Relativitetsteorins grunder, våren 2016
Räkneövning 6
Lösningar
1. Gör en Newtonsk beräkning av den kritiska densiteten i vårt universum. Tänk dig en
stor sfär som innehåller många galaxer med den sammanlagda massan M . Vi tänker
oss att vår egna galax har massan m och ligger på ytan av denna sfär. Enligt den
kosmologiska principen kommer universum att vara sfäriskt symetriskt, vilket betyder
att den gravitationella kraften på vår galax med massan m kommer att vara endast
en konsekvens av massan innanför denna sfär. All kraft som kommer från utsidan av
sfären summeras till 0, som vi minns från våra kurser i Newtonsk mekanik. Då är
alltså den potentiella energin för vår galax Upot = − GmM
och den totala energin blir
R
GmM
1
Etot = mv 2 −
2
R
(1)
Härled alltså från detta, värdet på den kritiska densiteten genom att anta att alla
galaxer sprider ut sig i universum enligt Hubbles lag v = H0 R.
Svaret blir ρc =
kubikmeter.
3H02
8πG
= 1.0 × 10−26 kg/m3 , vilket motsvarar ungefär 6 väteatomer per
Konstanterna:
H0 = 2, 4 · 10−18 1/s
G = 6, 67259 · 10−11 Nm2 /kg2 .
Lösning: I ett sfäriskt universum (figur 1) har vi en mittpunkt (inte sant på riktigt)
och p.g.a. den sfäriska symmetrin påverkas vintergatan endast av den massa som
ligger innanför sfärens kanter. Detta ger den potentiella energin för vintergatan som
Upot = −
GmM
,
R
(2)
där M är all massa innanför sfärens kanter. Den totala energin för vintergatan är
GmM
1
,
Etot = mv 2 −
2
R
(3)
vilket m.h.a. Hubbles lag v = H0 R blir
1
GmM
Etot = m(H0 R)2 −
.
2
R
(4)
m
vintergatan
är en galax
R
Figur 1: Vi ser ett säfrisk universum där endast massan innanför sfärens kanter påverkar
vintergatan gravitationellt.
Den kritiska densiteten (ρc ) definieras av att det finns just tillräckligt med massa
i universum för att expansionen skall stanna av och systemet befinna sig i jämvikt
efter en mycket lång tid. Villkoret för detta är givetvis Etot = 0, vilket ger oss
1
GMc m
1
0 = m(H0 R)2 −
⇔ H02 R3 = GMc .
2
R
2
(5)
Den totala kritiska massan i universum kan uttryckas som Mc = 43 πR3 ρc ⇒
1 2 3
4
3H02
H0 R = G πR3 ρc ⇔ ρc =
≈ 1, 0 · 10−26 kg/m3 .
2
3
8πG
2. Vi betraktar figur 2 på baksidan av papret.
Det kortaste avståndet mellan två punkter på ytan av sfären mätt längs sfärens yta
är r = Rθ. Då ballongen expanderar ökar dess radie men vinkeln θ ändras inte.
a.) Förklara varför
tidpunkt som helst.
dR
dt /R
är konstant för alla punkter på sfärens yta, vid vilken
R
R
a.)
b.)
R
R
Figur 2: Figur för uppgift 2.
b.) Visa att v = dr
dt är direkt proportionel mot r vid varje ögonblick.
c.) Använd svaret i uppgift a.) till att hitta ett uttryck för Hubbles konstant H0
m.h.a. R och dR
dt .
d.) Uttrycket du fick i uppgift c.) är konstant i rummet. Hur borde R bero av t för
att H0 skall vara konstant i tiden?
e.) Är ditt svar till uppgift d.) konsistent med den gravitationella attraktionen av
massa i universum?
Lösning: a.) Eftersom alla punkter på ytan av sfären ligger på samma avstånd R,
och sfären deformeras inte då den blåses upp så, att dR
dt måste också vara densamma
för alla punkter på sfärens yta ⇒
1 dR
= k,
R dt
där k är en konstant på säfrens yta, då den inte beror av vinklarna θ, φ, vilka beskriver
alla punkter i vårt 2D expanderande ”universum”. Denna kvantitet R1 dR
dt behöver
givetvis inte vara konstant i tiden!
b.) Eftersom r = Rθ ⇔ R =
k(t) =
r
θ
⇒
1 dR
θ d( θr )
θ 1 dr
1 dr
dr
=
=
=
⇔ k(t)r =
= v,
R dt
r dt
r θ dt
r dt
dt
där C(t) är en konstant i rummet men en funktion av tiden.
(6)
c.) Vi fick k(t)r = v, vilket vi kan jämföra med Hubbles lag H0 r = v, d.v.s. k(t) = H0
är Hubbles konstant (som beror av tiden) och enligt b.) k(t) = R1 dR
dt = H0 (t).
d.) Om H0 (t) inte beror av tiden får vi differential ekvationen
1 dR
dR
= H0 ⇔
= RH0 ,
R dt
dt
(7)
med lösningen
R(t) = AeH0 t ,
(8)
där A är en konstant (oxå i tiden :-). D.v.s. om vi kräver att H0 är en konstant
expanderar balonguniversat enligt R(t) = AH0 t , vilket ser ut som (figur 3)
<
R
A
>
t
Figur 3: Vi ser hur detta balonguniversum expanderar med tiden.
e.) Grafen betyder att balonguniversumet expanderar exponentiellt och expansionen
accelererar. Detta är inte konsistent med den gravitationella attraktionen som all
massa i universum åstadkommer. Expansionen borde ju avta. Det finns två saker
i vår modell som gör att den blir för enkel. För det första, antog vi att Hubbles
konstant är konstant i tiden. Detta är inte sant i det reella fallet. För det andra, har
vi ingen kraft i denna modell som skulle dra ihop universum. D.v.s. balonguniversum
modellen beaktar inte att det finns massa i universum som påverkas gravitationellt
och drar ihop det (eller rättare sagt motverkar expansionen).
3. Anta att utgångsläget för universum är detsamma som i uppgift 3.2, med undantaget
att v = dr
dt är konstant givet θ, istället för att H0 skulle vara konstant i tiden. Med
dessa antaganden, visa att Hubbles konstant H0 = 1t , så att vi idag har värdet
H0 = T1 , där T är universums ålder. Vad är denna ålder?
Konstanterna:
H0 = 2, 4 · 10−18 1/s.
Lösning: Vi antar nu att
v=
dr
= C,
dt
(9)
där C är en konstant. Integrering av detta ger oss
Z
t
Z
r
dr ⇔ r = Ct.
dt =
C
(10)
0
0
Om vi sätter in detta värde i uttrycket för Hubbles konstant, vilket härleddes i den
föregående uppgiften får vi
H0 =
1 dR
θ d( θr )
1 dr
1
1
=
=
=
C= ,
R dt
r dt
r dt
Ct
t
(11)
där r = Rθ. Detta ger oss universum sålder just nu som
T =
1
≈ 13, 2 · 109 a,
H0
(12)
vilket är mycket nära vad man tror universums ålder är idag. Denna modell skall
dock inte tas på allvar, men det visar att man kan få fina svar som många kan tro
på genom att bygga en felaktig modell.
4. Vid tiden t = 225s började nukleosyntesen. Man har kunnat beräkna att det fanns
7 protoner på en neutron under nukleosyntesens gång. Det finns mera protoner helt
enkelt p.g.a. att de inte sönderfaller lika snabbt (om alls) som neutronen. Uppskatta
från detta, med antagandet att det bara bildas 4 He och 1 H under nukleosyntesen,
viktprocenten Helium i universum.
Konstanterna:
mHe = 4, 00205472u
mH
= 1, 00727642u
u = 1, 6605402 · 10−27 kg.
Lösning: Vid tiden ∼ 225s fanns det ungefär 7 protoner på 1 neutron. För att skapa
4 He behövs det 2 neutroner och 2 protoner. Detta betyder att då vi har 2 neutroner
på 14 protoner och använder upp 2 neutroner och 2 protoner för att skapa en 4 He,
har vi 1 st 4 He och 12 st 1 H i vårt tidiga unversum. D.v.s. i viktprocent blir detta
mHe
≈ 0, 2487...,
mHe + 12mH
(13)
Så att vi kan tänka oss att det finns 24,87% helium i universum.
5. Olbers paradox: Om vi antar det följande
i.) universum sträcker sig oändligt långt ut i rymden
ii.) universum är oändligt gammalt
iii.) universum innehåller stjärnor av lika luminositet och som existerar jämnt fördelade i rymden
iv.) det finns ingen materia mellan oss och stjärnorna som skulle förhindra ljuset från
stjärnorna att nå oss,
beräkna då universums totala ljusintensitet på jordens natthimmel kommande ihåg
E
att itensiteten från en sfärisk källa avtar med avståndet som I = 4πr
2 , där E är källans
energi. Du kommer att få ett resultat som är paradoxalt då vi vet att natthimlen
är svart. Denna paradox kallas för Olbers paradox. Ge något förslag på hur denna
paradox kan lösas?
Lösning: Vi börjar med att rita oss figur 4 av situationen.
dr
r
jorden
Figur 4: Vi ser ett sfäriskt skal på avståndet r från jorden med tjockleken dr.
Eftersom vi antar att stjärnorna är jämnt fördelade i rymden betyder det att vi har
en konstant densitet av dem som vi kallar n. Då kan vi räkna antalet stjärnor inom
skalet som är utritat i figuren. Det är
dN = 4πr2 ndr.
(14)
E
Sedan använder vi smabandet I = 4πr
2 som gäller för en sfärisk ljuskälla. Eftersom
vi antar att stjärnorna har lika luminositet kan vi tänka oss att de alla pumpar ifrån
sig en konstant energi E och då vet vi att stjärnorna inom skalet dr ger ifrån sig
intensiteten
dI =
E
E
dN = 4πr2 ndr
= nEdr.
2
4πr
4πr2
(15)
Då vi antagit att universum är oändligt stort och gammalt kan vi direkt integrera
fram luminositeten det avger som
Z
I=
Z
∞
nEdr → ∞.
dI =
(16)
0
Om detta vore fallet skulle universum vara oändligt ljust. Detta kallas Olbers paradox. Eftersom vi vet att universum inte är oändligt ljust måste denna beräkning
kullkastas på något sätt. Om vi ser på de antaganden vi gjort kan vi t.ex. föreslå att
universum inte är oändligt gammalt. Vore detta fallet, så har inte allt ljus färdats
ända till jorden ännu idag, detta kunde vara en lösning på paradoxen. Det visar sig
dock att för att hålla natthimlen svart måste universum vara såpass ungt att jorden
skulle inte kunna vara så gammal som den antas vara (ca 4,5 miljarder år). Då kan vi
försöka lösa detta problem genom att också anta att det finns obstruerande materia
i universum, vilket vi vet att det finns. Tyvärr räcker detta inte heller eftersom en
kalkyl beaktande detta och att universum skulle ha en ändlig ålder säger oss att universum måste vara ungefär lika ljust som ytan på en sjärna. Situationen förbättras
inte nämnvärt heller då man antar att universum har en ändlig storlek, trots att slopandet av detta antagande också förbättrar lite på situationen. Dessa förslag är alla
goda försök att lösa Olbers paradox, men först med antagandet att universum expanderar (á la Hubble) kan denna paradox lösas elegant. Detta antagande förhindrar
en stor del av hela universums ljusintensitet från att nå oss.
