Kombinatorik: Lösningar Inlupp 2
1. Hur många olika resultat finns det, när man kastar tre identiska tärningar?
Lösning: Ett resultat av en tärningskast består av en trippel (a, b, c) ∈
N3 av naturliga tal med 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 6.
(a) Om a = b = c, finns det 6 möjligheter.
(b) Om a = b < c eller a < b = c handlar det i båda fall om antalet
delmängder
till {1, ..., 6} med två element. Med andra ord: Det
blir 2 · 62 = 30 möjligheter.
(c) Om
a < b < c blir det antalet 3-delmängder till {1, ..., 6}, dvs.
6
= 20.
3
Tillsammans har vi 56 möjligheter. Eller man tolkar problemet så här:
Ett resultat motsvarar ett sätt
att
lägga tre kulor (eller snarare kuber)
6+3−1
8
i 6 lådor, så det blir
= 3 = 56 möjligheter.
3
2. Hur många ord kan bildas med 5 bokstäver av ordet MISSISSIPPI?
Dvs. i de nya orden finns högst en M, två P, fyra I och fyra S.
Lösning: Låt a ∈ N vara antalet dessa ord. Då har vi a = 5a1 + a2 ,
där
(a) a1 = antalet ord med M och
(b) a2 = antalet ord utan M.
Det finns ju fem olika positioner för bokstaven M i ordet. Talet a1 är
antalet möjligheter att bilda fyrabokstavsord från ordets ISSISSIPPI
bokstäver, och då har vi
4
a1 =
b2 + 4b1 + b0 = 6b2 + 4b1 + b0 ,
2
där termerna är antalet ord som innehåller 2, 1 resp. 0 bokstäver P.
Koefficienterna räknar möjliga positioner för P resp. P-erna i ordet.
Uppenbarligen gäller b0 = 24 , b1 = 23 , b2 = 22 . Således a1 = 24 + 32 +
16 = 72. Ett liknande resonemang för ord med 5 bokstäver från ordet
ISSISSIPPI leder till
5
a2 =
c2 + 5c1 + c0 = 10c2 + 5c1 + c0
2
1
= 10 · 23 + 5 · 24 + (25 − 2) = 80 + 80 + 30 = 190.
Vi måste i sista termen subtrahera en tvåa pga. att orden IIIII och
SSSSS ju inte är med! Slutligen blir det
a = 5 · 72 + 190 = 550.
3. På hur många sätt kan k kulor fördelas i n lådor, sådant att i varje
låda ligger åtminstone en kula, om
(a) kulorna är olika,
(b) kulorna är identiska.
Lösning: Vi får anta k ≥ n.
(a) Det handlar om antalet surjektiva funktioner f : {1, ..., k} −→
{1, ...., n}. Hur det beräknas förklarar vi snart. Problemet var
med pga. ett misstag.
k−1
(b) k−n
.
4. Visa med ett kombinatoriskt argument att
2n
n
2
=n +2
.
2
2
Lösning: Låt M = M1 ∪ M2 vara en mängd med 2n element och
|Mi | = n, i = 1, 2. Sedan kar vi
P2 (M ) = P2 (M1 ) ∪ P2 (M2 ) ∪ {{x, y}; x ∈ M1 , y ∈ M2 }.
5. För i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n, definierar vi
j,
i,
τij (k) :=
k,
permutationen τij ∈ Sn genom
, om k = i
, om k = j
, annars
Sådana permutationer kallas också för transpositioner.
(a) För g ∈ Sn beräkna g ◦ τij ◦ g −1 !
Lösning: τg(i),g(j) .
2
(b) För ytterligare en permutation f ∈ Sn beräkna σ(g ◦ f ◦ g −1 ) med
σ som i problem 1.5.
Lösning:
σ(g ◦ f ◦ g −1 ) = σ(g)σ(f )σ(g −1 ) = σ(g)σ(g −1 )σ(f )
σ(g ◦ g −1 )σ(f ) = σ(id)σ(f ) = σ(f ).
(c) Beräkna σ(τij )!
Lösning: Ta g ∈ Sn med g(1) = i, g(2) = j. Sedan har vi
τij = g ◦ τ12 ◦ g −1
och således
σ(τij ) = σ(τ12 ).
Sedan har vi uppenbarligen
σA (τ12 ) = 1 för A ⊂ {3, ..., n}
samt för resterande A 6= {1, 2} kan vi säga
σA (τ12 ) > 0 för A ⊂ {3, ..., n},
medan för A = {1, 2} blir det
σA (τ12 ) = −1.
Eftersom σ(τ12 ) = ±1, följer σ(τ12 ) = −1.
3
