 6


Lösning:
x + y = 2

a) 2 x + 2 y = 4 ⇒
3x + 3 y = 7

Svar a) Ingen lösning
x + y = 2

0 = 0
0 = 1

⇒ Ingen lösning
x + y = 2
x + y = 2
x + y = 2



b) 2 x + 2 y = 4 ⇔ 0 = 0
⇔ y = 1
⇒ x = 2 −1 = 1
x − y = 0
0 = 0
 − 2 y = −2



Svar b) Exakt en lösning x = 1, y = 1 .
x + y = 2
x + y = 2


c) 2 x + 2 y = 4 ⇔ 0 = 0
⇔ x = 2 − y , där y är ett godtyckligt tal ( oändligt många
3x + 3 y = 6
0 = 0


lösningar.)
Svar c) Oändligt många lösningar x = 2 − t ,
y =t.
5. Lös följande system med avseende på x, y och z
x + y + z = 7

a)  x + 2 y + 3z = 11
2 x + y + 2 z = 12

x + y + z = 3

b)  x + 2 y + 2 z = 5
2 x + 3 y + 3 z = 2

Lösning:
x + y + z = 7
x + y + z = 7


a)  x + 2 y + 3z = 11 ⇔  y + 2 z = 4
2 x + y + 2 z = 12
 − y = −2


Svar a) x = 4, y = 2, z = 1
x + y + z = 3

b)  x + 2 y + 2 z = 5 ⇔
 2 x + 3 y + 3z = 2

Svar b) Ingen lösning
⇒ y = 2,
z = 1,
x=4
x + y + z = 3
x + y + z = 3


y + z = 2 ⇔  y + z = 2 ⇒ Ingen lösning


 0 = −6
y + z = −4


7 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära ekvationssystem. Gausselimination
6. Lös följande system med avseende på x och y för alla värden på parametrarna a och b
x + 2 y = 1

2 x + ay = b
Lösning:
x + 2 y = 1
x + 2 y = 1
⇔
⇔

2 x + ay = b
 ( a − 4) y = b − 2
Vi har följande fall:
A) a ≠ 4
Systemet har exakt en lösning:
b − 2 a − 2b
b−2
,
x = 1− 2y = 1− 2
=
y=
a−4 a−4
a−4
B1) a = 4 och b − 2 ≠ 0 dvs b ≠ 2
Systemet har följande form:
x + 2 y = 1
där b − 2 ≠ 0.

 0=b−2
Alltså saknar systemet lösning i detta fall.
B2) a = 4 och b − 2 = 0 dvs b = 2
Systemet har följande form:
x + 2 y = 1

0=0
Vi löser ut x från den första ekvationen och får:
x = 1 − 2 y , där y är ett godtyckligt tal (oändligt många lösningar)
eller
x = 1 − 2t
y=t
Svar :
A) a ≠ 4 , Systemet har exakt en lösning:
b−2
a − 2b
, y=
.
x=
a−4
a−4
B1) a = 4 och b ≠ 2
Systemet har INGEN lösning.
B2) a = 4 och b = 2
Systemet har oändligt många lösningar:
x = 1 − 2t , y = t
där t ät ett godtyckligt tal.
7. Lös följande system med avseende på x, y och z för alla värden på parametrarna a och b
8 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära ekvationssystem. Gausselimination
x + y + z = 2

x + 2 y + 2z = 3
2 x + 3 y + az = b

Lösning:
x + y + z = 2
x + y + z = 2
x + y + z = 2



⇔  y + z =1
x + 2 y + 2z = 3 ⇔  y + z = 1
2 x + 3 y + az = b
 y + ( a − 2) z = b − 4
 ( a − 3) z = b − 5



Vi har följande fall:
A) a ≠ 3
Systemet har exakt en lösning:
b−5
,
z=
a−3
a−b+2
,
y = 1− z =
a−3
x = 2− y − z =1
B1) a = 3 och b − 5 ≠ 0 dvs b ≠ 5
Systemet har följande form:
x + y + z = 2

där b − 5 ≠ 0.
 y + z =1
 0 = b−5

Alltså saknar systemet lösning i detta fall.
B2) a = 3 och b − 5 = 0 dvs b = 5
Systemet har följande form:
x + y + z = 2

 y + z =1
 0=0

Vi löser ut ledande variabler x och y och får:
y = 1 − z , och x=1 där y är ett godtyckligt tal (oändligt många lösningar)
eller
x = 1, y = 1 − t , z = t , där t är ett godtyckligt tal.
Svar :
A) a ≠ 3 , Systemet har exakt en lösning:
b−5
a−b+2
, z=
.
x = 1, y =
a−3
a−3
B1) a = 3 och b ≠ 5
Systemet har INGEN lösning.
B2) a = 3 och b = 5
Systemet har oändligt många lösningar:
x = 1, y = 1 − t , z = t
där t ät ett godtyckligt tal.
9 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära ekvationssystem. Gausselimination
====================================================
SKÄRNINGSPUNKTER MELLAN GEOMETRISKA PUNKTMÄNGDER ( LINJER OCH
PLAN)
 x  1 + t 

  
8. Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen L1:  y  =  t 
 z  1 + t 
  

 x  t 

  
och linjen L2:  y  =  − 1 + t  .
z  4−t 
  

 x0 
 
Lösning: En punkt P=  y0  ligger på L1 om det finns ett parametervärde t1 så att
z 
 0
 x0  1 + t1 

  
 y0  =  t1  . Samma punkt P ligger på L2 om det finns ett parametervärde t2 så att
 z  1 + t 
1
 0 
 x0   t 2 

  
 y0  =  − 1 + t 2  . Observera att vi måste ha olika beteckningar på parametrarna eftersom en
 z   4 −t 
2 
 0 
skärningspunkt kan svara mot skilda parametervärden.
För att finna eventuella skärningspunkter löser vi
1 + t1 


 t1  =
1 + t 
1

 t2 


 − 1 + t 2  dvs
 4 −t 
2 

t1 − t 2 = −1
 1 + t1 = t 2


 t1 = −1 + t 2 ⇔ t1 − t 2 = −1 ⇔
 t +t =3
1 + t = 4 − t
1
2

 1 2
t1 − t 2 = −1

 0=0 ⇔
 2t = 4
2

t1 − t 2 = −1

 t2 = 2
 0=0

 x  1 + t1   2 
  
 0 
Härav t1 = 1 och t 2 = 2 som gör en skärningspunkt  y0  =  t1  =  1  .
 z  1 + t   2 
1
 0 
 
 x0   t 2   2 
  
  
Alternativt,  y0  =  − 1 + t 2  =  1 
 z   4 −t   2 
2 
 
 0 
 2
 
Svar: En skärningspunkt  1  .
 2
 
10 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära ekvationssystem. Gausselimination
9. Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen L1 som går genom punkterna A= (1,1,1)
och B=(1,2,2) och linjen L2 som går genom punkterna C=(0,2,2) och D=(1,4,2).
Lösning:
 0
 x  1  0 
 
     
AB =  1  är en riktningsvektor för linjen L1 som därmed har ekvationen  y  = 1 + t  1 
 1
 z  1  1 
 
     
eller
 x  1 

  
L1:
 y  = 1 + t  (*)
 z  1 + t 
  

 x   0  1
     
På samma sätt får vi ekvationen för L2:  y  =  2  + s 2  eller
 z   2  0
     
 x  s 

  
L2:  y  =  2 + 2 s  . (**)
z  2 
  

Linjerna (*) och (**) skär varandra om det finns t och s sådana att
 1   s 

 

1 + t  =  2 + 2 s  .
1 + t   2 


 
Detta gör systemet
1= s

s = 1
s = 1
 s =1




1 + t = 2 + 2 s ⇔ − 2 s + t = 1 ⇔  t = 3 ⇔  t = 3 ⇒ Ingen lösning.
 1+ t = 2
 t =1
0 = − 2
 t =1




Systemet saknar lösning, med andra ord, L1 och L2 har ingen gemensam punkt.
10. Bestäm eventuella skärningspunkter mellan följande två plan
a) x + y + z = 1 och 2 x + 2 y + 2 z = 5
b) x + y + z = 1 och x + 2 y + 2 z = 3
c) x + y + z = 1 och 3x + 3 y + 3z = 3
Lösning:
a) Vi löser systemet
x + y + z = 1
x + y + z = 1
⇔

 2x + 2 y + 2z = 5
0=3
Systamet saknar lösning ⇔ Ingen skärningspunkt (De två planen är parallella) .
11 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Linjära ekvationssystem. Gausselimination
x + y + z = 1
x + y + z = 1
b) 
⇔ 
y+z=2
x + 2 y + 2z = 3

Två ledande variabler x och y samt en fri variabel z . Vi betecknar z = t och får y = 2 − t
och x = −1 . Oändligt många lösningar
 x  −1 

  
Lösningsmängden  y  =  2 − t  innehåller en parameter.
z  t 
  

 x  −1 

  
Skärningspunkter bildar räta linjen  y  =  2 − t  .
z  t 
  

c) Det är uppenbar att båda ekvationen x + y + z = 1 och 3x + 3 y + 3z = 3 beskriver samma
plan (eftersom ekv2 är 3* ekv1).
Anmärkning: Om vi löser systemet
x + y + z = 1
x + y + z = 1
⇔

3 x + 3 y + 3 z = 3
0 = 0
som ger (två fria variabel) z = t , y = s och x = 1 − s − t får vi samma plan på
parameterformen
 x   1   − 1  − 1
       
 y  =  0  + s 1  + t  0 
 z  0  0   1 
       
Svar: a) Ingen skärningspunkt
 x  −1 

  
b) Skärningspunkter bildar räta linjen  y  =  2 − t  .
z  t 
  

c) De två plan sammanfaller.
11. Bestäm eventuella gemensamma punkter för följande tre plan:
a) x + y + z = 2 , x + 2 y + 2 z = 3 och 2x + 3y + 3z = 1
b) x + y + z = 2 , x + 2 y + 2 z = 3 och x + 2y + 3z = 4
c) x + y + z = 2 , x + 2 y + 3z = 3 och y + 2z = 1
Svar: a) Inga gemensamma punkter (för all tre plan).
b) Punkten (1,0 1) ligger i alla tre plan.
 x  1+ t 

  
c) Gemensamma punkter är alla punkter på linjen  y  = 1 − 2t  .
z  t 
  

12 av 12