c 2005 Eric Järpe
Högskolan i Halmstad
Hypotestest (forts.)
Styrka
Man vill att chansen att förkasta nollhypotesen, då mothypotesen är sann, ska vara
stor. Därför finns något som heter styrka.
Definition 1 Vid ett hypotestest kallas sannolikheten att förkasta nollhypotesen då
mothypotesen är sann för testets styrka som betecknas β.
Exempel Antag att vi vill göra ett test av H0 : µ = 0 mot H1 : µ > 0 på
signifikansnivå 5% då vi vet att σ = 1. Hur kan vi med ett stickprov med 10
observationer (dock innan vi observerat stickprovet) beräkna testets styrka?
Lösning: Styrkan är inte ett konstant värde tal utan en funktion av väntevärdet
under H1 , β = β(µ).
I detta fall är µ = 0 under nollhypotesen och µ = 1, 2, 3, . . . under mothypotesen
så om inget speciellt värde av µ angivits är det lämpligast att ge ett stycke av
styrkefunktionen. Låt oss kalla väntevärdet under nollhypotesen µ0 (som vi gjort
innan) och det “sanna” väntevärdet µ. Vi får då att
β = P (förkasta H0 |H1 )
X̄ − µ0
√ > λ α H1
= P
σ/ n
σ
= 1 − P X̄ ≤ √ λα + µ0 H1
n
!
√σ λα + µ0 − µ X̄ − µ
n
√ ≤
√
= 1−P
H1
σ/ n
σ/ n
√
X̄ − µ
(µ0 − µ) n √ ≤ λα +
= 1−P
H1
σ
σ/ n
√ (µ0 − µ) n
= 1 − Φ λα +
σ
0.8
0.6
0.4
0.2
β
0.198
0.477
0.768
0.936
0.99
0.999
1
1
0.0
µ
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
1.0
Detta gäller i allmänhet för denna typ av test. I detta
fall med µ0 = 0, σ = 1,
√
(0−µ) 10
) = 1−Φ(1.64−3.1623µ) =
λ0.05 = 1.64 och n = 10 får vi att β = 1−Φ(1.64+
1
= Φ(3.1623µ − 1.64) som vi kan beräkna för några värden µ > 0.
0.0
0.5
1.0
1.5
1
2.0
2
Exempel (Förlossningsexemplet) Påståendet var att X ∈ N (14, 1). Vi visade i
(a)-uppgiften att µ > 14 på signifikansnivå 0.05 med ett stickprov av storlek n = 5.
Vad var styrkan av testet om µ = 15.5?
Lösning: Enligt räkningarna på föregående sida har vi att
√ (µ0 − µ) n
β = 1 − Φ λα +
σ
√ !
(14 − µ) 5
= 1 − Φ 1.64 +
1
√
= Φ(1.5 5 − 1.64)
= Φ(1.7141)
= 0.9564
2
Test med binomialfördelning
Låt X1 , . . . , Xn vara ett stickprov på X där P (X = 0) = 1 − p och P (X = 1) = p.
Antag att vi vill testa H0 : p = p0 mot A: H1 : p < p0 , B: H1 : p > p0 , respektive C:
H1 : p 6= p0 på signifikansnivå α.
P
Vi bildar statistikan U = ni=1 Xi som är fördelad Bin(n, p0 ) under nollhypotesen.
För att avgöra om vi kan förkasta nollhypotesen eller ej beräknar vi nu p-värdet α 0
enligt följande:
A: α0 = P (U < u|H0 ), B: α0 = P (U > u|H0 ) respektive
2P (U < u|H0 ) om u < np0
C: α0 =
2P (U > u|H0 ) om u > np0
Testregeln är: Förkasta H0 om α0 < α.
Exempel I en fabrik finns 250 maskiner varav 21 är sönder. Vid köpet av maskinerna för ett år sedan garanterade tillverkaren att för varje maskin var risken mindre
än 5% att den skulle gå sönder inom ett år, annars skulle ett försäkringsbelopp utbetalas. Kan man med 1% sighifikansivå säkerställa att man har rätt till försäkringspengarna?
Lösning: Antag att sannolikheten att en maskin går sönder inom ett år är p. Låt
Xi vara en stokastisk variabel som är 0 om maskin nummer i fungerar och 1 om
den är sönder, i = 1, 2, . . . , 250. Då är P (Xi = 0) = 1 P
− p och P (Xi = 1) = p.
Vidare ärpantalet maskiner som går sönder inom ett år 250
i=1 Xi ∈ Bin(250, p) ≈
N (250p, 250p(1 − p)). För att eventuellt kunna bevisa att sannolikheten att en
maskin går sönder är strörre än 0.05 måste vi testa hypotesen
2
H0 : p = 0.05
.
H1 : p > 0.05
Vi har observerat u = 21 och ska därmed beräkna p-värdet och får då (med halvkorrektion) att
α0 = P (U > 21|H0 )
= 1 − P (U ≤ 21|p = 0.05)
≈
=
=
=
=
21 + 0.5 − 250 · 0.05
1−Φ p
250 · 0.05(1 − 0.05)
21.5 − 12.5
√
1−Φ
11.875
1 − Φ(2.6117)
1 − 0.9955
0.0045
!
Eftersom α0 = 0.0045 < 0.01 = α kan H0 förkastas på signifikansnivå 0.01, dvs ja,
man har rätt till försäkringsbeloppet.
2
3
