Om summor

Arbetsblad 6 (MATLAB)
Anders Källén
Om summor
Introduktion
Av figuren förefaller det som att (och blir tydligare om vi också
låter MATLAB skriva ut elementen i cumsum(a))
Summan sn av talen a1 , . . . , an skrivs kompaktare som
n
∑
n
sn =
∑ ak .
k =1
k =1
1
→ 1.6349839 . . .
k2
Detta är dock inte riktigt sant. Det sanna värdet på den oändliga summan är π 2 /6 ≈ 1.6449. Men den felande hundradelen kräver att vi
tar med ganska många fler termer för att få.
I det här fallet är felet litet, men så måste det inte alltid vara.
Det innebär att vi kan beräkna sn genom formeln
s n = s n −1 + a n .
Frågan vi ska behandla är vad som händer då n → ∞, förutsatt att vi
har en oändlig svit tal a1 , a2 , . . ..
En vanlig situation är när dessa tal ges av en formel
Övning Beräkna partialsummorna till den s.k. harmoniska serien
n
∑
k =1
1
1
1
1
1
= 1+ + + + +....
k
2
3
4
5
a n = f ( n ).
Du bör få något i stil med
Som exempel har vi att med f ( x ) =
n
sn =
∑
k =1
1
x2
får vi att
s103 = 7.49,
1
1
1
1
= 1+ + +
+....
4
9
16
k2
s104 = 9.79,
s105 = 12.09,
s106 = 14.39.
Frågan är vad som händer då n → ∞. Vi diskuterar det i nästa avsnitt.
Den harmoniska serien
Det vi ska intressera oss för i detta arbetsblad är att se vad som händer
då n → ∞ med denna typ av summor.
Innan vi går vidare, en liten terminologisk sak. Man säger att sn är
den n:te partialsumman till den den oändliga summan
∞
Om vi ritar de i övningen ovan uträknade partialsummorna i en figur
framgår det inte tydligt vad som händer. Men rita dem med logaritmen av n på x-axlen istället:
1
∑ ak .
2
k =1
3
Dock ska man inte lägga in för mycket i detta senare uttryck –
det behöver inte vara något som verkligen finns. Man kallar en
(uppräkneligt) oändlig summa för en serie.
a =[7.49 9.79 12.09 1 4 . 3 9 ] ;
x=10.ˆ(3:6) ;
semilogx ( x , a , ’ o−− ’ ) ;
Vi får då följande figur
15
14
Ett typexempel
13
För att illustrera hur vi ska anväda MATLAB för att få en känsla
för vad som händer – och vilka begränsningar vår känsla kan ha –
använder vi exemplet ovan.
Följande lilla kodsnutt visar hur vi kan beräkna och illustrera de
olika talen grafiskt.
1
2
3
k=1:100;
a = 1./k . ˆ 2 ;
p l o t ( k , cumsum( a ) ) ;
12
11
10
9
8
7
103
Det nya kommandot här är cumsum som räknar ut just kumulativa
summor, alltså partialsummor. I detta fall beräknar den s1 , s2 , . . . , s100
1
till den oändliga summan ∑∞
k =1 k2 . Grafen man får är
104
105
106
Det ser väldigt mycket ut som att punkterna ligger på en rät linje.
Med andra ord att vi har ett samband
sn ≈ k ln n + m
1.8
för några konstanter k, m och då n är stor. Notera att det inte spelar
någon roll vilken logaritm vi använder – det ändrar bara värdet på k.
1.7
1.6
Övning Använd nu minsta-kvadratmetoden till att skatta konstanterna k, m utifrån de fyra datapunkterna.
1.5
1.3
Resultatet av föregående övning bör vara att m ≈ 0.5900 och k ≈
0.9989. För att få bättre skattningar behöver vi mer data, men det är
en rimlig hypotes att det för stora n gäller att
1.2
sn ≈ ln n + γ
1.4
1.1
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
där γ är ett tal som är ungefär 0.59. Vi ska nu se på ett mer geometriskt
sätt att så är fallet. Talet γ kallas Eulers konstant och den kanske viktigaste konsekvensen av approximationen är att för den harmoniska
serien gäller att
n
∑
k =1
1
→∞
k
då
n → ∞.
Om serier och areor
Vi kan rita partialsummorna till den harmoniska serien (och vilken
annan serie som helst) som areor av rektanglar:
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Vi ser här partialsumman s20 illustrerad som arean av 20 stycken rektanglar: rektangel k har basen 1 och höjden 1/k och alltså arean 1/k.
Lägger vi ihop dem får vi att summan s20 är så stor som den blå arean
i figuren.
MATLAB-koden med vilken rektanglarna är ritade är
1
2
k=1:20;
bar ( k − 0 . 5 , 1 . / k , 1 ) ;
I figuren ovan har vi också ritat in kurvan y = 1/x i rött. Om vi
tittar i figuren ser vi två viktiga saker:
1. Rektanglarna ligger hela tiden under kurvan y = 1/x så x ≥ 1.
Det betyder att om vi tar bort den första rektangeln så kommer
resten med nödvändighet att ha en area som är mindre än arean
under y = 1/x.
2. Utrymmet från kurvan ner till övre delen av rektangeln kan
vi färglägga genom att hämta motsvarande del från den första
stapeln (den med höjden 1). Härigenom kan vi färglägga hela
området under kurvan till priset av att vi lånat delar av den
första rektangeln.
Vad detta betyder är att
sn = γn + arean under 1/x mellan 0 och n,
där γn är arean det i den första rektangeln som inte tagits bort.
Från analysen vet vi att
arean under 1/x mellan 0 och n =
Z n
dx
1
x
= ln n,
varför vi ser att
sn = ln n + γn
där γn är en avtagande svit av tal som är ≥ 0. En sådan måste ha ett
gränsvärde, och detta gränsvärde är Eulers konstant.
En lärdom från den här diskussionen är att man kan jämföra serier
med areor under kurvor, alltså integraler.