Kraft och dynamik 9 Vad innebär Newtons lagar? Hur kan en krockkudde rädda liv? Är det sant att en bil som kör med konstant fart inte påverkas av några krafter? Mekanikens historia Aristoteles och Galilei Det kan tyckas rimligt att tro att det finns ett samband mellan ett föremåls toppfart och den kraft som föremålet påverkas av – ju större kraft i bilmotorn, desto snabbare kan bilen köra. Eller? Detta är en missuppfattning som är mycket gammal. Vi sätter klockan till 300 år f. Kr och byter ut bilen mot en grekisk häst och vagn på en dammig landsväg. Greken Aristoteles, som levde då, var den förste som formulerade regler för ett föremåls rörelse. Aristoteles menade t.ex. att två hästar kan dra en vagn dubbelt så fort som en häst. Vagnens maximala fart skulle alltså vara direkt proportionell mot den kraft som verkade på vagnen – en vanlig uppfattning under många århundraden. Aristoteles skrev många verk om bland annat fysik, kemi, ekonomi och filosofi och var en naturvetenskaplig auktoritet under nästan 2 000 år. Ända fram till slutet av 1500-talet bestod studier i fysik av att läsa Aristoteles verk och sedan försöka förklara det som stod i böckerna. På 1500-talet var det inte många vetenskapsmän som ens kunde drömma om göra egna experiment för att pröva om det som stod skrivet i Aristoteles böcker verkligen stämde. Om böckerna inte stämde överens med verkligheten, måste det helt enkelt bero på att man inte förstod det som stod skrivet i böckerna på ett korrekt sätt. Teckningen i bakgrunden är från mitten av 1500-talet och visar ett av problemen att beskriva verkligheten med hjälp av Aristoteles fysik. Bilden visar hur en kanonkula avfyras snett uppåt (från höger). Kanonkulan fortsätter i en snett uppåtriktad bana så länge som en kraft driver den framåt. Vid en viss tidpunkt, ganska långt från kanonen, är plötsligt all kraft ”förbrukad” och kulan faller rakt ner mot jorden (till vänster). Under 1500- och 1600-talet började många fysiker tycka att det var orimligt att acceptera Aristoteles verk – texterna stämde så illa överens med vad man kunde se i naturen. Några enstaka fysiker började med något för den tiden så revolutionerande som att ställa upp nya teorier och utföra egna experiment. 238 Krafter och dynamik © Författarna och Zenit AB Den mest framstående av experimentalfysikerna vid denna tid var Galilei. Han mätte krafter, utförde fallförsök och observerade stjärnhimlen med sin nykonstruerade kikare. Galilei blev banbrytande i sitt nya sätt att studera fysik. Han gjorde iakttagelser och experiment och använde matematik som ett redskap för att kunna beskriva fysikaliska förlopp. Med Galilei kunde fysiken träda ut ur Aristoteles skugga efter nästan 2 000 år. Newtons mekanik Även om många fysiker försökte lösa problemet med hur kraft och hastighet hänger samman var det länge en svår nöt att knäcka. Galileo Galilei levde från 1564 till 1642. I slutet av 1600-talet revolutionerade engelskmannen Isaac Newton mekaniken genom att formulera tre grundläggande rörelselagar: tröghetslagen, kraftlagen samt lagen om verkan och motverkan. Dessa tre lagar utgör grunden för hela dynamiken. Vi återkommer till dem senare i kapitlet. De tre röreslelagarna är bara en liten del av de resultat som beskrivs i Newtons kända verk Principia eller som det mera fullständigt heter: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Naturvetenskapens matematiska principer). Principia är ett av de mest betydelsefulla naturvetenskapliga dokument som någon människa skapat. Då det gavs ut 1687 väckte det en kolossal uppståndelse i Europas vetenskapliga kretsar. Principia skapade förutsättningarna att med hjälp av naturvetenskap beskriva vår värld och har haft en avgörande betydelse för vår vetenskapliga utveckling. Isaac Newton levde från 1642 till 1727. Kvantmekanik och relativitetsteori I början av 1900-talet insåg fysiker att den newtonska mekaniken inte kan beskriva allt i den fysikaliska världen. Eftersom teorin inte kunde göra bra förutsägelser på atomnivå, utvecklades en ny teori för detta, kvantmekaniken. Dessutom visade det sig att den klassiska mekaniken inte kunde beskriva kroppars rörelser vid hastigheter nära ljusets. För att förklara detta behövs Einsteins relativitetsteori, som vi redan stiftat bekantskap med. Nu kan du lösa uppgift 901 på sidan 264 © Författarna och Zenit AB Krafter och dynamik 239 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 S Krafter Ett äpple som faller, en bil som ökar sin fart för att kunna köra om och en fotboll som sparkas iväg har något gemensamt – alla accelereras och alla påverkas av en yttre kraft. Fluft Ftyngd En kraft har både storlek och riktning. Här verkar tyngdkraften, Ftyngd, nedåt och luftmotståndet, Fluft, som bromsar rörelsen, uppåt (observera att pilarnas längd inte är proportionella mot värdena i texten). Den resulterande kraften är: Fres = Ftyngd – Fluft som är riktad nedåt. Ett föremål kan naturligtvis påverkas av flera krafter samtidigt. I exemplen ovan påverkas föremålen av tyngdkraft och luftmotstånd. Vi är intresserade av summan av alla krafter på föremålet. Denna kraft kallar vi för den resulterande kraften, Fres, på föremålet. När vi ska räkna med krafter, måste vi ta hänsyn till att krafterna har både storlek och riktning. I exemplet med det fallande äpplet kommer den resulterande kraftens storlek att vara skillnaden mellan den nedåtriktade tyngdkraften och den uppåtriktade bromskraften orsakad av luftmotståndet, Fres = Ftyngd - Fluft. Om vi t.ex. har att Ftyngd = 1,24 N och Fluft = 0,02 N så är Fres = 1,22 N riktad neråt. Kraftlagen Newton upptäckte att det inte fanns något direkt samband mellan hastighet och kraft. Det gör det däremot mellan acceleration och kraft – ju större kraft ett föremål påverkas av desto större är dess acceleration. Detta samband brukar kallas kraftlagen eller Newtons andra lag: Accelerationen är proportionell mot den resulterande kraft som verkar på föremålet, och verkar i den resulterande kraftens riktning. Newton gav en matematisk beskrivning av sambandet mellan acceleration och kraft: Fres = m · a F Bilen accelererar i samma riktning som den resulterande kraften. 240 Krafter och dynamik Här är Fres den resulterande kraften på föremålet, m föremålets massa och a den acceleration föremålet får under kraftpåverkan. Ett föremål med stor massa behöver alltså en större kraft för att få samma acceleration som ett föremål med liten massa. © Författarna och Zenit AB Kraft och acceleration Ett föremål som faller fritt påverkas bara av tyngdkraften (om luftmotståndet försummas). Tyngdkraften blir alltså den resulterande kraften, Fres = m · g. 1 Med hjälp av kraftlagen har vi att Fres = m · a. Det innebär att mg = ma och att a = g = 9,82 m/s2. 2 Tröghetslagen 3 Newton visade att ett föremål kan röra sig utan att det påverkas av någon kraft. Om bara en kraft sätter föremålet i rörelse, fortsätter det att röra sig tills någon annan kraft stoppar det. 5 När bilen bromsar känns det som om vi slungas framåt. Vad som egentligen händer är att medan bilen bromsar fortsätter vi framåt med samma hastighet som bilen tidigare hade. 6 En flicka på skridskor som glider fram på isen kommer nära en sådan beskrivning. För att komma igång måste hon påverkas av någon kraft – hon kan bli ivägknuffad eller själv sätta fart. Sedan kan hon glida fram över isen utan att hon påverkas av någon resulterande kraft. Om det inte fanns något luftmotstånd eller friktion mot isen skulle hon fortsätta att röra sig så länge hon inte bromsar själv eller bromsas av något. Flickan på skridskor är ett exempel på tröghetslagen eller Newtons första lag: 7 9 10 Ett föremål som inte påverkas av någon resulterande kraft förblir i vila eller fortsätter att röra sig med konstant fart längs en rät linje. Vi kan visa att detta stämmer genom att utnyttja kraftlagen. Om den resulterande kraften på ett föremål är 0 N så får vi att: 11 S 0 = m· a Eftersom detta ger a = 0 får föremålet accelerationen 0 m/s2. Det innebär att om föremålet redan rör sig, fortsätter det att röra sig med samma hastighet. Om föremålet är i vila (ligger stilla), förblir det i vila. © Författarna och Zenit AB 4 Krafter och dynamik 241 Lagen om aktion och reaktion Lagen om aktion och reaktion beskriver vad som händer då två föremål påverkar varandra med krafter. Om du t.ex. trycker din handflata mot en kamrats handflata påverkar du henne med en kraft som är riktad bort från dig. Samtidigt påverkar din kamrat dig med en lika stor och motriktad kraft. Observera att den första kraften påverkar din kamrat, den andra dig. Detta är ett exempel på lagen om aktion och reaktion eller Newtons tredje lag: Två föremål påverkar varandra med krafter som är lika stora och motsatt riktade. Bilden visar ett annat exempel på Newtons tredje lag. Om en boll kastas mot en vägg påverkar bollen väggen med en viss kraft, och väggen påverkar bollen med en lika stor motriktad kraft. Verkan av kraften på bollen blir att den vänder tillbaka. Bollen påverkas av en kraft åt vänster och väggen av en kraft åt höger. Dessa båda krafter är lika stora och motriktade. Experiment Kraftlagen En vagn placeras på en luftkuddebana. I vagnen fästs ett snöre som via ett hjul leder till ett antal tyngder som kan accelerera vagnen. Häng t.ex. en 10-gramsvikt i snöret och placera två 20-gramsvikter på vagnen. Släpp sedan vagnen, mät hastigheten och beräkna accelerationen. Placera sedan en 20-gramsvikt i snöret och 30 g på vagnen och upprepa. 242 Krafter och dynamik Rita hur accelerationen beror av den accelererande kraften. Att fundera över: Varför är det viktigt att flytta tyngder mellan snöre och vagn? Därefter kan försöket upprepas med konstant dragkraft men varierande massa på vagnen. Hur beror accelerationen på massan? © Författarna och Zenit AB Experiment Lagen om aktion och reaktion 1 Du behöver en våg, en liten bägare, en tyngd och en dynamometer. Fyll bägaren till drygt hälften med vatten och placera den på vågen. Fäst vikten i dynamometern och sänk ner vikten i vattnet. Studera vad som händer med vågens och med dynamometerns utslag då du sänker ned vikten. Förklara först det du ser och gör sedan mätningar för att kontrollera att din förklaring stämmer. 2 3 EX EMPEL 1 Kulans massa är m = 150 g = 0,150 kg. Kraftlagen ger: En kula, vars massa är 150 g, rullar nerför ett lutande plan. Kulans acceleration bestäms till 2,4 m/s2. Hur stor är den resulterande kraften på kulan? F = m · a = (0,150 · 2,4) N = 0,36 N EX EMPEL 2 Lisa står i en hiss som accelererar uppåt med 1,2 m/s2. Lisa väger 52 kg. a) Hur stor är den accelererande kraften på Lisa? b) Hur stor är den uppåtriktade kraften på Lisa? c) Med hur stor kraft pressar Lisa mot golvet när hissen accelererar och när den går med konstant fart? Experiment Fundera över hur du ska kunna mäta accelerationen hos en hiss med hjälp av en badrumsvåg. Genomför experimentet! 4 5 Svar: Den resulterande kraften utmed planet är 0,36 N. 6 7 a) Enligt kraftlagen är den accelererande kraften på Lisa: Fres = m · a = 52 · 1,2 N = 62,4 N b) Eftersom Lisa påverkas av sin tyngd neråt, så gäller att: Fres = Fupp - Fg (där Fg = m · g) Det innebär att: Fupp= Fg + Fres = (52 · 9,82 + 62,4)N ≈ (510,6 + 62, 4)N ≈ 573N c) Den kraft Lisa påverkar golvet med är lika stor som den kraft golvet påverkar Lisa med och motriktad. När hissen accelererar påverkar alltså Lisa golvet med en nedåtriktad kraft på 570 N. Då hissen går med konstant fart påverkar Lisa golvet med en nedåtriktad kraft som är lika stor som hennes tyngd, dvs. ca 510 N, och golvet påverkar Lisa uppåt med en lika stor kraft. Svar: a) Den accelererande kraften är 62 N. b) Den uppåtriktade kraften är 570 N. c) Hissen påverkas av en neråtriktad kraft, som vid acceleration är 570 N och vid konstant fart 510 N. Nu kan du lösa uppgifterna 902-906 på sidan 264 © Författarna och Zenit AB Krafter och dynamik 243 9 10 11 S Krocktest. Impulslagen För att ett föremål ska kunna ändra sin hastighet krävs att det påverkas av en resulterande kraft. Ju längre denna kraft får verka, desto större blir hastighetsändringen. Om en bil kör in i en vägg, så som krocktestet på bilden visar, är det en fördel om kraften får verka under längre tid. Ju längre tid hastighetsförändringen tar, desto mindre blir kraften som påverkar personerna i bilen. Moderna bilar är därför försedda med deformationszoner som gör att krocktiden förlängs. Utöver detta är moderna bilar utrustade med krockkuddar som fördelar kraften och på så sätt ytterligare förlänger den tid som kraften verkar. Impuls När ett föremål påverkas med en resulterande kraft accelereras det. Sambandet mellan kraft och acceleration ges av kraftlagen, F = m · a . Om accelerationen skrivs som a = Dv/Dt kan kraftlagen tecknas: F = m⋅ ∆v ∆t F · Dt = m · Dv Sambandet F · Dt = m · Dv brukar kallas impulslagen. 244 Krafter och dynamik © Författarna och Zenit AB Produkten av kraften, F, och den tid kraften verkar, Dt, kallas impuls, I, och har enheten Ns: I = F · Dt 1 Rörelsemängd 2 Produkten av massa, m, och fart, v, kallas rörelsemängd, p, och har enheten kgm/s: p=m·v Impulslagen kan alltså skrivas som: 4 F · Dt = m · Dv I = Dp 5 eller formuleras i ord: 6 Impulsen är lika stor som förändringen av rörelsemängd. 7 Exempel på impuls En trapetskonstnär på cirkus har oftast ett säkerhetsnät under sig för att kunna överleva ett eventuellt fall. Om trapetskonstnären misslyckas är rörelsemängdsändringen densamma, p = m · Dv, oavsett om det finns ett säkerhetsnät eller inte. Av impulslagen ser du att: F · Dt = m · Dv Skillnaden mellan de båda fallen är att utan säkerhetsnät verkar en stor ( dödande ) kraft under en kort tid. Med säkerhetsnät är Dt stort – kraften verkar under lång tid och är ofarlig för trapetskonstnären. För att tydliggöra skillnaderna kan du tänka dig en bil som bromsas till stillastående genom att köra in i en bergvägg eller i en höstack. I båda fallen är rörelsemängdsändringen lika stor, men om inbromsningstiden är hundra gånger längre för bilen som kör in i höstacken, är kraften endast en hundradel ( eftersom impulsen är konstant ). I många fall kan impulslagen användas istället för kraftlagen. Detta är speciellt lämpligt då hastigheter är kända eller ska beräknas. © Författarna och Zenit AB 3 Krafter och dynamik 245 9 10 11 S Kollision med en vagn Vi ska nu visa ett experiment med vars hjälp impulslagen kan verifieras. I försöket rör sig en liten vagn mot och kolliderar med en kraftgivare. Efter kollisionen vänder vagnen och rullar tillbaks i motsatt riktning. Kraften som funktion av tiden. Genom att låta vagnen kollidera med en kraftgivare kan den variation i kraft som påverkar vagnen vid kollisionen registreras och impulsen kan beräknas. Om vagnen dessutom förses med en reflektor kan vagnens rörelse studeras med hjälp av en ultraljudsdetektor. På så sätt kan rörelsemängden beräknas. Bilderna visar dels kraften, dels hastigheten som funktion av tiden. Kraften växer upp mot ett maxvärde för att sedan avta ned till noll när vagnen släpper kontakten med givaren. Hastigheten ändras direkt efter kollisionsögonblicket eftersom vagnen ändrar rörelseriktning. Tidsskalan är väsentligt olika i de båda bilderna. Hela kraftkurvan utspelas under den korta tid då hastigheten ändrar riktning. Hastigheten som funktion av tiden. Rörelsemängdsändring Genom att placera markören på lämpliga ställen i v( t )-grafen kan vagnens hastighetsförändring vid kollisionen bestämmas. Av de båda bilderna framgår att hastighetsförändringen är: Dv = ( -0,323 – 0,464 ) m/s = -0,787 m/s Vagnens massa är 1135 g. Rörelsemängdsändringen blir alltså : m · Dv = -1,135 · 0,787 kgm/s -0,893 kgm/s Det negativa tecknet ska tolkas så att hastighetsändringen och rörelsemängdsändringen är motsatta positiv rörelseriktning, dvs. motsatt vagnens ursprungliga rörelseriktning. Hastigheten vid t = 1,997 s är 0,464 m/s. 246 Krafter och dynamik Hastigheten vid t = 2,196 s är -0,323 m/s. © Författarna och Zenit AB tid Om kraften varit konstant, skulle vagnens impuls kunna beräknas som arean av rektangeln under kraftkurvan. kraft I detta fall varierar kraften med tiden. Du kan därför betrakta kraftkurvan som sammansatt av smala rektanglar, vars bas är tidsintervallet mellan mätpunkterna ( 0,0025 s ). Om du antar att kraften som registrerats av kraftgivaren är konstant under ett sådant intervall, kan impulsen bestämmas som: F5 F1 Dt Impuls Dt tid Impulsen fås genom att summera mätvärden och multiplicera med tidsintervallet mellan mätpunkterna (se översta bilden på föregående sida). 3 Genom att summera mätvärdena som registrerats av kraftgivaren och sedan multiplicera värdet med 0,0025 s får du värdet 0,898 Ns på impulsen på kraftgivaren. 4 Om ni gjort experimentet kan det vara intressant att göra om det, fast med en liten skumgummibit fasttejpad i fronten på vagnen. Försök få vagnen att träffa med samma hastighet och jämför sedan kurvorna. Vad är detta exempel på? En bil, som väger 950 kg, påverkas under 5,0 s av en accelererande kraft som är 1,1 kN. a) Hur stor blir impulsen på bilen? b) Hur stor rörelsemängdsändring får bilen? c) Hur stor blir bilens fartändring? 5 6 7 a ) Impulsen är: I = F · Dt = 1,1 · 103 · 5,0 Ns = 5,5 · 103 Ns b ) Rörelsemängdsändringen är 5,5 · 103 kgm/s, lika stor som impulsen. c ) Eftersom du vet rörelsemängdsändringen och massan, kan fartändringen beräknas: Dv = 5, 5 ⋅10 m/s 950 9 10 3 5,79 m/s 20,8 km/h 11 Svar : a ) Impulsen är 5,5 · 103 Ns. b ) Rörelsemängdsändringen är 5,5 · 103 kgm/s. S c ) Fartändringen är 21 km/h. Nu kan du lösa uppgifterna 907 – 909 på sidan 265 © Författarna och Zenit AB 2 F1 · Dt + F2 · Dt + F3 · Dt +...+ Fn · Dt = Dt · ( F1 + F2 + F3 +...+ Fn ) Enligt Newtons tredje lag är impulsen på vagnen motriktad ( -0,898 Ns ), vilket stämmer bra överens med den registrerade rörelsemängdsändringen ( se föregående sida ). E X EMPEL 3 1 Krafter och dynamik 247 Stöt Många händelser kan beskrivas som en kollision mellan två eller flera föremål. Exempel på kollisioner är t. ex. en krock mellan två biljardkulor, mellan en atomkärna och en alfapartikel, mellan jorden och en meteorit eller mellan två bilar i trafiken. En kollision ( eller en stöt ) innebär inom fysiken en händelse då två eller flera föremål kortvarigt växelverkar med varandra. Det kan vara mycket komplicerat att beskriva de krafter som verkar i själva kollisionsögonblicket. Lyckligtvis kan man ändå förutsäga vad som kommer att inträffa efter en stöt om man bara har tillräckligt med information om de inblandade föremålens rörelser före stöten. Rörelsemängd är ett centralt begrepp vid diskussion av stötförlopp eftersom rörelsemängden bevaras vid stöten. Det innebär att den sammanlagda rörelsemängden hos föremålen före stöten är lika stor som efter stöten. 248 Krafter och dynamik © Författarna och Zenit AB ex 4 Rak central stöt Du kommer i fortsättningen att i huvudsak studera raka centrala stötar. Föremålen rör sig då hela tiden längs samma riktningslinje. ex 3 v1f v2f m1 m2 F1 F2 m1 m2 v1e v2e m1 m2 1 2 s 23 s 24ö Föremålens rörelse före stöten. Kraftverkan på föremålen under stöten. Föremålens rörelse efter stöten. Bilderna ovan visar vad som händer vid kollisionen. Under kollisionen verkar kraften F1 på det vänstra föremålet och F2 på det högra. Krafterna är, i enlighet med Newtons tredje lag, lika stora och motriktade och verkar under lika lång tid, Dt. s 24n Om du tillämpar impulslagen på det vänstra föremålet får du att: 3 4 5 6 F1 · Dt = m1 · v1e – m1 · v1f 7 och på motsvarande sätt för det högra föremålet: F2 · Dt = m2 · v2e – m2 · v2f Eftersom de båda krafterna är motriktade är F1 = –F2. Om du summerar krafterna blir alltså: 9 F1 · Dt + F2 · Dt = 0 = m1 · v1e – m1 · v1f + m2 · v2e – m2 · v2f Detta kan du skriva som : 10 m1 · v1f + m2 · v2f = m1 · v1e + m2 · v2e I vänstra ledet står summan av rörelsemängderna före stöten och i högra ledet summan av rörelsemängderna efter stöten. Rörelsemängderna är alltså lika stora före och efter stöten. Detta gäller för alla stötar: S Rörelsemängden bevaras vid en stöt. © Författarna och Zenit AB Krafter och dynamik 11 249 s 23 ex 3 Före stöten: v1f s 24ö m1 s 23 s 24n Efter stöten: v1e 0 m/s m2 v2e s 24ö m1 s 24n m2 Stöt vid special­fallet v2f = 0. Är stöten fullkomligt elastisk gäller att v2e - v1e = v1f - 0, den relativa hastigheten bevaras. Vad händer med v1e och v2e om m1 = m2? Det är viktigt att du tänker på att rörelsemängden har riktning. Om föremålen rör sig åt olika håll, kommer alltså en rörelsemängd att betraktas som positiv och en annan som negativ. I allmänhet bevaras inte rörelseenergin vid en stöt. Vid de flesta kollisioner uträttas ett deformationsarbete och en del av rörelseenergin omvandlas till värme. Den totala rörelseenergin minskar därför oftast vid en stöt. I den mikroskopiska världen ( vid kollisioner mellan partiklar ) förekommer stötar där rörelseenergin bevaras. Sådana stötar kallas fullkomligt elastiska. Ibland approximerar man och säger att en stöt, t. ex. mellan två vagnar med fjädrar eller repellerande magneter, är så gott som elastisk. Vid en elastisk stöt bevaras den relativa hastigheten. Det innebär att: v1f – v2f = v2e – v1e Observera att detta enbart gäller då stöten är fullkomligt elastisk. Rörelseenergin och den relativa hastigheten bevaras vid en fullständigt elastisk stöt. Vid vissa stötar häftar föremålen ihop vid kollisionen. En stöt där detta sker kallas fullkomligt oelastisk. Sammanfattningsvis kan sägas att oavsett om stöten är fullkomligt elastisk eller fullkomligt oelastisk eller något mellanliggande så bevaras alltid rörelsemängden. Endast om stöten är fullkomligt elastisk bevaras rörelseenergin och därmed också den relativa hastigheten. Experiment Rörelsemängd Låt två personer som sitter på varsin lättrullad kontorsstol ”ta spjärn” mot varandra med kraftigt böjda armar och skjuta isär stolarna. Kan sträckorna utnyttjas för att visa att rörelsemängderna hos de båda ”stolarna” är lika och motriktade? 250 Krafter och dynamik Låt gärna personer med olika massor upprepa försöket och mät upp de sträckor som stolarna rullar. Förklara experimentet med hjälp av impulslagen och energiresonemang. © Författarna och Zenit AB EX EMPEL 4 a ) Rörelsemängden bevaras : Två vagnar rör sig mot varandra och kolliderar i en frontalkollision. Vid kollisionen fastnar vagnarna i varandra. ( 0,250 · 1,5 – 0,180 · 1,3 ) kgm/s = 0,430 kg · v a) Hur stor fart får vagnarna efter stöten? ex 4 b) Hur förändras den totala rörelseenergin hos vagnarna? Före stöten: 1,5 m/s ex 3 -1,3 m/s 0,250 kg 0,180 kg b ) Den totala rörelseenergin före kollisionen är : 1 1 ⋅ 0, 250 ⋅1, 52 + ⋅ 0,10 ⋅1, 32 J ≈ 0, 433 J 2 2 Den totala rörelseenergin minskar från 0,433 J till 0,023 J, dvs. med ca 95 %. EX EMPEL 5 En kollision mellan två vagnar med fjädrande stötfångare på en luftkuddebana är så gott som elastisk. ex 3 Före stöten: 0,350 · 2,5 = 0,350 · v1e + 0,270 · ( v1e + 2,5 ) 0,270 kg v1e v2e 0,350 kg 0,270 kg s 23 7 Eftersom det är en elastisk stöt bevaras den relativa hastigheten : 2,5 = v2e – v1e 9 10 0,875 = 0,350 · v1e + 0,270 · v1e + 0,675 0,200 = 0,620 · v1e 11 v1e 0,32 0,350 kg 5 0,350 · 2,5 = 0,350 · v1e + 0,270 · v2e Sätt in v i den första ekvationen : © Författarna och Zenit AB ex 3 Rörelsemängden bevaras : Vilka farter får vagnarna efter stöten? Efter stöten: ex 4 Alla enheter anges i kg resp. m/s. Vagn A har hastigheten u efter stöten och vagn B har hastigheten v efter stöten. v2e = v1e + 2,5 0 m/s 4 6 Före kollisionen rör sig vagn A med massan 350 g och farten 2,5 m/s in mot vagn B med massan 270 g som står stilla. 2,5 m/s ex 4 b ) Rörelseenergin minskar med ca 95 %, från 0,43 J till 0,02 J. (0,250 + 0,180) kg s 23 s 24n 3 Efter kollisionen är den totala rörelseenergin: 1 ⋅ 0, 430 ⋅ 0, 332 J ≈ 0, 023 J 2 s 24ö 2 Svar : a ) Vagnarna får farten 0,33 m/s åt den tyngre vagnens håll. v Efter stöten: 1 v 0,33 m/s v2e 2,82 S Svar : Efter stöten har vagn A farten 0,3 m/s och vagn B 2,8 m/s. Nu kan du lösa uppgifterna 910 – 913 på sidan 265 Krafter och dynamik 251 Friktion Ett föremål som rör sig längs ett underlag påverkas alltid av ett visst motstånd. Denna motståndskraft orsakas av ojämnheter i ytan hos föremålet. När ytorna är i kontakt, griper ojämnheterna tag i varandra. Denna motståndskraft kallas friktionskraft. F Ffriktion Så länge som den kraft man puttar med understiger den fullt utvecklade friktionskraften är kraft och friktionskraft lika stora. Den resulterande kraften på bilen är noll – bilen rör sig inte. Friktionskraftens storlek beror av strukturen hos de båda ytor, som är i kontakt med varandra. Däremot beror den inte nämnvärt på hur snabbt föremålet förflyttas längs ytan. Om ett föremål ligger stilla och man utsätter det för en kraft parallell med underlaget kommer föremålet att börja röra sig först då kraften man drar med blir tillräckligt stor. Tänk dig att du ska försöka putta igång en bil som fått motorstopp. Innan du börjar putta är friktionskraften = 0 N. När du börjar putta och successivt ökar kraften, ökar även friktionskraften – friktionskraften är hela tiden lika stor som dragkraften och bilen rör sig inte ur fläcken. F Ffriktion När den kraft man puttar med överstiger den fullt utbildade friktionskraften är den resulterande kraften riktad framåt – bilen accelererar. Men när du tar i på allvar kan inte friktionskraften längre motverka den kraft du puttar med. Man säger att friktionskraften är fullt utvecklad – den kan inte bli större. Eftersom kraften du puttar med är större än friktionskraften börjar bilen röra sig. I och med att bilen rör sig kan du fortsätta att putta med en kraft som är lika stor som friktionskraften. Bilen fortsätter då att röra sig med konstant fart. Vad händer om du puttar med en större eller mindre kraft? Låt oss studera en situation där ett föremål ligger på ett horisontellt bord. FN Ftyngd Tyngden, Ftyngd, påverkar föremålet med en nedåtriktad kraft. Från bordet verkar en uppåtriktad kraft som är lika stor och motsatt riktad. Denna kraft kallas normalkraften, FN. Normalkraften är alltid vinkelrätt mot underlaget, även om underlaget inte är horisontellt. Man kan visa att den fullt utvecklade friktionskraften är proportionell mot normalkraften. Detta gäller även då underlaget lutar. Vi kan formulera detta som: Ffriktion = μ · FN 252 Krafter och dynamik © Författarna och Zenit AB μ Stål mot is 0,02 Skida mot snö 0,03-0,06 Trä mot trä 0,2-0,7 Glas mot glas 0,4 Bildäck mot isbelagd asfalt 0,02 Bildäck mot våt asfalt 0,5 Bildäck mot torr asfalt 0,7 Gummi mot betong 1,0-1,5 Exempel på ytor Konstanten μ kallas friktionstalet. Friktionstalets storlek beror på de båda kontaktytornas struktur. Ju skrovligare de är, desto större. Friktionstalet är dimensionslöst, det saknar alltså enhet. Om du löser ut konstanten μ ur sambandet: m= Ffriktion FN 2 ser du att m saknar enhet. I tabellen ser du några olika exempel på friktionstal. Eftersom en bils bromskraft beror på friktionstalet, ser du tydligt hur bromskraften snabbt kan förändras när det regnar och fryser. EX EMPEL 6 Normalkraften på lådan är lika stor som lådans tyngd: En trälåda med äpplen står på ett trägolv. Lådan med äpplen väger 20,0 kg. Friktionstalet mellan de båda ytorna är 0,65. FN = m · g = 20 · 9,82 N = 196 N Tänk dig att du drar i lådan med en kraft som är parallell med golvet. Hur stor är friktionskraften mellan lådan och golvet om du drar i lådan med kraften a) 85 N b) 140 N Lådan i föregående exempel kommer ut på ett golv där det räcker med kraften 85 N för att flytta den med konstant fart längs golvet. Hur stort är friktionstalet mellan ytorna nu? Den fullt utvecklade friktionskraften är alltså: Ff = μ · FN = 0,65 · 196 N = 127,4 N ≈ 130 N a) Om jag drar i lådan med kraften 85 N, är friktionskraften lika stor och motriktad, 85 N. Lådan befinner sig alltså fortfarande i vila. 4 6 7 b) Om jag drar i lådan med kraften 140 N, överstiger dragkraften den fullt utvecklade, vilken är 130 N. Lådan kommer alltså att röra sig med den accelererande kraften 10 N. 9 Eftersom lådan flyttas med konstant fart om dragkraften är 85 N, är friktionskraften lika stor som dragkraften, dvs. 85 N. Vi kan beräkna friktionstalet μ ur sambandet Ff = μ · FN: Ff 85 N μ= = ≈ 0, 43 FN 196 N S Svar: Friktionstalet är 0,43. Krafter och dynamik 10 11 Nu kan du lösa uppgifterna 914-915 på sidan 266 © Författarna och Zenit AB 3 5 Svar: a) Friktionskraften är 85 N. b) Friktionskraften är 130 N. EX EMPEL 7 1 253 A Hookes lag C B Om vi vill förlänga eller pressa samman en fjäder måste vi påverka den med en kraft. Om vi försöker pressa samman en fjäder känner vi att fjädern ”pressar” tillbaka, vilket är helt i överensstämmelse med Newtons tredje lag. Om vi å andra sidan drar ut en fjäder upptäcker vi att fjädern drar tillbaka. Denna kraft kallas fjäderkraften. Ffjäder x Ffjäder = 0 jämviktsläge Ffjäder x Man kan visa att fjäderkraften är proportionell mot fjäderns förlängning eller hoptryckning från jämviktsläget. Sambandet kallas Hookes lag och skrivs: Ffjäder = k · x Här motsvarar x förlängningen och k kallas fjäderkonstanten. EX EMPEL 8 En vikt med massan m hänger i en fjäder med fjäderkonstanten k. Fjädern förlängs då sträckan x. a) Hur stor är den resulterande kraften? b) För en fjäder blir förlängningen 12 cm då fjädern belastas med en vikt med massan 250 g. Hur stor är fjäderkonstanten? a) Då vikten är i jämvikt är den uppåtriktade kraften lika stor som den nedåtriktade kraften, dvs. k · x = m · g. Den resulterande kraften är alltså 0 N. b) Enligt texten är x = 12 cm = 0,12 m och m = 250 g = 0,250 kg. Ffjäder = k·x Ekvationen ovan ger då att: k= m ⋅ g 0, 250 ⋅ 9, 82 N = ≈ 20, 5 N/m x 0,120 m Svar: a) Den resulterande kraften är 0 N. b) Fjäderkonstanten är 20 N/m. Ftyngd = m· g Nu kan du lösa uppgifterna 916-917 på sidan 266 254 Krafter och dynamik © Författarna och Zenit AB Krafter på avstånd Vi har nu i huvudsak studerat kraftverkan mellan föremål som är i kontakt med varandra. Kraftverkan kan också ske på avstånd, dvs. utan att föremålen är i kontakt med varandra. Exempel på detta är gravitationslagen och Coulombs lag. Det finns flera krafter som påverkar på avstånd. I Orbit 2 återkommer vi till dessa. F F r m2 Jorden påverkar dig med en kraft oavsett om du står på marken eller hoppar upp i luften. Och på samma sätt som jorden och månen påverkar varandra med lika stora, motsatt riktade krafter, så påverkar du jorden med en lika stor kraft som den påverkar dig. Enligt Newtons gravitationslag beror attraktionskraften av de ingående kropparnas massor och avståndet mellan dem: F =G⋅ m1 ⋅ m2 r2 Här står m1 och m2 för de båda kropparnas massor och r för avståndet mellan deras centra. Proportionalitetskonstanten G ≈ 6,67·10-11Nm2/kg2. När Newton 1687 publicerade sina rön som gav gravitationslagen fanns det inga möjligheter att bestämma gravitationskonstanten. Det dröjde över 100 år innan den engelske fysikern och kemisten Henry Cavendish kunde bestämma G med hjälp av en torsionsvåg En torsionsvåg består av en arm med blykulor i ändarna som är upphängd i en tunn tråd. Om två andra blykulor närmas de som ligger i ändan på armen kommer de att attrahera varandra och armen kommer att svänga någon bråkdels grad mot blykulorna. När Cavendish bestänt gravitationskonstanten fick man en möjlighet att beräkna jordens massa och densitet och man förvånades då av att densiteten hos jorden var mycket större än jorddkorpans densitet. Detta ledde till att man fick revidera de teorier som fanns om hur jordens inre var uppbyggt. © Författarna och Zenit AB 2 3 Gravitationslagen m1 1 Krafter och dynamik 255 4 5 6 7 9 10 11 S Coulombs lag Q q F F Som du tidigare sett i kapitel 5, påverkar två laddade partiklar varandra. Har laddningarna samma tecken repellerar partiklarna varandra, annars attraherar de varandra. Enligt Coulombs lag beror attraktionskraften av de ingående partiklarnas laddningar och avståndet mellan: r F = k⋅ Q ⋅q r2 Här betecknar F kraften, som verkar på var och en av laddingarna, Q och q laddningarna hos respektive punktladdning och r avståndet mellan deras centra. Konstanten k har värdet k = 8,99 · 109 Nm2/C2. EX EMPEL 9 Min egen massa betecknas m. Jordens massa betecknas M. Utnyttja din egen tyngd och tabellvädet för jordens diameter för att bestämma jordens massa. Vid jordytan är min tyngd Ftyngd = m · g där g = 9,8 m/s2 som orskas av jordens attraktionskraft: m⋅M Fattr = G ⋅ 2 R där R är jordens radie. Jordens diameter vid ekvatorn är 12 757 km. Radien är alltså R ≈ 6,28 · 106 m. Eftersom jag befinner mig vid jordens yta är radien detsamma som avståndet till jordens centrum. Men jordens attraktionskraft är min tyngd. Alltså är: m⋅M m⋅ g =G⋅ 2 R Dividera bägge sidor med m: M g =G⋅ 2 R Lös ut M: M= g ⋅ R 2 9, 82 ⋅(6, 38 ⋅106 )2 kg ≈ 5,99 ⋅1024 kg ≈ 6, 67 ⋅10−11 G Svar: Jordens massa är ca 6,0 · 1024 kg. Nu kan du lösa uppgifterna 918-922 på sidan 266 256 Krafter och dynamik © Författarna och Zenit AB Kraftresultant Om flera krafter verkar på ett föremål, kan vi alltid slå samman dem till en enda tänkt kraft, resultanten. De krafter som adderas kallas komposanter. Resultanten har samma verkan på föremålet som alla krafter som verkar på föremålet har tillsammans. Genom att bestämma resultanten förenklar vi beräkningarna, eftersom vi inte behöver ta hänsyn till många olika krafter, utan endast en. Tyngdkraften påverkar alla föremål på jorden. Men tyngdkraften på ett föremål med utsträckning är egentligen inte en enda kraft. Det är många små krafter som påverkar kroppens beståndsdelar. Vi bör rentav se tyngdkraften som resultanten till alla de krafter som påverkar föremålet. Tyngdkraftens angreppspunkt kallar vi för föremålets tyngdpunkt. Var ligger höjdhopparens tyngdpunkt? Vi har redan i tidigare avsnitt sett hur man kan bestämma resultanten till krafter som verkar längs samma riktningslinje. I exemplet med det fallande äpplet verkar fruktens tyngd, Ftyngd, nedåt och luftmotståndet, Fluft, bromsar rörelsen. Ett annat exempel är när vi skjuter en kundvagn framför oss i snabbköpet. Vi påverkar vagnen framåt med en viss kraft, och vagnen bromsas av en friktionskraft. Om dessa båda krafter är lika stora, rullar kundvagnen med konstant fart – resultanten till de bägge krafterna är 0 N. En bil som accelererar vid omkörning påverkas av en resulterande kraft i bilens riktning. Motorns drivande kraft verkar genom friktion mellan hjulen och vägen framåt. Den bakåtriktade, bromsande kraften orsakas av luftmotstånd och friktion. Kraftresultanten är alltså större än 0 N och framåtriktad – bilen accelererar alltså. Fluft Fdriv Ffriktion På bilen verkar den accelererande kraften Facc i framåtrikningen : Facc = Fdriv – Ffriktion – Fluft 3N © Författarna och Zenit AB 3N 5N Om krafterna inte verkar längs samma riktningslinje blir det lite svårare att bestämma resultanten. Krafterna adderas, men nu måste du även ta hänsyn till krafternas riktning. Detta inser du om du tänker dig att du vill addera två krafter vars storlek är t.ex. 3 N och 5 N. Beroende på hur krafterna är riktade, får resultanten olika storlek och riktning. I de två bilderna nedan kan du enkelt ta reda på resultanten, men om krafterna bildar en annan vinkel måste du använda vektoraddition (se nästa sida). 3N 5N Krafter och dynamik 257 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 S Vektoraddition När du ska addera två vektorer, konstruerar du ett parallellogram med de båda vektorerna som sidor. Storleken av resultanten får du genom att rita en skalenlig figur och mäta diagonalen som utgår från den gemensamma angreppspunkten. Om krafterna bildar rät vinkel med varandra, kan du beräkna resultanten storlek med hjälp av Pytagoras sats. 3N 3N 5N 5N För att kunna räkna ut resultantens storlek i den högra bilden, måste du känna till krafternas storlek och vinkeln mellan dem. Den matematik du behöver för att klara av en sådan beräkning ingår i senare matematikkurser. Om krafterna verkar på olika punkter av ett föremål, förflyttar du dem till en tänkt, gemensam angreppspunkt. Om du tänker dig att du drar i ett föremål med hjälp av ett rep inser du att detta är tillåtet – det spelar ju ingen roll om du fattar tag i repet närmare punkten där repet är fästat eller längre bort, så länge du drar lika mycket och i samma riktning som tidigare. Bilden visar två krafter, F1 och F2, som verkar på olika punkter på ett föremål. Genom att förflytta krafterna får du en gemensam angreppspunkt. häst 1 F1 flodpråm F2 F1 F1 F2 F2 F1 + F2 flodhäst häst 2 258 Krafter och dynamik © Författarna och Zenit AB EX EMPEL 10 Tre krafter verkar på kulan i bilden. Hur stor är krafternas resultant? 5N 3N Resultanten till de båda krafterna som är riktade åt höger är 3 N + 4 N = 7 N. 1 Den totala resultanten är då 7 N – 5 N = 2 N. Resultanten är riktad åt höger. 2 4N 2N 3 Svar: Resultanten är 2 N riktad åt höger. 4 EX EMPEL 11 Två krafter verkar på ett föremål. Den ena kraften har storleken 4,8 N och den andra 3,4 N. Hur stor är resultanten till krafterna: a) om vinkeln är rät? b) om vinkeln är trubbig (se figur)? a) Riktningen av den resulterande kraften framgår av bilden. Resultantens storlek bestäms med Pytagoras sats: 2 2 Rres = 4, 8 + 3, 4 N ≈ 5,9 N b) De båda krafterna ritas i skala. Om du låter 1 N motsvara 1 cm blir det enkelt att avläsa kraften. Om du konstruerar ett parallellogram kan du mäta resultanten till 2,15 cm, vilket motsvarar 4,3 N. 5 6 7 9 Svar: Figurerna ovan visar resultanternas riktningar. Kraftens storlek är 5,9 N resp. 4,3 N. Nu kan du lösa uppgifterna 923-924 på sidan 266 10 11 S © Författarna och Zenit AB Krafter och dynamik 259 Lutande planet Bild (a) visar ett föremål som befinner sig på ett lutande plan. Om du bortser från friktionskrafter, påverkas föremålet av två krafter: tyngdkraften (mg) och normalkraften (FN ) från underlaget. FN Fres mg 20° (a) Lutningsvinkeln 20°. hp De båda krafterna, mg och FN, kan adderas till en resulterande kraft, Fres, som är riktad utmed planet. Lägg märke till att Fres inte är en ytterligare kraft som påverkar föremålet, utan en kraft som ersätter de båda andra. Parallellogramkonstruktionen av resultanten finns inritad i figuren med hjälp av de streckade linjerna. FN Fres Föremålet i bilden kommer att accelereras nedåt längs planet på grund av den accelererande kraften, Fres. Lutningsvinkeln på planet, som i bilden är 20°, bestämmer både den resulterande kraftens, Fres, och normalkraftens, FN, storlek. mg 30° (b) Lutningsvinkeln 30°. Tyngdkraften är alltid riktad mot jordens centrum och därför riktad vinkelrätt mot horisontalplanet (som kallats hp i bilden). Normalkraften är alltid vinkelrät mot underlaget. Båda krafterna har för enkelhets skull ritats med samma startpunkt i föremålets tyngdpunkt. hp Vad som händer om du ökar lutningsvinkeln framgår av bilderna (b) och (c). Jämför storleken hos normalkrafterna vid de tre lutningsvinklarna, 20°, 30° och 40°. Vad kan du säga om dem? Vad gäller för den resulterande kraften? Vinkeln mellan tyngdkraften och den streckade linjen vinkelrät mot planet i kraftparallellogrammen är lika stor som planets lutningsvinkel mot horisontalplanet, i den vänstra figuren ovan alltså 30°. Försök att visa detta. FN Fres Med hjälp av trigonometri kan du alltså teckna olika samband mellan lutningsvinkeln och sidorna i den rätvinkliga triangel som utgör halva kraftparallellogrammen. mg 40° (c) Lutningsvinkeln 40°. hp Om du kallar lutningsvinkeln för α gäller att: sin α = Fres F och cos α = N mg mg Att täljaren i den senare ekvationens högerled är FN inser du av att den streckade närliggande kateten är lika stor som FN eftersom det är en parallellogram. 260 Krafter och dynamik © Författarna och Zenit AB Dessa samband ska du inte plugga in som minneskunskap eftersom du direkt kan plocka fram dem trigonometriskt vid behov. Ett föremål med tyngden 25 N ligger på ett glatt lutande underlag med lutningsvinkeln 40°. Beräkna normalkraften och den accelererande kraften. 1 Om mg = 25 N och α = 40° är normalkraften: EX EMPEL 12 FN = mg∙cos α = 25∙cos 40° ≈ 19,2 N 2 På motsvarande sätt blir den accelererande kraften: Fres = 25∙sin 40° ≈ 16,1 N Eftersom friktionen är försumbar gäller enligt kraftlagen att accelerationen blir: Bestäm också föremålets acceleration längs planet a= Fres 16,1 = m/s 2 ≈ 6, 3 m/s 2 m (25 / g ) Svar: Normalkraften är 19 N, den resulterande kraften 16 N och accelerationen 6,3 m/s2. EX EMPEL 13 Eftersom lådan precis nätt och jämt ligger kvar är friktionen mellan lådan och underlaget fullt utbildad. En låda som väger 4,7 kg ligger på ett lutande plan som har lutningsvinkeln 25° mot horisontalplanet. Då gäller att friktionskraften Ff = μ∙N, där μ betecknar friktionstalet. Eftersom lådan är i jämvikt är Fres = Ff. Alltså är Fres = μ∙N. Om lutningsvinkeln ökas det allra minsta börjar lådan glida. Hur stort är friktionstalet mellan lådan och underlaget? 4 5 6 7 Tillsammans med de båda andra sambanden blir detta: mg∙sin 25° = μmg∙cos 25° 9 som kan förenklas till: sin 25° = μ∙cos 25° μ = sin 25°/cos 25° = tan 25° ≈ 0,466. 10 Svar: Friktionstalet är 0,47. Observera att uppgiften om lådans massa är onödig för att bestämma friktionstalet. Skulle däremot friktionskraften också varit efterfrågad hade du behövt denna uppgift. Hur stor blir friktionskraften? Nu kan du lösa uppgift 925 på sidan 267 © Författarna och Zenit AB 3 Krafter och dynamik 261 11 S Sammanfattning Newtons första lag – tröghetslagen Ett föremål som inte påverkas av någon resulterande kraft förblir i vila eller fortsätter att röra sig med konstant fart längs en rät linje. Newtons andra lag – kraftlagen Accelerationen är proportionell mot den resulterande kraft som verkar på föremålet, och verkar i den resulterande kraftens riktning. Sambandet mellan kraft och acceleration är: F=m·a där m betecknar kroppens massa. Newtons tredje lag – lagen om aktion och reaktion Två föremål påverkar varandra med krafter som är lika stora och motsatt riktade. Impuls och rörelsemängd Ett föremåls impuls, I, är detsamma som produkten av kraften och den tid som kraften verkar under : Enligt impulslagen är impulsen lika stor som ändringen av rörelsemängden : F · Dt = m · Dv Impulsen kan beräknas som arean mellan grafen och den horisontella axeln i ett diagram där kraften ritats som funktion av tiden. Stöt Den totala rörelsemängden bevaras vid en stöt. Med detta menas att summan av rörelsemängderna med hänsyn till rörelseriktningar är lika stor före som efter stöten. Detta gäller oavsett om stöten är elastisk eller oelastisk. Vid en fullkomligt oelastisk stöt häftar föremålen samman och rör sig som ett föremål efter stöten. En stor del av den sammanlagda rörelseenergin hos föremålen före stöten omvandlas vid stöten till värme genom deformationsarbete – den totala rörelseenergin efter stöten är väsentligt mindre än före stöten. Vid en fullkomligt elastisk stöt bevaras rörelseenergin och den relativa hastigheten. I = F · Dt Ett föremåls rörelsemängd, p ges av sambandet : p=m·v 262 Krafter och dynamik © Författarna och Zenit AB Friktion Ett föremål som rör sig längs ett underlag påverkas av den fullt utbildade friktionskraften Ff. Den fullt utbildade friktionskraften beräknas som: Ff = m · FN där FN är normalkraften från underlaget och μ är friktionstalet. Hookes lag För att dra ut eller trycka samman en fjäder sträckan x, behövs kraften: F=k·x där k är fjäderkonstanten. Gravitationslagen Två kroppar med massorna m1 och m2 påverkar varandra med attraktionskraften: F =G⋅ m1 ⋅ m2 r2 Coulombs lag Två partiklar med laddningarna q1 och q2, påverkar varandra med kraften: F = k⋅ 1 2 q1 ⋅ q2 r2 där r är avståndet mellan de laddade partiklarnas centra. Konstanten k har värdet 8,99·109 Nm2/C2. Kraften är attraktiv om laddningarna har olika tecken, annars repulsiv. Resultant till krafter Om flera krafter verkar på ett föremål, kan man slå samman dem till en enda tänkt kraft, resultanten. Resultanten har samma verkan på föremålet som alla krafter som verkar på ett föremål har tillsammans. Resultanten till krafter med riktningslinjer som skär varandra kan bestämmas genom parallellogramkonstruktion. 3 4 5 6 7 8 9 där r är avståndet mellan de båda kropparnas centra. Gravitationskonstanten G har värdet 6,67 · 10-11 Nm2/kg2. 10 11 S © Författarna och Zenit AB Krafter och dynamik 263 Uppgifter 901 Galileis ränna. Galilei föddes 1564 i Pisa. Som 17-åring började han studera medicin men övergav snart detta, eftersom han tyckte naturvetenskap var mer intressant. Ett av de många praktiska försök Galilei utförde var att rulla kulor nerför en ränna. Avsikten med experimentet var att hitta ett samband mellan kulans läge och tiden den rullat. Målet var att kunna ge en matematisk beskrivning av rörelsen. 903 Vid en 100-metersstart mäts löparens accele- ration i framåtriktningen till 4,7 m/s2. Löparen väger 62 kg. Hur stor är den resulterande kraften på löparen i startögonblicket? 904 En bil med massan 1,2 ton accelererar från 50 km/h till 60 km/h på 6,0 s. Hur stor accelererande kraft behövs? 905 En fönsterputsare tappar sin spann som I Galileis försöksuppställning slog kulan mot små klockor på vägen ned. a Vilken uppgift tror du att klockorna hade. b Varför är avståndet mellan klockorna allt längre efterhand som kulan rullat längre i rännan? c Beräkna avstånden mellan de övriga klockorna om avståndet mellan de två första är 50 cm. 902 Ett par personer skjuter fart på en bil som fått motorstopp. De lyckas ge bilen en resulterande kraft framåt som är 200 N. Bilens massa är 980 kg. Vilken acceleration får bilen? 264 Krafter och dynamik väger 850 g. a Hur långt faller spannen under de första 0,59 s av fallet. b Efter en stund bromsas spannen märkbart av luftmotståndet. Om spannens acceleration minskat till 3,2 m/s2, med hur stor kraft påverkar luftmotståndet spannen? 906 Louise väger 60 kg och är på väg upp i en hiss. Hissen börjar med att accelerera med 1,5 m/s2 uppåt, fortsätter efter en stund med konstant fart, och bromsar slutligen in till stillastående med accelerationen -1,2 m/s2. Med hur stor kraft påverkar Louise hissgolvet när hissen: a accelererar uppåt? b går med konstant fart? c bromsar in? © Författarna och Zenit AB 907 En lastbil har massan 12 ton. 911 En lastbil och en personbil kolliderar i en a Hur stor impuls måste den utsättas för om farten ska ökas från 50 km/h till 90 km/h ? b Hur stor medelkraft behövs om fartändringen sker på 15 s ? 908 En boll som väger 85 g har den nedåtriktade farten 3,6 m/s precis innan den slår i golvet. Omedelbart efter studsen är den uppåtåtriktade farten 2,7 m/s. a Hur stor är bollens rörelsemängdsändring ? b Hur stor impuls har bollen påverkats av under studsen mot golvet ? c Hur har bollens rörelseenergi förändrats vid studsen ? Vart har rörelseenergin tagit vägen ? frontalkrock. Lastbilens fart vid kollisions­ ögonblicket är 40 km/h och personbilens 60 km/h. Lastbilen väger 5,2 ton och personbilen 1,3 ton. Vid kollisionen fastnar bilarna i varandra. a Hur stor hastighet har de sammanhängande bilarna omedelbart efter krocken ? b Beräkna den totala rörelseenergin före och efter kollisionen. Hur mycket energi omvandlas till värme vid kollisionen ? 912 En astronaut på ”rymdvandring” befinner sig 100 m från sin farkost. Han väger 150 kg inklusive utrustning. För att återvända till farkosten avfyrar han sin strålpistol i riktning bort från farkosten. På så sätt påverkas han av kraften 5 N under 6 s. 1 2 3 4 5 6 909 Försök hitta några exempel på olika tekniska 7 lösningar där impulslagen utnyttjas för att ge en liten kraft under lång tid eller för att ge en stor kraft under kort tid. 8 910 En skytt ligger på en lättrullande vagn och 9 avfyrar en projektil. Projektilen har massan 0,50 g och hastigheten 400 m/s. Skytten väger tillsammans med vagnen och geväret 100 kg. Vilken rekylhastighet får skytten ? 10 Hur lång tid tar det innan han kommer tillbaka till rymdfarkosten ? Bortse från den tid accelerationen tar. 11 S © Författarna och Zenit AB Krafter och dynamik 265 913 Två vagnar, A och B, hålls samman. Mellan vagnarna är en fjäder hoptryckt. Vagn A har massan 3,0 kg och vagn B har massan 5,0 kg. När fjädern utlöses sätts vagnarna i rörelse. Då vagn A släppt kontakten med fjädern har den hastigheten 0,80 m/s. Hur stor energi var lagrad i fjädern? Fjäderns massa kan försummas. (CP 91) 914 En stålplatta, som väger 50 g, placeras på ett isblock. Hur stor kraft behövs för att skjuta plattan med konstant fart över isen? 915 En skidåkare har i ett visst ögonblick farten 9,0 m/s och börjar glida längs det horisontella underlaget. a Hur långt glider han innan han stannar? b Hur lång tid tar det att stanna? 916 Ett metallstycke som väger 0,50 kg hänger i en fjäder med fjäderkonstanten 50 N/m. a Rita en figur som visar krafterna på metallstycket då det hänger stilla. b Hur långt är fjädern utdragen, då metallstycket hänger i sitt jämviktsläge? c Tänk dig att du fattar tag i metallstycket och drar neråt så att fjädern förlängs 10 cm. Rita en ny figur som visar krafterna på metallstycket och ange hur stora de olika krafterna är. 917 Ett metallstycke med okänd massa hängs i en fjäder. Fjädern förlängs då med 8,8 cm. Om fjäderkonstanten är 95 N/m, hur stor massa har metallstycket? 918 Anta att du fick möjlighet att befinna dig i en satellit 2 600 km över jordytan. Hur stor skulle din tyngd vara där jämfört med din tyngd på jorden? 266 Krafter och dynamik 919 Med hur stor kraft påverkas du av en bil, då du står alldeles intill den utan att röra vid den. Gör lämpliga antaganden om massorna och avståndet mellan din och bilens tyngdpunkter. 920 Torsionsvågen på sidan 255 finns på Kate- dralskolan i Lund. De små blykloten i ändarna på armen väger 20,0 g och de stora blykloten (som kan närmas från sidan) väger 1,200 kg. När kloten är som närmast varandra är avståndet mellan deras medelpunkter 5,0 cm. Hur stor blir kraften på armen? 921 Redan för 2500 år sedan mättes jordens radie (se kap 1). Enligt meterdefinitionen är jordens omkrets ungefär 40 000 km. Tyngdfaktorn, g, vid jordytan är 9,82 m/s2. Använd detta och den allmänna gravitationslagen för att beräkna jordens massa. 922 I Bohrs atommodell tänker man sig att väte­ atomen består av en proton och en elektron som befinner sig 0,05 nm från varandra. a Med hur stor elektrostatisk kraft påverkar protonen elektronen? b Med hur stor gravitationskraft påverkar protonen elektronen? c Jämför de bägge krafterna och dra slutsatser av dina beräkningar. 923 I punkten P verkar två krafter som är vinkel- räta mot varandra. Den ena kraften är 25 N och den andra är 35 N. a Bestäm resultanten (både storlek och riktning) till krafterna. b Anta att du ska tillfoga en kraft så att punkten P kommer i jämvikt. Vilken storlek och riktning ska denna kraft ha? © Författarna och Zenit AB 924 Två snören S1 och S2 är fästade i ett häftstift P (se figuren). I snöre S1 verkar kraften 4,8 N och i snöre S2 kraften 6,2 N. Bestäm resultanten till de båda krafterna genom noggrann konstruktion. S1 928 Hur stor är rörelsemängden hos en person med massan 75 kg som springer med hastigheten 6,8 m/s? 929 När en hundragramsvikt hängs i en fjäder förlängs fjädern med 3,7 cm. Beräkna fjäderkonstanten. 930 En cyklist med farten 20 km/h påverkas av krafter som beror på friktion och luftmotstånd. Sammanlagt är dessa bakåtriktade krafter 240 N. Hur stor måste den framåtdrivande kraften från cyklisten vara för att cykeln ska fortsätta framåt med konstant fart? P S2 925 En blomkruka som har tyngden 250 N står på en ramp som lutar 25° mot horisontalplanet. Friktionstalet mellan blomkrukan och rampen år 0,68. a Hur stor är friktionskraften mellan krukan och rampen? b Man vill flytta krukan uppför rampen genom att dra den längs med planet. Hur stor är den minsta kraft som behövs för att göra detta? Blandade uppgifter: Till vissa av de blandade uppgifterna måste du göra egna antaganden. Glöm inte att redovisa dessa! 926 En bil med massan 850 kg påverkas av en framåtriktad resulterande kraft på 350 N. Hur stor blir bilens acceleration? 927 Två krafter på 3,5 N och 4,3 N verkar på ett föremål. Beräkna storleken på den resulterande kraften om vinkeln mellan de båda krafterna är 90°. © Författarna och Zenit AB 2 3 4 5 931 1 v /(m/s) 9,0 6 3,0 7 5,0 t /s Grafen visar ett föremåls rörelse under fem sekunder. Föremålet väger 12 kg. Hur stor är den resulterande kraft som behövs? 932 En boll som väger 120 gram faller från ett torn och uppnår sin gränsfart. a Rita en bild med samtliga krafter utritade. b Vad kan du säga om de krafter som verkar på bollen? 933 Eddie vill kontrollera hur stor friktions- kraften är när han cyklar. Han slutar därför trampa när farten är 20 km/h. Cykeln rullar då 40 m längs den horisontella vägen. Hur stor är den resulterande friktionskraften om Eddie och cykeln tillsammans väger 85 kg? Krafter och dynamik 267 8 9 10 11 S 934 Hur stor rörelsemängd har en elektron som 939 Beräkna en ungefärlig bromssträcka för en rör sig med farten 2,5 · 105 m/s ? bil från 90 km/h till stillastående under olika vägförhållanden. Studera torr asfalt, våt asfalt och isbelagd asfalt. 935 940 Anta att du kör bil med farten 90 km/h. Ett tåg består av ett lok och två stycken vagnar. Loket väger 38 ton och var och en av vagnarna 20 ton. Efter att ha stannat på en station accelererar tåget till 90 km/h, vilket tar 1,5 minuter på den horisontella banan. a Hur stor är kraften i kopplet mellan loket och den första vagnen under accelerationen? Bortse helt från friktionen i vagnarnas hjul och mellan hjulen och rälsen. b Hur stor är kraften i kopplet mellan de två sista vagnarna under accelerationen? a Hur lång tid tar det att från det att du trampar på bromsen tills bilen stannar om retardationen är 4,2 m/s2 ? b Hur lång blir bromssträckan ? 941 Erika spelar squash. Vid ett tillfälle när hon smashar bollen är den på väg in mot racketen med farten 14 m/s och lämnar den med farten 55 m/s i rakt motsatt riktning. En squashboll väger 24 g. a Hur stor är bollens rörelsemängdsändring ? b Hur stor är medelkraften på bollen om bollen och racketen antas vara i kontakt med varandra i 5 ms. 942 *Hur lång uppfattas en sträcka som i jordens 936 referenssystem är 2,4 km i ett system som rör sig med farten 99,99 % av ljusets fart ? 943 Om en person faller ut från ett fönster på Tre klossar placeras ovanpå varandra på ett bord som bilden visar. Klossarna har massorna 100 g, 150 g och 200 g, uppifrån räknat. 944 En liten luftkuddepuck med massan 150 g Rita tre bilder, en för varje kloss, där samtliga krafter som verkar på denna kloss visas. 937 En hiss som med last väger 1 600 kg accelere- ras uppåt med 1,2 m/s2. Hur stor är lyftkraften i hisslinan under accelerationen? 938 Anta att du hoppar rakt upp i luften. Hur stor är din acceleration då du befinner dig i den högsta punkten under hoppet? 268 tionde våningen är det inte fallet som skadar honom, utan det plötsliga inbromsandet. Förklara detta påstående med Newtons lagar. Krafter och dynamik knuffas uppför ett lutande plan och får begynnelsefarten 5,0 m/s. Pucken påverkas av en nedåtriktad kraft utmed planet som är 0,40 N. a Beskriv puckens rörelse med funktionerna s( t ), v( t ) och a( t ). b Hur lång tid dröjer det innan pucken vänder ? c Hur högt upp på planet är den då ? © Författarna och Zenit AB 945 Om du är passagerare i en bil som blir påkörd bakifrån kan du råka ut för allvarliga nackskador, så kallade whiplash-skador. a Förklara med hjälp av Newtons lagar hur dessa uppkommer b Hur kan ett nackstöd i bilen hjälpa till att förhindra skadan? 948 *Två temperaturprober är anslutna till en CBL. En försöksperson studerar vad som händer då den ena proben värms i handen och den andra i munnen. Båda proberna är i rumstemperatur (drygt 21°C i luften) när försöket startas. Sedan stoppas den ena proben in i munnen och den andra värms i handen. Efter halva experimenttiden tas de båda proberna ut och expo- 1 2 3 4 946 Studera bilden av en boll som rullar nerför en backe. Vilket av följande påståenden är korrekt? neras för luften i rummet. Resultatet av försöket ser du i grafen. a Vilken graf hör till vilken prob? b Förklara utseendet ur fysikalisk synvinkel hos de båda graferna så ingående du kan. a Farten ökar, men accelerationen minskar. 949 En hiss som med last väger 1,3 ton accele- b Farten minskar, men accelerationen ökar. reras uppåt från stillastående med konstant acceleration 0,85 m/s2 under 2,5 s. a Hur stor fart får hissen efter denna tid ? b Hur stor kraft måste hisslinan kunna tåla för att klara av denna acceleration ? Hissen går med konstant fart under 12,5 s och bromsas därefter in till ett stopp vid en våning. Inbromsningen sker med en nedåtriktad acceleration som är 1,1 m/s2. c Hur lång tid tar färden mellan våningarna ? d Hur långt har hissen rört sig ? e Rita graferna s( t ), v( t ) och a( t ) för hissens rörelse. c Både farten och accelerationen ökar. d Både farten och accelerationen är samma hela tiden. e Både farten och accelerationen minskar. 947 Fs – Fs F1 F2 Hur är det möjligt att det ena laget kan vinna över det andra i en dragkamp? Strider detta inte mot Newtons tredje lag? © Författarna och Zenit AB Krafter och dynamik 269 5 6 7 8 9 10 11 S 950 En person utför ett jämfotahopp på en våg som är ansluten till mätutrustning så att kraften på vågen kan registreras som funktion av tiden. Själva hoppet går till så att personen snabbt böjer benen och sedan skjuter ifrån. Grafen visar ett jämfotahopp på vågen. Den vertikala axeln visar kraften i newton och den horisontella tiden i sekunder. Graderingen är 500 N respektive 0,2 s per skalstreck. a Vad gör personen i de olika faserna? Förklara grafens utseende. b Det finns tillfällen då personen har en uppåtriktad respektive en nedåtriktad acceleration. Hur kan du avgöra det? c Bestäm den största uppåtriktade respektive största nedåtriktade accelerationen hos hopparen. Vad gör hopparen just då? 951 På s. 247 verifierades impulslagen, och en v( t )-kurva registrerades. Som du kan se minskar vagnens fart under rullningen, både före och efter kollisionen med kraftgivaren. Förklara varför grafen ser ut som den gör ! 270 Krafter och dynamik 952 * Helen kör i 70 km/h längs en rak väg. Plöts- ligt kör en bil med släp ut från en sidoväg. Helen hinner i tid bromsa, och undviker med minsta möjliga marginal att krocka. Ett par dagar senare tänker hon: ” Vad hade hänt om jag istället kört i 90 km/h?”. Helen åker ut till platsen där hon höll på att krocka och mäter upp bromsspåren till 28,5 meter. Hon räknar sedan ut hur lång bromssträckan skulle varit om hon kört i 90 km/h. a Hur lång blir bromssträckan? b Hur hög hastighet hade Helen haft då hon kraschade in i släpet om hon hållit 90 km/h? 953 35 km/h 90 km/h Ett rälsbusståg håller farten 90 km/h. 500 meter framför tåget upptäcker föraren en liten dressin med arbetare och slår genast till bromsarna, vilket ger tåget en retardation på 0,25 m/s2. Dressinen håller en fart på 35 km/h. Tack vare att lokföraren bromsar kommer de att klara sig. Beräkna minsta avståndet mellan tåg och dressin. © Författarna och Zenit AB