48
Kapitel 6
Övningsmaterial
6.1
Mapleövningar
1. Förkorta bråket 428571/126577 så långt som möjligt.
2. Beräkna 21/3 med 100 decimaler.
− b − 2b − a + a − b .
3. Förenkla uttrycket 2a
ab
a2 + ab b2 + ab
√
√
4. Lös ekvationen 3 x − 1 + 3x + 1 = 2.
5. Lös olikheten |x2 − 5| < 4.
6. Lös olikheten x3 + 3x2 − 3x > 1.
√
1+ y
√ = 3x.
7. Lös ut y ur ekvationen ln
1− y
8. Lös några tredje- eller fjärdegradsekvationer. Hur ser lösningarna vanligtvis ut? Vad gäller för ekvationer
av högre grad? Börja t ex med x3 − 3x2 + x = 1, x4 + πx = 1 eller x5 = x + 1.
9. Beräkna rötterna till ekvationen 4 cos x = 3 arctan x approximativt. (Använd gärna Newton-Raphsonmetoden, se avsnitt 5.2.)
10. Lös den diofantiska ekvationen 36x − 21y = 9.
11. Lös den diofantiska ekvationen 91x + 28y = 11.
12. Bestäm alla heltal x och y som uppfyller 273x2 + 468y 2 = 14313.
13. Fibonaccitalen definieras av a0 = 0, a1 = 1 och an = an−1 + an−2 . Beräkna en sluten formel för an .
14. Lös ekvationssystemet x2 + x + 4y − 2y 2 = −4, 2x2 + x − 2y + y 2 = 3.
Pn
15. Beräkna k=1 4k 3 − 3k 2 + k + 1.
Pn
16. Beräkna k=0 k nk .
Q
17. Beräkna (a2 + 1), där a genomlöper rötterna till x5 − x3 + 2 = 0.
18. Beräkna limn→∞ (1 + x/n)n.
R
19. Beräkna sin2 x dx.
R∞
20. Beräkna integralen −∞ sin x/x dx.
49
KAPITEL 6. ÖVNINGSMATERIAL
6.2. ENVARIABELANALYS
21. Beräkna f (1), f 0 (1), f 00 (1) och f (3) (1) om f (x) = arctan(xx ).
22. Bestäm alla konstanter C sådana att ekvationen x4 − 5x3 + Cx2 − 5x + 1 = 0 har någon dubbelrot.
Ange samtliga rötter till ekvationen för dessa C. (Om p(x) är ett polynom, så säges ekvationen p(x) = 0 ha
dubbelroten a om p(a) = 0 och p0 (a) = 0.)
23. Rita kurvan y = tan x för −5 6 x 6 5 och ett lämpligt intervall för y-axeln.
24. Studera olikheten ex > 1 + x genom att rita y = ex och y = 1 + x i samma koordinatsystem.
25. Rita kurvorna y = xx respektive y = x1/x för positiva x. Beräkna gränsvärdena då x → 0 från höger
och då x → ∞. Var är kurvorna minst respektive störst? (Beräkna derivatornas nollställen!)
26. Rita ellipsen x2/4 + y 2/9 = 1 för x och y mellan −3 och 3.
27. Rita kurvan x2 + 2y 2 − z 2 = 2 för x mellan −4 och 4 samt y och z mellan −3 och 3.
6.2
Envariabelanalys
28. Sätt f (x) = (x2 − 8)ex/(x2 + 3x + 3). Rita kurvan y = f (x). Avgör om f har något globalt maximum
eller minimum. Beräkna dem i så fall.
29. Vilken punkt på kurvan y = x + 2 + 4/(2x − 3) ligger närmast origo?
30. Beräkna största respektive minsta värdet av funktionen
f (x) =
x4 + 4x − 21
.
x4 − 2x2 + 5
31. Bestäm alla konstanter C sådana att kurvan y = (5 − 13x)/(x2 + 2) + C tangerar kurvan y = 1/x i
någon punkt. (Två kurvor y = f (x) och y = g(x) säges tangera varandra i punkten x = a om f (a) = g(a)
och f 0 (a) = g 0 (a).)
32. Bestäm alla konstanter C sådana att kurvan y = (1 − 3x2 ) arctan x + Cx2 − 4x har någon terrasspunkt.
33. Sätt f (x) = 2 arctan x − ln(4 + 4x + x2 ) + 1. Rita kurvan y = f (x). Beräkna antalet nollställen till f .
Använd Newton-Raphsonmetoden för att approximera nollställena till f med cirka fem siffrors noggrannhet.
Kontrollera att siffrorna är signifikanta, t ex genom att visa att f växlar tecken vid närmevärdena.
34. Bestäm antalet lösningar till ekvationen
5x + 2
x
+ 4 arctan
=π
−x−6
x+2
x2
och beräkna lösningarna approximativt med hjälp av Newton-Raphsonmetoden.
35. Beräkna alla tal x0 sådana att tangenten till kurvan y = (x + 3)ex/(x2 + 3x + 2) i punkten x = x0 går
genom origo.
36. Sätt f (x) = x5 − 5x3 + 4x. Skissera kurvan y = f (x). Beräkna nollställena till f . Mot vad konvergerar
Newton-Raphons talföljd till f med startvärdena x0 = 0.6481, x0 = 0.6481617, x0 = 0.64817, x0 = 0.64821
och x0 = 0.64822? Kommentera resultatet.
p
37. Funktionen f (x) = |x| signum x har ett nollställe i x = 0. Tillämpa Newton-Raphsonmetoden på f
med olika startvärden x0 6= 0. Får man konvergens mot 0? Förklara vad som sker genom att beräkna och
förenkla x − f (x)/f 0 (x) för x > 0 respektive för x < 0.
38. Beräkna lim an för varje reellt tal a0 om an+1 = 5a2n /(a2n + an + 1).
50
KAPITEL 6. ÖVNINGSMATERIAL
6.3
6.3. LINJÄR ALGEBRA
Linjär algebra
39. Bestäm alla reella tal a, b, c och d sådana att
2
1
A=
2
1
A4 + aA3 + bA2 + cA + dE = 0, där
3 −4
2
0
5 −2
.
3
1
3
2
5
3
Jämför med det(A − xE). Finns det a, b och c sådana att A3 + aA2 + bA + cE = 0?
40. Bestäm alla heltal m och n sådana att matrisen
n 1
2 m
1 2
1 3
2 3
3 2
1 2
1 6
har en invers vars samtliga element är heltal. (Försök gärna visa att en kvadratisk matris med heltalselement
har en invers vars samtliga element är heltal om och endast om dess determinant är ±1.)
41. Ange en ortogonal matris Q och en uppåt triangulär matris R så att A = QR, där
1
2
0
4
1 −1
2
1
.
A=
−1
1
1 −2
−1 −2 −3 −1
42. Approximera
√
1 − x2 med ett fjärdegradspolynom på intervallet [−1, 1]. Illustrera med en figur.
43. Beräkna samtliga egenvärden och egenvektorer till matrisen
13
7
1
9
−22 −20
5
−21
A=
−21 −18
4 −19
6
10 −5
9
.
Är A diagonaliserbar?
44. Ange en inverterbar matris T sådan att T −1AT
3 0
0 1
A=
−4 0
4 0
2 0
är en diagonalmatris, där
−3
0 −7
6
4
2
3
0
8
.
−5 −1 −9
−3
0 −6
45. Ange en ortogonal matris T sådan att T tAT är en diagonalmatris, där
9
1 −5
3
1
9
3 −5
.
A=
−5
3 −7
9
3 −5
9 −7
46. Bestäm den allmänna lösningen till systemet
0
u = 9u1 + u2 − 5u3 + 3u4
01
u2 =
u1 + 9u2 + 3u3 − 5u4
0
u
=
−5u
1 + 3u2 − 7u3 + 9u4
30
u4 = 3u1 − 5u2 + 9u3 − 7u4 .
51
KAPITEL 6. ÖVNINGSMATERIAL
6.3. LINJÄR ALGEBRA
47. Antag att r och s är reella tal, r > 0 och s 6= 0, samt att
s r2
A=
.
1 s
Ange en inverterbar matris T sådan att T −1AT är en diagonalmatris.
48. Beräkna en formel för an och bn om a0 = s, b0 = 1, an+1 = san + r2 bn och bn+1 = an + sbn . Här är r, s
reella, r > 0 och s 6= 0.
49. Beräkna en formel för cn om c0 = s och cn+1 = (scn + r2 )/(cn + s) med r och s som ovan.
50. Newton-Raphsonföljden till f (x) = x2 −r2 ges av y0 = s och yn+1 = (yn2 +r2 )/2yn . Jämför y0 , y1 , . . . med
c0 , c1 , . . . från problemet ovan och finn ett samband. Gissa en formel för yn och bevisa den med induktion.
Beräkna lim yn med hjälp av formeln.
52
