Kraft och dynamik

Kraft och dynamik
8
Vad innebär Newtons lagar?
Hur kan en krockkudde rädda liv?
Är det sant att en bil som kör med
konstant fart inte påverkas av några krafter?
Mekanikens historia
Aristoteles och Galilei
Det kan tyckas rimligt att tro att det finns ett samband mellan ett föremåls toppfart och den kraft som föremålet påverkas av – ju större kraft
i bilmotorn, desto snabbare kan bilen köra. Eller?
Detta är en missuppfattning som är mycket gammal. Vi sätter klockan
till 300 år f. Kr och byter ut bilen mot en grekisk häst och vagn på en
dammig landsväg.
Greken Aristoteles, som levde då, var den förste som formulerade regler
för ett föremåls rörelse. Aristoteles menade t.ex. att två hästar kan dra
en vagn dubbelt så fort som en häst. Vagnens maximala fart skulle alltså
vara direkt proportionell mot den kraft som verkade på vagnen – en
vanlig uppfattning under många århundraden.
Aristoteles skrev många verk om bland annat fysik, kemi, ekonomi och
filosofi och var en naturvetenskaplig auktoritet under nästan 2 000 år.
Ända fram till slutet av 1500-talet bestod studier i fysik av att läsa Aristoteles verk och sedan försöka förklara det som stod i böckerna.
På 1500-talet var det inte många vetenskapsmän som ens kunde drömma
om göra egna experiment för att pröva om det som stod skrivet i Aristoteles böcker verkligen stämde. Om böckerna inte stämde överens med
verkligheten, måste det helt enkelt bero på att man inte förstod det som
stod skrivet i böckerna på ett korrekt sätt.
Teckningen i bakgrunden är från mitten av 1500-talet och visar ett
av problemen att beskriva verkligheten med hjälp av Aristoteles fysik.
Bilden visar hur en kanonkula avfyras snett uppåt (från höger). Kanonkulan fortsätter i en snett uppåtriktad bana så länge som en kraft driver
den framåt. Vid en viss tidpunkt, ganska långt från kanonen, är plötsligt
all kraft ”förbrukad” och kulan faller rakt ner mot jorden (till vänster).
Under 1500- och 1600-talet började många fysiker tycka att det var
orimligt att acceptera Aristoteles verk – texterna stämde så illa överens
med vad man kunde se i naturen. Några enstaka fysiker började med
något för den tiden så revolutionerande som att ställa upp nya teorier
och utföra egna experiment.
202
Krafter och dynamik
© Författarna och Zenit AB
Galileo Galilei levde från 1564 till
1642.
Den mest framstående av experimentalfysikerna vid denna tid var Galilei. Han mätte krafter, utförde fallförsök och observerade stjärnhimlen
med sin nykonstruerade kikare. Galilei blev banbrytande i sitt nya sätt att
studera fysik. Han gjorde iakttagelser och experiment och använde matematik som ett redskap för att kunna beskriva fysikaliska förlopp. Med
Galilei kunde fysiken träda ut ur Aristoteles skugga efter nästan 2 000 år.
 1
Newtons mekanik
 3
Även om många fysiker försökte lösa problemet med hur kraft och hastighet hänger samman var det länge en svår nöt att knäcka.
I slutet av 1600-talet revolutionerade engelskmannen Isaac Newton
mekaniken genom att formulera tre grundläggande rörelselagar: tröghetslagen, kraftlagen samt lagen om verkan och motverkan. Dessa tre
lagar utgör grunden för hela dynamiken. Vi återkommer till dem senare
i kapitlet.
De tre rörelselagarna är bara en liten del av de resultat som beskrivs
i Newtons kända verk Principia eller som det mera fullständigt heter:
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Naturvetenskapens matematiska principer).
Principia är ett av de mest betydelsefulla naturvetenskapliga dokument
som någon människa skapat. Då det gavs ut 1687 väckte det en kolossal
uppståndelse i Europas vetenskapliga kretsar. Principia skapade förutsättningarna att med hjälp av naturvetenskap beskriva vår värld och har
haft en avgörande betydelse för vår vetenskapliga utveckling.
Isaac Newton levde från 1642 till 1727.
I början av 1900-talet insåg fysiker att den newtonska mekaniken inte
kan beskriva allt i den fysikaliska världen. Eftersom teorin inte kunde
göra bra förutsägelser på atomnivå, utvecklades en ny teori för detta,
kvantmekaniken.
Dessutom visade det sig att den klassiska mekaniken inte kunde beskriva
kroppars rörelser vid hastigheter nära ljusets. För att förklara detta
behövs Einsteins relativitetsteori, som vi redan stiftat bekantskap med.
Lös uppgift 801 på sidan 228
Krafter och dynamik
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
Kvantmekanik och relativitetsteori
© Författarna och Zenit AB
 2
203
11
S
Krafter
Ett äpple som faller, en bil som ökar sin fart för att kunna köra om och
en fotboll som sparkas iväg har något gemensamt – alla accelereras och
alla påverkas av en yttre kraft.
Fluft
Ftyngd
En kraft har både storlek och riktning.
Här verkar tyngdkraften, Ftyngd, nedåt och
luftmotståndet, Fluft, som bromsar rörelsen,
uppåt (observera att pilarnas längd inte är
proportionella mot värdena i texten).
Den resulterande kraften är:
Fres = Ftyngd – Fluft
som är riktad nedåt.
Ett föremål kan naturligtvis påverkas av flera krafter samtidigt. I exemplen ovan påverkas föremålen av tyngdkraft och luftmotstånd. Vi är
intresserade av summan av alla krafter på föremålet. Denna kraft kallar
vi för den resulterande kraften, Fres, på föremålet.
När vi ska räkna med krafter, måste vi ta hänsyn till att krafterna har
både storlek och riktning. I exemplet med det fallande äpplet kommer
den resulterande kraftens storlek att vara skillnaden mellan den nedåtriktade tyngdkraften och den uppåtriktade bromskraften orsakad av
luftmotståndet, Fres = Ftyngd - Fluft. Om vi t.ex. har att Ftyngd = 1,24 N och
Fluft = 0,02 N så är Fres = 1,22 N riktad neråt.
Kraftlagen
Newton upptäckte att det inte fanns något direkt samband mellan hastighet och kraft. Det gör det däremot mellan acceleration och kraft –
ju större kraft ett föremål påverkas av desto större är dess acceleration.
Detta samband brukar kallas kraftlagen eller Newtons andra lag:
Accelerationen är proportionell mot den resulterande kraft som
verkar på föremålet, och verkar i den resulterande kraftens riktning.
Newton gav en matematisk beskrivning av sambandet mellan acceleration och kraft:
Fres = m · a
F
Bilen accelererar i samma riktning
som den resulterande kraften.
204
Krafter och dynamik
Här är Fres den resulterande kraften på föremålet, m föremålets massa
och a den acceleration föremålet får under kraftpåverkan. Ett föremål
med stor massa behöver alltså en större kraft för att få samma acceleration som ett föremål med liten massa.
© Författarna och Zenit AB
Kraft och acceleration
Ett föremål som faller fritt påverkas bara av tyngdkraften (om luftmotståndet försummas). Tyngdkraften blir alltså den resulterande kraften,
Fres = m · g.
 1
Med hjälp av kraftlagen har vi att Fres = m · a. Det innebär att mg = ma
och att a = g = 9,82 m/s2.
 2
Tröghetslagen
 3
Newton visade att ett föremål kan röra sig utan att det påverkas av någon
kraft. Om bara en kraft sätter föremålet i rörelse, fortsätter det att röra
sig tills någon annan kraft stoppar det.
 5
När bilen bromsar känns det som om
vi slungas framåt. Vad som egentligen
händer är att medan bilen bromsar fortsätter vi framåt med samma hastighet som
bilen tidigare hade.
 6
En flicka på skridskor som glider fram på isen kommer nära en sådan
beskrivning. För att komma igång måste hon påverkas av någon kraft –
hon kan bli ivägknuffad eller själv sätta fart. Sedan kan hon glida fram
över isen utan att hon påverkas av någon resulterande kraft. Om det inte
fanns något luftmotstånd eller friktion mot isen skulle hon fortsätta att
röra sig så länge hon inte bromsar själv eller bromsas av något. Flickan
på skridskor är ett exempel på tröghetslagen eller Newtons första lag:
 7
 8
 9
10
Ett föremål som inte påverkas av någon resulterande kraft förblir i
vila eller fortsätter att röra sig med konstant fart längs en rät linje.
Vi kan visa att detta stämmer genom att utnyttja kraftlagen. Om den
resulterande kraften på ett föremål är 0 N så får vi att:
11
S
0 = m· a
Eftersom detta ger a = 0 får föremålet accelerationen 0 m/s2. Det innebär att om föremålet redan rör sig, fortsätter det att röra sig med samma
hastighet. Om föremålet är i vila (ligger stilla), förblir det i vila.
© Författarna och Zenit AB
 4
Krafter och dynamik
205
Lagen om aktion och reaktion
Lagen om aktion och reaktion beskriver vad som händer då två föremål
påverkar varandra med krafter.
Om du t.ex. trycker din handflata mot en kamrats handflata påverkar
du henne med en kraft som är riktad bort från dig. Samtidigt påverkar
din kamrat dig med en lika stor och motriktad kraft. Observera att den
första kraften påverkar din kamrat, den andra dig. Detta är ett exempel
på lagen om aktion och reaktion eller Newtons tredje lag:
Två föremål påverkar varandra med krafter
som är lika stora och motsatt riktade.
Bilden visar ett annat exempel på Newtons tredje lag. Om en boll kastas
mot en vägg påverkar bollen väggen med en viss kraft, och väggen
påverkar bollen med en lika stor motriktad kraft. Verkan av kraften på
bollen blir att den vänder tillbaka.
Bollen påverkas av en kraft åt vänster
och väggen av en kraft åt höger. Dessa
båda krafter är lika stora och motriktade.
Experiment Kraftlagen
En vagn placeras på en luftkuddebana. I vagnen fästs
ett snöre som via ett hjul leder till ett antal tyngder som
kan accelerera vagnen. Häng t.ex. en 10-gramsvikt i
snöret och placera två 20-gramsvikter på vagnen.
Släpp sedan vagnen, mät hastigheten och beräkna
accelerationen. Placera sedan en 20-gramsvikt i snöret
och 30 g på vagnen och upprepa.
206
Krafter och dynamik
Rita hur accelerationen beror av den accelererande
kraften.
Att fundera över: Varför är det viktigt att flytta tyngder mellan snöre och vagn?
Försöket kan upprepas med konstant dragkraft men
varierande massa på vagnen. Hur beror accelerationen
på massan?
© Författarna och Zenit AB
Experiment Lagen om aktion och reaktion
 1
Du behöver en våg, en liten bägare, en tyngd och en
dynamometer. Fyll bägaren till drygt hälften med vatten
och placera den på vågen. Fäst vikten i dynamometern
och sänk ner vikten i vattnet.
Studera vad som händer med vågens och med dynamometerns utslag då du sänker ned vikten. Förklara
först det du ser och gör sedan mätningar för att kontrollera att din förklaring stämmer.
 2
 3
EX EMPEL 1
Kulans massa är m = 150 g = 0,150 kg. Kraftlagen ger:
En kula, vars massa är 150 g, rullar
nerför ett lutande plan. Kulans acceleration bestäms till 2,4 m/s2. Hur stor är
den resulterande kraften på kulan?
F = m · a = (0,150 · 2,4) N = 0,36 N
EX EMPEL 2
Lisa står i en hiss som accelererar uppåt
med 1,2 m/s2. Lisa väger 52 kg.
a) Hur stor är den accelererande kraften
på Lisa?
b) Hur stor är den uppåtriktade kraften
på Lisa?
c) Med hur stor kraft pressar Lisa mot
golvet när hissen accelererar och när
den går med konstant fart?
Experiment
Fundera över hur du ska kunna
mäta accelerationen hos en hiss
med hjälp av en badrumsvåg.
Genomför experimentet!
 4
 5
Svar: Den resulterande kraften utmed planet är 0,36 N.
 6
 7
a) Enligt kraftlagen är den accelererande kraften på Lisa:
Fres = m · a = 52 · 1,2 N = 62,4 N
b) Eftersom Lisa påverkas av sin tyngd neråt, så gäller att:
 8
Fres = Fupp - Fg (där Fg = m · g)
Det innebär att:
Fupp= Fg + Fres = (52 · 9,82 + 62,4)N ≈ (510,6 + 62, 4)N ≈ 573N
c) Den kraft Lisa påverkar golvet med är lika stor som den kraft
golvet påverkar Lisa med och motriktad. När hissen accelererar
påverkar alltså Lisa golvet med en nedåtriktad kraft på 570 N.
Då hissen går med konstant fart påverkar Lisa golvet med en
nedåtriktad kraft som är lika stor som hennes tyngd, dvs. ca
510 N, och golvet påverkar Lisa uppåt med en lika stor kraft.
Svar: a) Den accelererande kraften är 62 N. b) Den uppåtriktade
kraften är 570 N. c) Hissen påverkas av en neråtriktad kraft, som
vid acceleration är 570 N och vid konstant fart 510 N.
Lös uppgifterna 802-806 på sidan 228
© Författarna och Zenit AB
Krafter och dynamik
207
 9
10
11
S
Krocktest.
Impulslagen
För att ett föremål ska kunna ändra sin hastighet krävs att det påverkas
av en resulterande kraft. Ju längre denna kraft får verka, desto större blir
hastighetsändringen.
Om en bil kör in i en vägg, så som krocktestet på bilden visar, är det en
fördel om kraften får verka under längre tid. Ju längre tid hastighetsförändringen tar, desto mindre blir kraften som påverkar personerna
i bilen. Moderna bilar är därför försedda med deformationszoner som
gör att krocktiden förlängs. Utöver detta är moderna bilar utrustade
med krockkuddar som fördelar kraften och på så sätt ytterligare förlänger den tid som kraften verkar.
Impuls
När ett föremål påverkas med en resulterande kraft accelereras det.
Sambandet mellan kraft och acceleration ges av kraftlagen, F = m · a .
Om accelerationen skrivs som a = Dv/Dt kan kraftlagen tecknas:
F = m⋅
∆v
∆t
F · Dt = m · Dv
Sambandet F · Dt = m · Dv brukar kallas impulslagen.
208
Krafter och dynamik
© Författarna och Zenit AB
Produkten av kraften, F, och den tid kraften verkar, Dt, kallas impuls, I,
och har enheten Ns:
I = F · Dt
 1
Rörelsemängd
 2
Produkten av massa, m, och fart, v, kallas rörelsemängd, p, och har enheten kgm/s:
p=m·v
Impulslagen kan alltså skrivas som:
 4
F · Dt = m · Dv
I = Dp
 5
eller formuleras i ord:
 6
Impulsen är lika stor som förändringen av rörelsemängd.
 7
Exempel på impuls
En trapetskonstnär på cirkus har oftast ett säkerhetsnät under sig för att
kunna överleva ett eventuellt fall. Om trapetskonstnären misslyckas är
rörelsemängdsändringen densamma, p = m · Dv, oavsett om det finns
ett säkerhetsnät eller inte. Av impulslagen ser du att:
F · Dt = m · Dv
Skillnaden mellan de båda fallen är att utan säkerhetsnät verkar en stor
( dödande ) kraft under en kort tid. Med säkerhetsnät är Dt stort – kraften verkar under lång tid och är ofarlig för trapetskonstnären.
För att tydliggöra skillnaderna kan du tänka dig en bil som bromsas till
stillastående genom att köra in i en bergvägg eller i en höstack. I båda
fallen är rörelsemängdsändringen lika stor, men om inbromsningstiden är hundra gånger längre för bilen som kör in i höstacken, är kraften
endast en hundradel ( eftersom impulsen är konstant ).
I många fall kan impulslagen användas istället för kraftlagen. Detta är
speciellt lämpligt då hastigheter är kända eller ska beräknas.
© Författarna och Zenit AB
 3
Krafter och dynamik
209
 8
 9
10
11
S
Kollision med en vagn
Vi ska nu visa ett experiment med vars hjälp impulslagen kan verifieras.
I försöket rör sig en liten vagn mot och kolliderar med en kraftgivare.
Efter kollisionen vänder vagnen och rullar tillbaks i motsatt riktning.
Kraften som funktion av tiden.
Genom att låta vagnen kollidera med en kraftgivare kan den variation i
kraft som påverkar vagnen vid kollisionen registreras och impulsen kan
beräknas. Om vagnen dessutom förses med en reflektor kan vagnens
rörelse studeras med hjälp av en ultraljudsdetektor. På så sätt kan rörelsemängden beräknas.
Bilderna visar dels kraften, dels hastigheten som funktion av tiden.
Kraften växer upp mot ett maxvärde för att sedan avta ned till noll när
vagnen släpper kontakten med givaren. Hastigheten ändras direkt efter
kollisionsögonblicket eftersom vagnen ändrar rörelseriktning.
Tidsskalan är väsentligt olika i de båda bilderna. Hela kraftkurvan utspelas under den korta tid då hastigheten ändrar riktning.
Hastigheten som funktion av tiden.
Rörelsemängdsändring
Genom att placera markören på lämpliga ställen i v( t )-grafen kan vagnens hastighetsförändring vid kollisionen bestämmas. Av de båda bilderna framgår att hastighetsförändringen är:
Dv = ( -0,323 – 0,464 ) m/s = -0,787 m/s
Vagnens massa är 1135 g. Rörelsemängdsändringen blir alltså :
m · Dv = -1,135 · 0,787 kgm/s -0,893 kgm/s
Det negativa tecknet ska tolkas så att hastighetsändringen och rörelsemängdsändringen är motsatta positiv rörelseriktning, dvs. motsatt vagnens ursprungliga rörelseriktning.
Hastigheten vid t = 1,997 s är 0,464 m/s.
210
Krafter och dynamik
Hastigheten vid t = 2,196 s är -0,323 m/s.
© Författarna och Zenit AB
tid
Om kraften varit konstant, skulle vagnens impuls kunna beräknas som
arean av rektangeln under kraftkurvan.
kraft
I detta fall varierar kraften med tiden. Du kan därför betrakta kraftkurvan som sammansatt av smala rektanglar, vars bas är tidsintervallet
mellan mätpunkterna ( 0,0025 s ). Om du antar att kraften som registrerats av kraftgivaren är konstant under ett sådant intervall, kan impulsen
bestämmas som:
F5
F1
Dt
Impuls
Dt
tid
Impulsen fås genom att summera mätvärden och multiplicera med tidsintervallet
mellan mätpunkterna (se översta bilden på
föregående sida).
 3
Genom att summera mätvärdena som registrerats av kraftgivaren och
sedan multiplicera värdet med 0,0025 s får du värdet 0,898 Ns på impulsen på kraftgivaren.
 4
Om ni gjort experimentet kan det vara intressant att göra om det, fast
med en liten skumgummibit fasttejpad i fronten på vagnen. Försök få
vagnen att träffa med samma hastighet och jämför sedan kurvorna. Vad
är detta exempel på?
En bil, som väger 950 kg, påverkas
under 5,0 s av en accelererande kraft
som är 1,1 kN.
a) Hur stor blir impulsen på bilen?
b) Hur stor rörelsemängdsändring får
bilen?
c) Hur stor blir bilens fartändring?
I = F · Dt = 1,1 · 103 · 5,0 Ns = 5,5 · 103 Ns
b ) Rörelsemängdsändringen är 5,5 · 103 kgm/s, lika stor som
impulsen.
c ) Eftersom du vet rörelsemängdsändringen och massan, kan fartändringen beräknas:
Dv =
5, 5 ⋅10
m/s
950
 5
 6
 7
 8
a ) Impulsen är:
 9
10
3
5,79 m/s
20,8 km/h
11
Svar : a ) Impulsen är 5,5 · 103 Ns.
b ) Rörelsemängdsändringen är 5,5 · 103 kgm/s.
S
c ) Fartändringen är 21 km/h.
Lös uppgifterna 807 – 809 på sidan 229
© Författarna och Zenit AB
 2
F1 · Dt + F2 · Dt + F3 · Dt +...+ Fn · Dt = Dt · ( F1 + F2 + F3 +...+ Fn )
Enligt Newtons tredje lag är impulsen på vagnen motriktad ( -0,898 Ns ),
vilket stämmer bra överens med den registrerade rörelsemängdsändringen ( se föregående sida ).
E X EMPEL 3
 1
Krafter och dynamik
211
Stöt
Många händelser kan beskrivas som en kollision mellan två eller flera
föremål. Exempel på kollisioner är t. ex. en krock mellan två biljardkulor,
mellan en atomkärna och en alfapartikel, mellan jorden och en meteorit
eller mellan två bilar i trafiken.
En kollision ( eller en stöt ) innebär inom fysiken en händelse då två
eller flera föremål kortvarigt växelverkar med varandra. Det kan vara
mycket komplicerat att beskriva de krafter som verkar i själva kollisionsögonblicket. Lyckligtvis kan man ändå förutsäga vad som kommer att
inträffa efter en stöt om man bara har tillräckligt med information om
de inblandade föremålens rörelser före stöten.
Rörelsemängd är ett centralt begrepp vid diskussion av stötförlopp
eftersom rörelsemängden bevaras vid stöten. Det innebär att den sammanlagda rörelsemängden hos föremålen före stöten är lika stor som
efter stöten.
212
Krafter och dynamik
© Författarna och Zenit AB
ex 4
Rak central stöt
Du kommer i fortsättningen att i huvudsak studera raka centrala stötar.
Föremålen rör sig då hela tiden längs samma riktningslinje.
ex 3
v1f
v2f
m1
m2
F1
F2
m1
m2
v1e
v2e
m1
m2
 1
 2
s 23
s 24ö
Föremålens rörelse före stöten.
Kraftverkan på föremålen under stöten.
Föremålens rörelse efter stöten.
Bilderna ovan visar vad som händer vid kollisionen. Under kollisionen
verkar kraften F1 på det vänstra föremålet och F2 på det högra. Krafterna är, i enlighet med Newtons tredje lag, lika stora och motriktade
och verkar under lika lång tid, Dt.
s 24n
Om du tillämpar impulslagen på det vänstra föremålet får du att:
 3
 4
 5
 6
F1 · Dt = m1 · v1e – m1 · v1f
 7
och på motsvarande sätt för det högra föremålet:
F2 · Dt = m2 · v2e – m2 · v2f
Eftersom de båda krafterna är motriktade är F1 = –F2. Om du summerar
krafterna blir alltså:
 8
 9
F1 · Dt + F2 · Dt = 0 = m1 · v1e – m1 · v1f + m2 · v2e – m2 · v2f
Detta kan du skriva som :
10
m1 · v1f + m2 · v2f = m1 · v1e + m2 · v2e
I vänstra ledet står summan av rörelsemängderna före stöten och i högra
ledet summan av rörelsemängderna efter stöten. Rörelsemängderna är
alltså lika stora före och efter stöten. Detta gäller för alla stötar:
S
Rörelsemängden bevaras vid en stöt.
© Författarna och Zenit AB
Krafter och dynamik
11
213
s 23
ex 3
Före stöten:
v1f
s 24ö
m1
s 23
s 24n
Efter stöten:
v1e
0 m/s
m2
v2e
s 24ö
m1
s 24n
m2
Stöt vid special­fallet v2f = 0.
Är stöten fullkomligt elastisk gäller att
v2e - v1e = v1f - 0, den relativa hastigheten
bevaras. Vad händer med v1e och v2e om
m1 = m2?
Det är viktigt att du tänker på att rörelsemängden har riktning. Om föremålen rör sig åt olika håll, kommer alltså en rörelsemängd att betraktas
som positiv och en annan som negativ.
I allmänhet bevaras inte rörelseenergin vid en stöt. Vid de flesta kollisioner uträttas ett deformationsarbete och en del av rörelseenergin
omvandlas till värme. Den totala rörelseenergin minskar därför oftast
vid en stöt.
I den mikroskopiska världen ( vid kollisioner mellan partiklar ) förekommer stötar där rörelseenergin bevaras. Sådana stötar kallas fullkomligt
elastiska. Ibland approximerar man och säger att en stöt, t. ex. mellan två
vagnar med fjädrar eller repellerande magneter, är så gott som elastisk.
Vid en elastisk stöt bevaras den relativa hastigheten. Det innebär att:
v1f – v2f = v2e – v1e
Observera att detta enbart gäller då stöten är fullkomligt elastisk.
Rörelseenergin och den relativa hastigheten
bevaras vid en fullständigt elastisk stöt.
Vid vissa stötar häftar föremålen ihop vid kollisionen. En stöt där detta
sker kallas fullkomligt oelastisk.
Sammanfattningsvis kan sägas att oavsett om stöten är fullkomligt elastisk eller fullkomligt oelastisk eller något mellanliggande så bevaras
alltid rörelsemängden. Endast om stöten är fullkomligt elastisk bevaras
rörelseenergin och därmed också den relativa hastigheten.
Experiment Rörelsemängd
Låt två personer som sitter på varsin lättrullad kontorsstol ”ta spjärn” mot varandra med kraftigt böjda armar
och skjuta isär stolarna. Kan sträckorna utnyttjas för att
visa att rörelsemängderna hos de båda ”stolarna” är lika
och motriktade?
214
Krafter och dynamik
Låt gärna personer med olika massor upprepa försöket
och mät upp de sträckor som stolarna rullar.
Förklara experimentet med hjälp av impulslagen och
energiresonemang.
© Författarna och Zenit AB
EX EMPEL 4
a ) Rörelsemängden bevaras :
Två vagnar rör sig mot varandra och
kolliderar i en frontalkollision. Vid kollisionen fastnar vagnarna i varandra.
( 0,250 · 1,5 – 0,180 · 1,3 ) kgm/s = 0,430 kg · v
a) Hur stor fart får vagnarna efter
stöten?
ex 4
b) Hur förändras den totala rörelseenergin hos vagnarna?
Före stöten:
1,5 m/s
ex 3
-1,3 m/s
0,250 kg
0,180 kg
b ) Den totala rörelseenergin före kollisionen är :
1
1
⋅ 0, 250 ⋅1, 52 + ⋅ 0,10 ⋅1, 32 J ≈ 0, 433 J
2
2
Den totala rörelseenergin minskar från 0,433 J till 0,023 J, dvs. med ca 95 %.
EX EMPEL 5
En kollision mellan två vagnar med
fjädrande stötfångare på en luftkuddebana är så gott som elastisk.
ex 3
Före stöten:
0,350 · 2,5 = 0,350 · v1e + 0,270 · ( v1e + 2,5 )
s 23
Eftersom det är en elastisk stöt bevaras den relativa hastigheten :
2,5 = v2e – v1e
0,270 kg
v1e
v2e
0,350 kg
0,270 kg
 7
 9
10
0,875 = 0,350 · v1e + 0,270 · v1e + 0,675
0,200 = 0,620 · v1e
11
v1e 0,32
0,350 kg
 5
 8
0,350 · 2,5 = 0,350 · v1e + 0,270 · v2e
Sätt in v i den första ekvationen :
© Författarna och Zenit AB
ex 3
Rörelsemängden bevaras :
Vilka farter får vagnarna efter stöten?
Efter stöten:
ex 4
Alla enheter anges i kg resp. m/s. Vagn A har hastigheten u efter
stöten och vagn B har hastigheten v efter stöten.
v2e = v1e + 2,5
0 m/s
 4
 6
Före kollisionen rör sig vagn A med
massan 350 g och farten 2,5 m/s in mot
vagn B med massan 270 g som står
stilla.
2,5 m/s
ex 4
b ) Rörelseenergin minskar med ca 95 %, från 0,43 J till 0,02 J.
(0,250 + 0,180) kg
s 23
s 24n
 3
Efter kollisionen är den totala rörelseenergin:
1
⋅ 0, 430 ⋅ 0, 332 J ≈ 0, 023 J
2
s 24ö
 2
Svar : a ) Vagnarna får farten 0,33 m/s åt den tyngre vagnens håll.
v
Efter stöten:
 1
v 0,33 m/s
v2e 2,82
S
Svar : Efter stöten har vagn A farten 0,3 m/s och vagn B 2,8 m/s.
Lös uppgifterna 810 – 813 på sidan 229
Krafter och dynamik
215
Friktion
Ett föremål som rör sig längs ett underlag påverkas alltid av ett visst
motstånd. Denna motståndskraft orsakas av ojämnheter i ytan hos
föremålet. När ytorna är i kontakt, griper ojämnheterna tag i varandra.
Denna motståndskraft kallas friktionskraft.
F
Ffriktion
Så länge som den kraft man puttar
med understiger den fullt utvecklade friktionskraften är kraft och friktionskraft lika
stora. Den resulterande kraften på bilen är
noll – bilen rör sig inte.
Friktionskraftens storlek beror av strukturen hos de båda ytor, som är i
kontakt med varandra. Däremot beror den inte nämnvärt på hur snabbt
föremålet förflyttas längs ytan. Om ett föremål ligger stilla och man
utsätter det för en kraft parallell med underlaget kommer föremålet att
börja röra sig först då kraften man drar med blir tillräckligt stor.
Tänk dig att du ska försöka putta igång en bil som fått motorstopp.
Innan du börjar putta är friktionskraften = 0 N. När du börjar putta och
successivt ökar kraften, ökar även friktionskraften – friktionskraften är
hela tiden lika stor som dragkraften och bilen rör sig inte ur fläcken.
F
Ffriktion
När den kraft man puttar med överstiger den fullt utbildade friktionskraften
är den resulterande kraften riktad framåt
– bilen accelererar.
Men när du tar i på allvar kan inte friktionskraften längre motverka den
kraft du puttar med. Man säger att friktionskraften är fullt utvecklad
– den kan inte bli större. Eftersom kraften du puttar med är större än
friktionskraften börjar bilen röra sig. I och med att bilen rör sig kan du
fortsätta att putta med en kraft som är lika stor som friktionskraften.
Bilen fortsätter då att röra sig med konstant fart. Vad händer om du
puttar med en större eller mindre kraft?
Låt oss studera en situation där ett föremål ligger
på ett horisontellt bord.
FN
Ftyngd
Tyngden, Ftyngd, påverkar föremålet med en nedåtriktad kraft. Från bordet verkar en uppåtriktad
kraft som är lika stor och motsatt riktad. Denna
kraft kallas normalkraften, FN. Normalkraften är
alltid vinkelrätt mot underlaget, även om underlaget inte är horisontellt.
Man kan visa att den fullt utvecklade friktionskraften är proportionell mot normalkraften.
Detta gäller även då underlaget lutar. Vi kan formulera detta som:
Ffriktion = μ · FN
216
Krafter och dynamik
© Författarna och Zenit AB
μ
Stål mot is
0,02
Skida mot snö
0,03-0,06
Trä mot trä
0,2-0,7
Glas mot glas
0,4
Bildäck mot isbelagd asfalt 0,02
Bildäck mot våt asfalt
0,5
Bildäck mot torr asfalt
0,7
Gummi mot betong
1,0-1,5
Exempel på ytor
Konstanten μ kallas friktionstalet. Friktionstalets storlek beror på de
båda kontaktytornas struktur. Ju skrovligare de är, desto större. Friktionstalet är dimensionslöst, det saknar alltså enhet. Om du löser ut
konstanten μ ur sambandet:
m=
Ffriktion
FN
 2
ser du att m saknar enhet.
I tabellen ser du några olika exempel på friktionstal. Eftersom en bils
bromskraft beror på friktionstalet, ser du tydligt hur bromskraften
snabbt kan förändras när det regnar och fryser.
EX EMPEL 6
Normalkraften på lådan är lika stor som lådans tyngd:
En trälåda med äpplen står på ett trägolv. Lådan med äpplen väger 20,0 kg.
Friktionstalet mellan de båda ytorna är
0,65.
FN = m · g = 20 · 9,82 N = 196 N
Tänk dig att du drar i lådan med en
kraft som är parallell med golvet. Hur
stor är friktionskraften mellan lådan
och golvet om du drar i lådan med
kraften
a) 85 N b) 140 N
Lådan i föregående exempel kommer ut
på ett golv där det räcker med kraften
85 N för att flytta den med konstant fart
längs golvet.
Hur stort är friktionstalet mellan ytorna
nu?
Den fullt utvecklade friktionskraften är alltså:
Ff = μ · FN = 0,65 · 196 N = 127,4 N ≈ 130 N
a) Om jag drar i lådan med kraften 85 N, är friktionskraften lika
stor och motriktad, 85 N. Lådan befinner sig alltså fortfarande
i vila.
b) Om jag drar i lådan med kraften 140 N, överstiger dragkraften
den fullt utvecklade, vilken är 130 N. Lådan kommer alltså att
röra sig med den accelererande kraften 10 N.
Eftersom lådan flyttas med konstant fart om dragkraften är 85 N,
är friktionskraften lika stor som dragkraften, dvs. 85 N.
Vi kan beräkna friktionstalet μ ur sambandet Ff = μ · FN:
Ff
85 N
μ=
=
≈ 0, 43
FN 196 N
 6
 7
 8
10
11
S
Svar: Friktionstalet är 0,43.
Krafter och dynamik
 4
 9
Lös uppgifterna 814-815 på sidan 230
© Författarna och Zenit AB
 3
 5
Svar: a) Friktionskraften är 85 N. b) Friktionskraften är 130 N.
EX EMPEL 7
 1
217
A
Hookes lag
C
B
Om vi vill förlänga eller pressa samman en
fjäder måste vi påverka den med en kraft.
Om vi försöker pressa samman en fjäder
känner vi att fjädern ”pressar” tillbaka,
vilket är helt i överensstämmelse med Newtons tredje lag. Om vi å andra sidan drar ut
en fjäder upptäcker vi att fjädern drar tillbaka. Denna kraft kallas fjäderkraften.
Ffjäder
x
Ffjäder = 0
jämviktsläge
Ffjäder
x
Man kan visa att fjäderkraften är proportionell mot fjäderns förlängning eller hoptryckning från jämviktsläget. Sambandet
kallas Hookes lag och skrivs:
Ffjäder = k · x
Här motsvarar x förlängningen och k kallas
fjäderkonstanten.
EX EMPEL 8
En vikt med massan m hänger i en
fjäder med fjäderkonstanten k. Fjädern
förlängs då sträckan x.
a) Hur stor är den resulterande kraften?
b) För en fjäder blir förlängningen
12 cm då fjädern belastas med en vikt
med massan 250 g. Hur stor är fjäderkonstanten?
a) Då vikten är i jämvikt är den uppåtriktade kraften lika stor som den nedåtriktade kraften, dvs. k · x = m · g.
Den resulterande kraften är alltså 0 N.
b) Enligt texten är x = 12 cm = 0,12 m och
m = 250 g = 0,250 kg.
Ffjäder = k·x
Ekvationen ovan ger då att:
k=
m ⋅ g 0, 250 ⋅ 9, 82 N
=
≈ 20, 5 N/m
x
0,120 m
Svar: a) Den resulterande kraften är 0 N.
b) Fjäderkonstanten är 20 N/m.
Ftyngd = m· g
Lös uppgifterna 816-817 på sidan 230
218
Krafter och dynamik
© Författarna och Zenit AB
Krafter på avstånd
Vi har nu i huvudsak studerat kraftverkan mellan föremål som är i
kontakt med varandra. Kraftverkan kan också ske på avstånd, dvs. utan
att föremålen är i kontakt med varandra. Exempel på detta är gravitationslagen och Coulombs lag. Det finns flera krafter som påverkar på
avstånd. I Orbit 2 återkommer vi till dessa.
F
F
r
m2
Jorden påverkar dig med en kraft oavsett om du står på marken eller
hoppar upp i luften. Och på samma sätt som jorden och månen påverkar varandra med lika stora, motsatt riktade krafter, så påverkar du
jorden med en lika stor kraft som den påverkar dig.
Enligt Newtons gravitationslag beror attraktionskraften av de ingående
kropparnas massor och avståndet mellan dem:
F =G⋅
m1 ⋅ m2
r2
Här står m1 och m2 för de båda kropparnas massor och r för avståndet
mellan deras centra. Proportionalitetskonstanten G ≈ 6,67·10-11Nm2/kg2.
När Newton 1687 publicerade sina rön som gav gravitationslagen fanns
det inga möjligheter att bestämma gravitationskonstanten. Det dröjde
över 100 år innan den engelske fysikern och kemisten Henry Cavendish
kunde bestämma G med hjälp av en torsionsvåg
En torsionsvåg består av en arm med blykulor i ändarna som är upphängd i en tunn tråd. Om två andra blykulor närmas de som ligger i
ändan på armen kommer de att attrahera varandra och armen kommer
att svänga någon bråkdels grad mot blykulorna.
Torsionsvåg.
© Författarna och Zenit AB
 2
 3
Gravitationslagen
m1
 1
När Cavendish bestänt gravitationskonstanten fick man en möjlighet
att beräkna jordens massa och densitet och man förvånades då av att
densiteten hos jorden var mycket större än jordskorpans densitet. Detta
ledde till att man fick revidera de teorier som fanns om hur jordens inre
var uppbyggt.
Krafter och dynamik
219
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
S
Coulombs lag
Q
q
F
F
Som du tidigare sett i kapitel 4, påverkar två laddade partiklar varandra.
Har laddningarna samma tecken repellerar partiklarna varandra, annars
attraherar de varandra. Enligt Coulombs lag beror attraktionskraften av
de ingående partiklarnas laddningar och avståndet mellan:
r
F = k⋅
Q ⋅q
r2
Här betecknar F kraften, som verkar på var och en av laddingarna, Q och
q laddningarna hos respektive punktladdning och r avståndet mellan
deras centra. Konstanten k har värdet k = 8,99 · 109 Nm2/C2.
EX EMPEL 9
Min egen massa betecknas m. Jordens massa betecknas M.
Utnyttja din egen tyngd och tabellvärdet för jordens diameter för att
bestämma jordens massa.
Vid jordytan är min tyngd Ftyngd = m · g där g = 9,8 m/s2 som orskas
av jordens attraktionskraft:
m⋅M
Fattr = G ⋅ 2
R
där R är jordens radie.
Jordens diameter vid ekvatorn är 12 757 km. Radien är alltså
R ≈ 6,28 · 106 m.
Eftersom jag befinner mig vid jordens yta är radien detsamma
som avståndet till jordens centrum. Men jordens attraktionskraft
är min tyngd. Alltså är:
m⋅M
m⋅ g =G⋅ 2
R
Dividera bägge sidor med m:
M
g =G⋅ 2
R
Lös ut M:
M=
g ⋅ R 2 9, 82 ⋅(6, 38 ⋅106 )2
kg ≈ 5,99 ⋅1024 kg
≈
6, 67 ⋅10−11
G
Svar: Jordens massa är ca 6,0 · 1024 kg.
Lös uppgifterna 818-822 på sidan 230
220
Krafter och dynamik
© Författarna och Zenit AB
Kraftresultant
Om flera krafter verkar på ett föremål, kan vi alltid slå samman dem
till en enda tänkt kraft, resultanten. De krafter som adderas kallas komposanter. Resultanten har samma verkan på föremålet som alla krafter
som verkar på föremålet har tillsammans. Genom att bestämma resultanten förenklar vi beräkningarna, eftersom vi inte behöver ta hänsyn
till många olika krafter, utan endast en.
Tyngdkraften påverkar alla föremål på jorden. Men tyngdkraften på ett
föremål med utsträckning är egentligen inte en enda kraft. Det är många
små krafter som påverkar kroppens beståndsdelar. Vi bör rentav se
tyngdkraften som resultanten till alla de krafter som påverkar föremålet.
Tyngdkraftens angreppspunkt kallar vi för föremålets tyngdpunkt.
Var ligger höjdhopparens tyngdpunkt?
Vi har redan i tidigare avsnitt sett hur man kan bestämma resultanten
till krafter som verkar längs samma riktningslinje. I exemplet med det
fallande äpplet verkar fruktens tyngd, Ftyngd, nedåt och luftmotståndet,
Fluft, bromsar rörelsen.
Ett annat exempel är när vi skjuter en kundvagn framför oss i snabbköpet. Vi påverkar vagnen framåt med en viss kraft, och vagnen bromsas
av en friktionskraft. Om dessa båda krafter är lika stora, rullar kundvagnen med konstant fart – resultanten till de bägge krafterna är 0 N.
Fluft
Fdriv
Ffriktion
På bilen verkar den accelererande
kraften Facc i framåtrikningen :
Facc = Fdriv – Ffriktion – Fluft
3N
© Författarna och Zenit AB
3N
5N
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
En bil som accelererar vid omkörning påverkas av en resulterande kraft
i bilens riktning. Motorns drivande kraft verkar genom friktion mellan
hjulen och vägen framåt. Den bakåtriktade, bromsande kraften orsakas
av luftmotstånd och friktion. Kraftresultanten är alltså större än 0 N och
framåtriktad – bilen accelererar alltså.
 8
Om krafterna inte verkar längs samma riktningslinje blir det lite svårare
att bestämma resultanten. Krafterna adderas, men nu måste du även ta
hänsyn till krafternas riktning. Detta inser du om du tänker dig att du
vill addera två krafter vars storlek är t.ex. 3 N och 5 N. Beroende på hur
krafterna är riktade, får resultanten olika storlek och riktning. I de två
bilderna nedan kan du enkelt ta reda på resultanten, men om krafterna
bildar en annan vinkel måste du använda vektoraddition (se nästa sida).
10
3N
5N
Krafter och dynamik
221
 9
11
S
Vektoraddition
När du ska addera två vektorer, konstruerar du ett parallellogram med
de båda vektorerna som sidor. Storleken av resultanten får du genom att
rita en skalenlig figur och mäta diagonalen som utgår från den gemensamma angreppspunkten. Om krafterna bildar rät vinkel med varandra,
kan du beräkna resultantens storlek med hjälp av Pytagoras sats.
3N
3N
5N
5N
För att kunna räkna ut resultantens storlek i den högra bilden, måste du
känna till krafternas storlek och vinkeln mellan dem. Den matematik du
behöver för att klara av en sådan beräkning ingår i senare matematikkurser. Du kan dock bestämma resultanten redan nu genom att rita en
skalenlig figur och mäta.
Om krafterna verkar på olika punkter av ett föremål, förflyttar du dem
till en tänkt, gemensam angreppspunkt. Om du tänker dig att du drar i
ett föremål med hjälp av ett rep inser du att detta är tillåtet – det spelar
ju ingen roll om du fattar tag i repet närmare punkten där repet är fästat
eller längre bort, så länge du drar lika mycket och i samma riktning som
tidigare.
Bilden visar två krafter, F1 och F2, som verkar på olika punkter på ett
föremål. Genom att förflytta krafterna får du en gemensam angreppspunkt.
häst 1
F1
flodpråm
F2
F1
F1
F2
F2
F1 + F2
flodhäst
häst 2
222
Krafter och dynamik
© Författarna och Zenit AB
EX EMPEL 10
Tre krafter verkar på kulan i bilden. Hur
stor är krafternas resultant?
5N
3N
Resultanten till de båda krafterna som är riktade åt höger är
3 N + 4 N = 7 N.
 1
Den totala resultanten är då 7 N – 5 N = 2 N. Resultanten är
riktad åt höger.
 2
4N
2N
 3
Svar: Resultanten är 2 N riktad åt höger.
 4
EX EMPEL 11
Två krafter verkar på ett föremål. Den
ena kraften har storleken 4,8 N och den
andra 3,4 N. Hur stor är resultanten till
krafterna:
a) om vinkeln är rät?
b) om vinkeln är trubbig (se figur)?
a) Riktningen av den resulterande kraften framgår av bilden.
Resultantens storlek bestäms med Pytagoras sats:
2
2
Rres = 4, 8 + 3, 4 N ≈ 5,9 N
b) De båda krafterna ritas i skala. Om du låter 1 N motsvara 1 cm
blir det enkelt att avläsa kraften. Om du konstruerar ett parallellogram kan du mäta resultanten till 2,15 cm, vilket motsvarar 4,3 N.
 5
 6
 7
 8
 9
Svar: Figurerna ovan visar resultanternas riktningar. Kraftens storlek är 5,9 N resp. 4,3 N.
Lös uppgifterna 823-824 på sidan 230
10
11
S
© Författarna och Zenit AB
Krafter och dynamik
223
Lutande planet
Bild a visar ett föremål som befinner sig på ett lutande plan. Om du
bortser från friktionskrafter, påverkas föremålet av två krafter: tyngdkraften (mg) och normalkraften (FN ) från underlaget.
FN
Fres
mg
20°
a) Lutningsvinkeln 20°.
hp
De båda krafterna, mg och FN, kan adderas till en resulterande kraft, Fres,
som är riktad utmed planet. Lägg märke till att Fres inte är en ytterligare
kraft som påverkar föremålet, utan en kraft som ersätter de båda andra.
Parallellogramkonstruktionen av resultanten finns inritad i figuren med
hjälp av de streckade linjerna.
FN
Fres
Föremålet i bilden kommer att accelereras nedåt längs planet på grund
av den accelererande kraften, Fres. Lutningsvinkeln på planet, som i
bilden är 20°, bestämmer både den resulterande kraftens, Fres, och normalkraftens, FN, storlek.
mg
30°
b) Lutningsvinkeln 30°.
Tyngdkraften är alltid riktad mot jordens centrum och därför riktad
vinkelrätt mot horisontalplanet (som kallats hp i bilden). Normalkraften är alltid vinkelrät mot underlaget. Båda krafterna har för enkelhets
skull ritats med samma startpunkt i föremålets tyngdpunkt.
hp
Vad som händer om du ökar lutningsvinkeln framgår av bilderna b och c.
Jämför storleken hos normalkrafterna vid de tre lutningsvinklarna, 20°,
30° och 40°. Vad kan du säga om dem? Vad gäller för den resulterande
kraften?
Vinkeln mellan tyngdkraften och den streckade linjen vinkelrät mot
planet i kraftparallellogrammen är lika stor som planets lutningsvinkel
mot horisontalplanet, i den vänstra figuren ovan alltså 30°. Försök att
visa detta.
FN
Fres
Med hjälp av trigonometri kan du alltså teckna olika samband mellan
lutningsvinkeln och sidorna i den rätvinkliga triangel som utgör halva
kraftparallellogrammen.
mg
40°
c) Lutningsvinkeln 40°.
hp
Om du kallar lutningsvinkeln för α gäller att:
sin α =
Fres
F
och cos α = N
mg
mg
Att täljaren i den senare ekvationens högerled är FN inser du av att den
streckade närliggande kateten är lika stor som FN eftersom det är en
parallellogram.
224
Krafter och dynamik
© Författarna och Zenit AB
Dessa samband ska du inte plugga in som minneskunskap eftersom du
direkt kan plocka fram dem trigonometriskt vid behov.
Ett föremål med tyngden 25 N ligger
på ett glatt lutande underlag med lutningsvinkeln 40°.
Beräkna normalkraften och den accelererande kraften.
 1
Om mg = 25 N och α = 40° är normalkraften:
EX EMPEL 12
FN = mg∙cos α = 25∙cos 40° ≈ 19,2 N
 2
På motsvarande sätt blir den accelererande kraften:
Fres = 25∙sin 40° ≈ 16,1 N
Eftersom friktionen är försumbar gäller enligt kraftlagen att accelerationen blir:
Bestäm också föremålets acceleration
längs planet
a=
Fres
16,1
=
m/s 2 ≈ 6, 3 m/s 2
m (25 / g )
Svar: Normalkraften är 19 N, den resulterande kraften 16 N och accelerationen 6,3 m/s2.
EX EMPEL 13
Eftersom lådan precis nätt och jämt ligger kvar är friktionen mellan
lådan och underlaget fullt utbildad.
En låda som väger 4,7 kg ligger på ett
lutande plan som har lutningsvinkeln
25° mot horisontalplanet.
Då gäller att friktionskraften Ff = μ∙N, där μ betecknar friktionstalet. Eftersom lådan är i jämvikt är Fres = Ff. Alltså är Fres = μ∙N.
Om lutningsvinkeln ökas det allra
minsta börjar lådan glida.
Hur stort är friktionstalet mellan lådan
och underlaget?
Tillsammans med de båda andra sambanden blir detta:
mg∙sin 25° = μmg∙cos 25°
 4
 5
 6
 7
 8
 9
som kan förenklas till:
sin 25° = μ∙cos 25°
μ = sin 25°/cos 25° = tan 25° ≈ 0,466.
10
Svar: Friktionstalet är 0,47.
Observera att uppgiften om lådans massa är onödig för att
bestämma friktionstalet. Skulle däremot friktionskraften också
varit efterfrågad hade du behövt denna uppgift. Hur stor blir friktionskraften?
Lös uppgift 825 på sidan 231
© Författarna och Zenit AB
 3
Krafter och dynamik
225
11
S
Sammanfattning
Newtons första lag – tröghetslagen
Ett föremål som inte påverkas av någon resulterande kraft förblir i vila eller fortsätter att röra sig
med konstant fart längs en rät linje.
Newtons andra lag – kraftlagen
Accelerationen är proportionell mot den resulterande kraft som verkar på föremålet, och verkar i
den resulterande kraftens riktning.
Sambandet mellan kraft och acceleration är:
F=m·a
där m betecknar kroppens massa.
Newtons tredje lag – lagen om aktion och
reaktion
Två föremål påverkar varandra med krafter som är
lika stora och motsatt riktade.
Impuls och rörelsemängd
Ett föremåls impuls, I, är detsamma som produkten
av kraften och den tid som kraften verkar under : Enligt impulslagen är impulsen lika stor som ändringen av rörelsemängden :
F · Dt = m · Dv
Impulsen kan beräknas som arean mellan grafen
och den horisontella axeln i ett diagram där kraften
ritats som funktion av tiden.
Stöt
Den totala rörelsemängden bevaras vid en stöt.
Med detta menas att summan av rörelsemängderna
med hänsyn till rörelseriktningar är lika stor före
som efter stöten. Detta gäller oavsett om stöten är
elastisk eller oelastisk.
Vid en fullkomligt oelastisk stöt häftar föremålen
samman och rör sig som ett föremål efter stöten.
En stor del av den sammanlagda rörelseenergin
hos föremålen före stöten omvandlas vid stöten
till värme genom deformationsarbete – den totala
rörelseenergin efter stöten är väsentligt mindre än
före stöten.
Vid en fullkomligt elastisk stöt bevaras rörelseenergin och den relativa hastigheten.
I = F · Dt
Ett föremåls rörelsemängd, p ges av sambandet :
p=m·v
226
Krafter och dynamik
© Författarna och Zenit AB
Friktion
Ett föremål som rör sig längs ett underlag påverkas
av den fullt utbildade friktionskraften Ff. Den fullt
utbildade friktionskraften beräknas som:
Ff = m · FN
där FN är normalkraften från underlaget och μ är
friktionstalet.
Hookes lag
För att dra ut eller trycka samman en fjäder sträckan
x, behövs kraften:
F=k·x
där k är fjäderkonstanten.
Gravitationslagen
Två kroppar med massorna m1 och m2 påverkar
varandra med attraktionskraften:
F =G⋅
m1 ⋅ m2
r2
Coulombs lag
Två partiklar med laddningarna q1 och q2, påverkar
varandra med kraften:
F = k⋅
 1
 2
q1 ⋅ q2
r2
där r är avståndet mellan de laddade partiklarnas
centra. Konstanten k har värdet 8,99·109 Nm2/C2.
Kraften är attraktiv om laddningarna har olika
tecken, annars repulsiv.
Resultant till krafter
Om flera krafter verkar på ett föremål, kan man slå
samman dem till en enda tänkt kraft, resultanten.
Resultanten har samma verkan på föremålet som
alla krafter som verkar på ett föremål har tillsammans.
Resultanten till krafter med riktningslinjer som
skär varandra kan bestämmas genom parallellogramkonstruktion.
där r är avståndet mellan de båda kropparnas centra.
Gravitationskonstanten G har värdet 6,67 · 10-11
Nm2/kg2.
 3
 4
 5
 6
 7
 8
10
11
S
© Författarna och Zenit AB
Krafter och dynamik
227
Uppgifter
801 Galileis ränna.
Galilei föddes 1564 i Pisa. Som 17-åring började han studera medicin men övergav snart
detta, eftersom han tyckte naturvetenskap
var mer intressant. Ett av de många praktiska försök Galilei utförde var att rulla kulor
nerför en ränna. Avsikten med experimentet
var att hitta ett samband mellan kulans läge
och tiden den rullat. Målet var att kunna ge
en matematisk beskrivning av rörelsen.
803 Vid en 100-metersstart mäts löparens accele-
ration i framåtriktningen till 4,7 m/s2. Löparen väger 62 kg. Hur stor är den resulterande
kraften på löparen i startögonblicket?
804 En bil med massan 1,2 ton accelererar från
50 km/h till 60 km/h på 6,0 s. Hur stor accelererande kraft behövs?
805 En fönsterputsare tappar sin spann som
I Galileis försöksuppställning slog kulan mot
små klockor på vägen ned.
a Vilken uppgift tror du att klockorna hade.
b Varför är avståndet mellan klockorna allt
längre efterhand som kulan rullat längre i
rännan?
c Beräkna avstånden mellan de övriga klockorna om avståndet mellan de två första är
50 cm.
802 Ett par personer skjuter fart på en bil som
fått motorstopp. De lyckas ge bilen en resulterande kraft framåt som är 200 N. Bilens
massa är 980 kg. Vilken acceleration får
bilen?
228
Krafter och dynamik
väger 850 g.
a Hur långt faller spannen under de första
0,59 s av fallet.
b Efter en stund bromsas spannen märkbart
av luftmotståndet. Om spannens acceleration minskat till 3,2 m/s2, med hur stor kraft
påverkar luftmotståndet spannen?
806 Louise väger 60 kg och är på väg upp i en
hiss. Hissen börjar med att accelerera med
1,5 m/s2 uppåt, fortsätter efter en stund med
konstant fart, och bromsar slutligen in till
stillastående med accelerationen -1,2 m/s2.
Med hur stor kraft påverkar Louise hissgolvet
när hissen:
a accelererar uppåt?
b går med konstant fart?
c bromsar in?
© Författarna och Zenit AB
807 En lastbil har massan 12 ton.
811 En lastbil och en personbil kolliderar i en
a Hur stor impuls måste den utsättas för
om farten ska ökas från 50 km/h till 90
km/h ?
b Hur stor medelkraft behövs om fartändringen sker på 15 s ?
808 En boll som väger 85 g har den nedåtriktade
farten 3,6 m/s precis innan den slår i golvet.
Omedelbart efter studsen är den uppåtåtriktade farten 2,7 m/s.
a Hur stor är bollens rörelsemängdsändring ?
b Hur stor impuls har bollen påverkats av
under studsen mot golvet ?
c Hur har bollens rörelseenergi förändrats
vid studsen ? Vart har rörelseenergin tagit
vägen ?
frontalkrock. Lastbilens fart vid kollisions­
ögonblicket är 40 km/h och personbilens
60 km/h. Lastbilen väger 5,2 ton och personbilen 1,3 ton. Vid kollisionen fastnar bilarna i
varandra.
a Hur stor hastighet har de sammanhängande bilarna omedelbart efter krocken ?
b Beräkna den totala rörelseenergin före
och efter kollisionen. Hur mycket energi
omvandlas till värme vid kollisionen ?
812 En astronaut på ”rymdvandring” befinner
sig 100 m från sin farkost. Han väger 150 kg
inklusive utrustning. För att återvända till
farkosten avfyrar han sin strålpistol i riktning
bort från farkosten. På så sätt påverkas han
av kraften 5 N under 6 s.
 1
 2
 3
 4
 5
 6
809 Försök hitta några exempel på olika tekniska
 7
lösningar där impulslagen utnyttjas för att ge
en liten kraft under lång tid eller för att ge en
stor kraft under kort tid.
 8
810 En skytt ligger på en lättrullande vagn och
 9
avfyrar en projektil. Projektilen har massan
0,50 g och hastigheten 400 m/s.
Skytten väger tillsammans med vagnen och
geväret 100 kg. Vilken rekylhastighet får skytten ?
10
Hur lång tid tar det innan han kommer tillbaka till rymdfarkosten ? Bortse från den tid
accelerationen tar.
11
S
© Författarna och Zenit AB
Krafter och dynamik
229
813 Två vagnar, A och B, hålls samman. Mellan
vagnarna är en fjäder hoptryckt. Vagn A har
massan 3,0 kg och vagn B har massan 5,0 kg.
När fjädern utlöses sätts vagnarna i rörelse.
Då vagn A släppt kontakten med fjädern har
den hastigheten 0,80 m/s. Hur stor energi var
lagrad i fjädern? Fjäderns massa kan försummas. (CP 91)
819 Med hur stor kraft påverkas du av en bil, då
du står alldeles intill den utan att röra vid
den. Gör lämpliga antaganden om massorna
och avståndet mellan din och bilens tyngdpunkter.
820 Torsionsvågen på sidan 219 finns på Kate-
dralskolan i Lund. De små blykloten i
ändarna på armen väger 20,0 g och de stora
blykloten (som kan närmas från sidan) väger
1,200 kg. När kloten är som närmast varandra är avståndet mellan deras medelpunkter
5,0 cm.
814 En stålplatta, som väger 50 g, placeras på ett
isblock. Hur stor kraft behövs för att skjuta
plattan med konstant fart över isen?
815 En skidåkare har i ett visst ögonblick farten
9,0 m/s och börjar glida längs det horisontella underlaget.
a Hur långt glider han innan han stannar?
b Hur lång tid tar det att stanna?
816 Ett metallstycke som väger 0,50 kg hänger i
en fjäder med fjäderkonstanten 50 N/m.
a Rita en figur som visar krafterna på metallstycket då det hänger stilla.
b Hur långt är fjädern utdragen, då metallstycket hänger i sitt jämviktsläge?
c Tänk dig att du fattar tag i metallstycket och
drar neråt så att fjädern förlängs 10 cm. Rita
en ny figur som visar krafterna på metallstycket och ange hur stora de olika krafterna
är.
817 Ett metallstycke med okänd massa hängs i en
fjäder. Fjädern förlängs då med 8,8 cm. Om
fjäderkonstanten är 95 N/m, hur stor massa
har metallstycket?
818 Anta att du fick möjlighet att befinna dig i
en satellit 2 600 km över jordytan. Hur stor
skulle din tyngd vara där jämfört med din
tyngd på jorden?
230
Krafter och dynamik
Hur stor blir kraften på armen?
821 Redan för 2500 år sedan mättes jordens
radie (se kap 1). Enligt meterdefinitionen är
jordens omkrets ungefär 40 000 km. Tyngdfaktorn, g, vid jordytan är 9,82 m/s2. Använd
detta och den allmänna gravitationslagen för
att beräkna jordens massa.
822 I Bohrs atommodell tänker man sig att väte­
atomen består av en proton och en elektron
som befinner sig 0,05 nm från varandra.
a Med hur stor elektrostatisk kraft påverkar
protonen elektronen?
b Med hur stor gravitationskraft påverkar protonen elektronen?
c Jämför de bägge krafterna och dra slutsatser
av dina beräkningar.
823 I punkten P verkar två krafter som är vinkel-
räta mot varandra. Den ena kraften är 25 N
och den andra är 35 N.
a Bestäm resultanten (både storlek och riktning) till krafterna.
b Anta att du ska tillfoga en kraft så att punkten P kommer i jämvikt. Vilken storlek och
riktning ska denna kraft ha?
© Författarna och Zenit AB
824 Två snören S1 och S2 är fästade i ett häftstift
P (se figuren). I snöre S1 verkar kraften 4,8 N
och i snöre S2 kraften 6,2 N. Bestäm resultanten till de båda krafterna genom noggrann
konstruktion.
S1
828 Hur stor är rörelsemängden hos en person
med massan 75 kg som springer med hastigheten 6,8 m/s?
829 När en hundragramsvikt hängs i en fjäder
förlängs fjädern med 3,7 cm. Beräkna fjäderkonstanten.
830 En cyklist med farten 20 km/h påverkas av
krafter som beror på friktion och luftmotstånd. Sammanlagt är dessa bakåtriktade
krafter 240 N. Hur stor måste den framåtdrivande kraften från cyklisten vara för att
cykeln ska fortsätta framåt med konstant
fart?
P
S2
825 En blomkruka som har tyngden 250 N står
på en ramp som lutar 25° mot horisontalplanet. Friktionstalet mellan blomkrukan och
rampen år 0,68.
a Hur stor är friktionskraften mellan krukan
och rampen?
b Man vill flytta krukan uppför rampen genom
att dra den längs med planet. Hur stor är den
minsta kraft som behövs för att göra detta?
Blandade uppgifter:
Till vissa av de blandade uppgifterna måste du göra egna
antaganden. Glöm inte att redovisa dessa!
826 En bil med massan 850 kg påverkas av en
framåtriktad resulterande kraft på 350 N.
Hur stor blir bilens acceleration?
827 Två krafter på 3,5 N och 4,3 N verkar på ett
föremål. Beräkna storleken på den resulterande kraften om vinkeln mellan de båda
krafterna är 90°.
© Författarna och Zenit AB
 2
 3
 4
 5
831
 1
v /(m/s)
9,0
 6
3,0
 7
5,0 t /s
Grafen visar ett föremåls rörelse under fem
sekunder. Föremålet väger 12 kg. Hur stor är
den resulterande kraft som behövs?
832 En boll som väger 120 gram faller från ett
torn och uppnår sin gränsfart.
a Rita en bild med samtliga krafter utritade.
b Vad kan du säga om de krafter som verkar på
bollen?
833 Eddie vill kontrollera hur stor friktions-
kraften är när han cyklar. Han slutar därför
trampa när farten är 20 km/h. Cykeln rullar
då 40 m längs den horisontella vägen. Hur
stor är den resulterande friktionskraften om
Eddie och cykeln tillsammans väger 85 kg?
Krafter och dynamik
231
 8
 9
10
11
S
834 Hur stor rörelsemängd har en elektron som
839 Beräkna en ungefärlig bromssträcka för en
5
rör sig med farten 2,5 · 10 m/s ?
bil från 90 km/h till stillastående under olika
vägförhållanden. Studera torr asfalt, våt asfalt
och isbelagd asfalt.
835
840 Anta att du kör bil med farten 90 km/h.
Ett tåg består av ett lok och två stycken
vagnar. Loket väger 38 ton och var och en av
vagnarna 20 ton.
Efter att ha stannat på en station accelererar
tåget till 90 km/h, vilket tar 1,5 minuter på
den horisontella banan.
a Hur stor är kraften i kopplet mellan loket
och den första vagnen under accelerationen?
Bortse helt från friktionen i vagnarnas hjul
och mellan hjulen och rälsen.
b Hur stor är kraften i kopplet mellan de två
sista vagnarna under accelerationen?
a Hur lång tid tar det att från det att du
trampar på bromsen tills bilen stannar om
retardationen är 4,2 m/s2 ?
b Hur lång blir bromssträckan ?
841 Erika spelar squash. Vid ett tillfälle när hon
smashar bollen är den på väg in mot racketen med farten 14 m/s och lämnar den med
farten 55 m/s i rakt motsatt riktning.
En squashboll väger 24 g.
a Hur stor är bollens rörelsemängdsändring ?
b Hur stor är medelkraften på bollen om
bollen och racketen antas vara i kontakt med
varandra i 5 ms.
842 *Hur lång uppfattas en sträcka som i jordens
836
referenssystem är 2,4 km i ett system som rör
sig med farten 99,99 % av ljusets fart ?
843 Om en person faller ut från ett fönster på
Tre klossar placeras ovanpå varandra på
ett bord som bilden visar. Klossarna har
massorna 100 g, 150 g och 200 g, uppifrån
räknat.
844 En liten luftkuddepuck med massan 150 g
Rita tre bilder, en för varje kloss, där samtliga
krafter som verkar på denna kloss visas.
837 En hiss som med last väger 1 600 kg accelere-
ras uppåt med 1,2 m/s2. Hur stor är lyftkraften i hisslinan under accelerationen?
838 Anta att du hoppar rakt upp i luften. Hur
stor är din acceleration då du befinner dig i
den högsta punkten under hoppet?
232
tionde våningen är det inte fallet som skadar
honom, utan det plötsliga inbromsandet.
Förklara detta påstående med Newtons lagar.
Krafter och dynamik
knuffas uppför ett lutande plan och får
begynnelsefarten 5,0 m/s. Pucken påverkas
av en nedåtriktad kraft utmed planet som är
0,40 N.
a Beskriv puckens rörelse med funktionerna s( t ), v( t ) och a( t ).
b Hur lång tid dröjer det innan pucken
vänder ?
c Hur högt upp på planet är den då ?
© Författarna och Zenit AB
845 Om du är passagerare i en bil som blir
påkörd bakifrån kan du råka ut för allvarliga
nackskador, så kallade whiplash-skador.
a Förklara med hjälp av Newtons lagar hur
dessa uppkommer
b Hur kan ett nackstöd i bilen hjälpa till att
förhindra skadan?
848 *Två temperaturprober är anslutna till en
846
CBL. En försöksperson studerar vad som
händer då den ena proben värms i handen
och den andra i munnen.
Båda proberna är i rumstemperatur (drygt
21°C i luften) när försöket startas. Sedan
stoppas den ena proben in i munnen och den
andra värms i handen. Efter halva experimenttiden tas de båda proberna ut och exponeras för luften i rummet.
 1
 2
 3
 4
Studera bilden av en boll som rullar nerför
en backe. Vilket av följande påståenden är
korrekt?
Resultatet av försöket ser du i grafen.
a Vilken graf hör till vilken prob?
b Förklara utseendet ur fysikalisk synvinkel hos
de båda graferna så ingående du kan.
a Farten ökar, men accelerationen minskar.
849 En hiss som med last väger 1,3 ton accele-
b Farten minskar, men accelerationen ökar.
reras uppåt från stillastående med konstant
acceleration 0,85 m/s2 under 2,5 s.
a Hur stor fart får hissen efter denna tid ?
b Hur stor kraft måste hisslinan kunna tåla
för att klara av denna acceleration ?
Hissen går med konstant fart under 12,5 s
och bromsas därefter in till ett stopp vid en
våning. Inbromsningen sker med en nedåtriktad acceleration som är 1,1 m/s2.
c Hur lång tid tar färden mellan våningarna ?
d Hur långt har hissen rört sig ?
e Rita graferna s( t ), v( t ) och a( t ) för hissens rörelse.
c Både farten och accelerationen ökar.
d Både farten och accelerationen är samma
hela tiden.
e Både farten och accelerationen minskar.
847
Fs
– Fs
F1
F2
Hur är det möjligt att det ena laget kan vinna
över det andra i en dragkamp? Strider detta
inte mot Newtons tredje lag?
© Författarna och Zenit AB
Krafter och dynamik
233
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
S
850 En person utför ett jämfotahopp på en våg
som är ansluten till mätutrustning så att
kraften på vågen kan registreras som funktion av tiden. Själva hoppet går till så att personen snabbt böjer benen och sedan skjuter
ifrån.
Grafen visar ett jämfotahopp på vågen. Den
vertikala axeln visar kraften i newton och
den horisontella tiden i sekunder. Graderingen är 500 N respektive 0,2 s per skalstreck.
a Vad gör personen i de olika faserna? Förklara
grafens utseende.
b Det finns tillfällen då personen har en uppåtriktad respektive en nedåtriktad acceleration. Hur kan du avgöra det?
c Bestäm den största uppåtriktade respektive
största nedåtriktade accelerationen hos hopparen. Vad gör hopparen just då?
851 På s. 211 verifierades impulslagen, och en
v( t )-kurva registrerades. Som du kan se
minskar vagnens fart under rullningen, både
före och efter kollisionen med kraftgivaren.
Förklara varför grafen ser ut som den gör !
234
Krafter och dynamik
852 * Helen kör i 70 km/h längs en rak väg. Plöts-
ligt kör en bil med släp ut från en sidoväg.
Helen hinner i tid bromsa, och undviker med
minsta möjliga marginal att krocka.
Ett par dagar senare tänker hon: ” Vad hade
hänt om jag istället kört i 90 km/h?”. Helen
åker ut till platsen där hon höll på att krocka
och mäter upp bromsspåren till 28,5 meter.
Hon räknar sedan ut hur lång bromssträckan
skulle varit om hon kört i 90 km/h.
a Hur lång blir bromssträckan?
b Hur hög hastighet hade Helen haft då hon
kraschade in i släpet om hon hållit 90 km/h?
853
35 km/h
90 km/h
Ett rälsbusståg håller farten 90 km/h.
500 meter framför tåget upptäcker föraren
en liten dressin med arbetare och slår genast
till bromsarna, vilket ger tåget en retardation på 0,25 m/s2. Dressinen håller en fart på
35 km/h.
Tack vare att lokföraren bromsar kommer
de att klara sig. Beräkna minsta avståndet
mellan tåg och dressin.
© Författarna och Zenit AB