Relativitetsteorins grunder, våren 2016
Räkneövning 6
Skall returneras senast fre. 4.3, kl. 12.00 till lådan i A-vingen av andra våningen.
Behandlas mån. 7.3 kl. 16-18 i sal D116
1. Gör en Newtonsk beräkning av den kritiska densiteten i vårt universum. Tänk dig en
stor sfär som innehåller många galaxer med den sammanlagda massan M . Vi tänker
oss att vår egna galax har massan m och ligger på ytan av denna sfär. Enligt den
kosmologiska principen kommer universum att vara sfäriskt symetriskt, vilket betyder
att den gravitationella kraften på vår galax med massan m kommer att vara endast
en konsekvens av massan innanför denna sfär. All kraft som kommer från utsidan av
sfären summeras till 0, som vi minns från våra kurser i Newtonsk mekanik. Då är
alltså den potentiella energin för vår galax Upot = − GmM
och den totala energin blir
R
1
GmM
Etot = mv 2 −
2
R
(1)
Härled alltså från detta, värdet på den kritiska densiteten genom att anta att alla
galaxer sprider ut sig i universum enligt Hubbles lag v = H0 R.
Svaret blir ρc =
kubikmeter.
3H02
8πG
= 1.0 × 10−26 kg/m3 , vilket motsvarar ungefär 6 väteatomer per
(5 poäng)
2. Vi betraktar figur 1 på baksidan av papret.
Det kortaste avståndet mellan två punkter på ytan av sfären mätt längs sfärens yta
är r = Rθ. Då ballongen expanderar ökar dess radie men vinkeln θ ändras inte.
a.) Förklara varför dR
dt /R är konstant för alla punkter på sfärens yta, vid vilken
tidpunkt som helst.
b.) Visa att v = dr
dt är direkt proportionel mot r vid varje ögonblick.
c.) Använd svaret i uppgift a.) till att hitta ett uttryck för Hubbles konstant H0
m.h.a. R och dR
dt .
d.) Uttrycket du fick i uppgift c.) är konstant i rummet. Hur borde R bero av t för
att H0 skall vara konstant i tiden?
e.) Är ditt svar till uppgift d.) konsistent med den gravitationella attraktionen av
massa i universum?
(6 poäng)
3. Anta att utgångsläget för universum är detsamma som i uppgift 3.2, med undantaget
att v = dr
dt är konstant givet θ, istället för att H0 skulle vara konstant i tiden. Med
dessa antaganden, visa att Hubbles konstant H0 = 1t , så att vi idag har värdet
H0 = T1 , där T är universums ålder. Vad är denna ålder?
a.)
R
R
R
b.)
R
Figur 1: Figur för uppgift 2.
(5 poäng)
4. Vid tiden t = 225s började nukleosyntesen. Man har kunnat beräkna att det fanns
7 protoner på en neutron under nukleosyntesens gång. Det finns mera protoner helt
enkelt p.g.a. att de inte sönderfaller lika snabbt (om alls) som neutronen. Uppskatta
från detta, med antagandet att det bara bildas 4 He och 1 H under nukleosyntesen,
viktprocenten Helium i universum.
(3 poäng)
5. Olbers paradox: Om vi antar det följande
i.) universum sträcker sig oändligt långt ut i rymden
ii.) universum är oändligt gammalt
iii.) universum innehåller stjärnor av lika luminositet och som existerar jämnt fördelade i rymden
iv.) det finns ingen materia mellan oss och stjärnorna som skulle förhindra ljuset från
stjärnorna att nå oss,
beräkna då universums totala ljusintensitet på jordens natthimmel kommande ihåg
E
att itensiteten från en sfärisk källa avtar med avståndet som I = 4πr
2 , där E är källans
energi. Du kommer att få ett resultat som är paradoxalt då vi vet att natthimlen
är svart. Denna paradox kallas för Olbers paradox. Ge något förslag på hur denna
paradox kan lösas?
(6 poäng)
Detta är den sista räkneövningen i RG kursen!
Tenten äger rum den 17.3.2016 kl. 10.00 i sal D114.
