3D Linjär algebra - math.chalmers.se

Analys o 3D Linjär algebra
Lektion 16
. – p.1/53
3D Linjär algebra
resp
av
.
reella tal
dvs ordnade triplar av typen
etc
Har betraktat vektorer av typen
. – p.2/53
3D Linjär algebra
Punkt-vektor dualismen
PSfrag replacements
En ordnad tripel av typen
kan t.ex.
representera en punkts position i det 3-dimensionella
rummet , där , och är punktens koordinater i ett
givet koordinat-system bestående av tre (oberoende)
koordinatriktningar, som t.ex. väst-öst, söder-norr, ner-upp,
representerade av tre koordinataxlar motsvarande den
reella tallinjen med ett gemensamt origo, se figur.
. – p.3/53
3D Linjär algebra
En sådan tripel kan också tänkas representera samma
punkts “läge relativt origo”, och beskrivs då med fördel av
en pil utgående från origo med utsträckning , resp i
de tre koodinatriktningarna. Vi noterar att en sådan pil eller
vektor har sin spets i punkten
.
I tillämpningar representerar punkter position och vektorer
förskjutningar (relativlägen), hastigheter, accelerationer och
krafter.
. – p.4/53
3D Linjär algebra
Skalning och addition av vektorer:
Vektorer/pilar kan (till skillnad från punkter) på ett naturligt
sätt “skalas”, dvs multipliceras med skalärer, dvs tal:
och adderas:
. – p.5/53
3D Linjär algebra
2.5 a
a+b
a
b
a
.
som
och
som
Som vanligt skriver vi
−1.5a
kallas nollvektorn. Notera de två olika
Vektorn
“typerna” av nollor här!
. – p.6/53
3D Linjär algebra
dvs additionen kommutativ
"
,
"
$
"
"#
$
och
"
och associativ
!
Följande räknelagar kan nu verifieras:
distributiva
%
,
$
"
"#
$
lagarna
. – p.7/53
3D Linjär algebra
ges enligt
(
&
&
(
(
'
'
&
&
av en vektor
Längden
Pythagoras
av
PSfrag
replacements
&
&
En vektors norm, dvs Euclidiska längd
I Matlab: length(a) ger 3, norm(a) ger
.
. – p.8/53
3D Linjär algebra
Polär framställning av vektorer:
sin
cos
*
)
*
),
/.-
sin
+
+
cos
01+ *
)
)
.
*
)0
2,
+
+
/., -
2,
*
+
rag replacements
),
./-
)
där alltså
sin
&
&
+
)
+
*
Vektorer kan även beskrivas med hjälp av s.k. (rymd)polära
koordinaterna , och (se figur) som
. – p.9/53
543 3
43 4
3 3D Linjär algebra
Vi noterar speciellt att
ger en vektor med samma
riktning som , dvs parallell med , men normaliserad, dvs
med längd
.
. – p.10/53
3D Linjär algebra
Bas
6
6
6
6 6 6
6
6
6
6
6
Vektorerna
,
och
utgör (tills.) en bas för vektorerna i rummet, dvs varje vektor
kan skrivas som en linjärkombination av ,
och som
6
6
6
6
ty
PSfrag replacements
. – p.11/53
3D Linjär algebra
Skalär produkt:
8
98
7
Har tidigare definierat “skalning” av en vektor genom
multiplikation med ett (reellt) tal , och (i Matlab) har vi stött
på komponentvis multiplikation av vektorer betecknad
. Vi skall nu definiera en ny typ av
produkt av två vektorer där resultatet är skalärt, dvs ett tal,
kallad skalära produkten av och , och definerad som
. – p.12/53
3D Linjär algebra
98
Har tidigare sett att signifikativt för denna produkt är att
vektorerna och är ortogonala, dvs vinkelräta mot
.
varandra, om och endast om
cos
och .
98
är vinkeln mellan
*
där
*
&
&
&&
Mera allmänt gäller:
b θ
a
. – p.13/53
3D Linjär algebra
:
&
&
&
&
&
&
&
&
Skalärprodukt och längd:
8
8
, dvs
,
Noterar speciellt att
dvs det finns en naturlig koppling mellan skalärprodukt och
längd.
. – p.14/53
3D Linjär algebra
på en vektor :
Projektion av en vektor
& 8
&
8
4 ;
8
4 ;
En vektor ’s komponent i riktning kallas projektionen av
på , betecknas
, och definieras
b
a
P a(b)
. – p.15/53
3D Linjär algebra
(
4 ;
(
(
(
Motivet för denna konstruktion är bl.a. att man vill kunna
dela upp en vektor i en komponent parallell med och
. Klart att
en komponent ortogonal mot , så att
det här räcker att bestämma eftersom sedan bestäms av
. Komponenten parallell med ges av
projektionen
.
b
d
a
c = Pa (b)
. – p.16/53
4 ;
motiveras av att
skall vara
4 ;
4 ;
Formeln för
parallel med , dvs
3D Linjär algebra
skall vara ortogonal mot
8 8
98
4 ;
(
för något tal , och att
, dvs
som ju ger
98
4 ;
8
dvs
. – p.17/53
3D Linjär algebra
och
<
<
Denna produkt av 3d-vektorer
defineras då
Vektorprodukt av vektorer:
<
Vi noterar att i specialfallet med vektorer “i planet”, dvs med
reduceras denna produkt till
<
vilket vi tidigare tillåtit oss att “förkorta” till
. – p.18/53
3D Linjär algebra
Vilka egenskaper har då denna nya produkt?
.
8
bildar ett högersystem.
, dvs kryssprodukten är
<
<
Noterar också att
antikommutativ!
<
Vektorerna , och
Analogt är
<
=
4 A B ?> @ 8
= 4 >? @ <
som :
är ortogonal mot såväl
Jo,
. – p.19/53
<
@ & FG4 E B ?> DH &
&
&
&
*
sin
är arean av
och .
&
&
4 ;
&
&
&
=
43
D3
BD33
= >? @
& <
& &
&
<
&
&
<
Vidare klart att längden av vektorn
såväl ’s längd som ’s längd, dvs
där är vilkeln mellan och , dvs
parallellogrammen som spänns upp av
*
&
&&
är proportionell mot
.
C&
3D Linjär algebra
Mera precist gäller att
. – p.20/53
3D Linjär algebra
Räta linjens ekvation:
representerar en rät linje
parallell med :
I
"
I
I
"
I I
"
"
J
Ekvationen
genom punkten
Sfrag replacements
. – p.21/53
3D Linjär algebra
Planets ekvation:
representerar ett
ortogonalt mot
:
<
N
I " "
J
I
"
Ekvationen
plan genom punkten
OQ
LK
P
O
MK
rag replacements
. – p.22/53
3D Linjär algebra
Planets ekvation:
med normal
8
8
R
Exempel: Planet genom punkten
kan skrivas
R8
(
89R
I
(
I
98R
Vi noterar att planets ekvation även kan skrivas
, dvs
där
.
S
dvs
. – p.23/53
3D Linjär algebra
Planets ekvation:
<
I
= ?> T
R
I
R8
@ 8
<
"
= ?
>
I
" U I
@ "
= R8 I T >? "
I
@ 8
"
= (
U V >? " R @ 98R
R
Ett plan givet på formen
kan förstås lätt
skrivas på formel
eller
genom att ta
. Omvänt kan ett plan givet på formen
skrivas om på formen
genom att ta som godtycklig vektor ortogonal mot och
, t.ex
sedan ta som
Exempel:
kan
med
,
R <
<
skrivas som
och
.
. – p.24/53
3D Linjär algebra
Skärning linje - plan:
I
"
K
och ett givet
Skärningspunkten mellan en linje
plan bestäms förstås genom insättning i ekvationerna för
planet.
PSfrag replacements
. – p.25/53
S
S
skär planet
, ty bestäms av
"S
"
" Y
"
S
?
@= W U
" >
?
@= D U
" >
?
@= X U
"S >
"
3D Linjär algebra
Exempel: Linjen
i punkten motsvarande
.
. – p.26/53
3D Linjär algebra
Skärning mellan två plan ger en rät linje:
PSfrag replacements
I "
<
och
skär varandra längs linjen
, där punkten
på linjen erhållits genom att söka lösning till de
, och linjens
två planens ekvationer med
riktningsvektor erhållits genom att “kryssmultiplicera” de
två planens normaler.
Exempel: Planen
. – p.27/53
3D Linjär algebra
I
"
S
Y
SY
Y
Y
kan skrivas t.ex. som
"
"
Vi noterar att en linje därför även kan ges som ett system
av ekvationer motsvarande två plan. Två sådana
plan-ekvationer kan erhållas t.ex. genom att eliminera
parametern i
som följer:
motsvarande två plan.
. – p.28/53
3D Linjär algebra
Avståndet mellan två punkter:
mellan punkterna
ges enligt Pythagoras av
och
I
I
I
(
I
I
I
I
(
Avståndet
. – p.29/53
:
till en given linje
Avståndet från en punkt
I
"
3D Linjär algebra
8 I
Y
&
&
I
"
"
"
I
"
Söker först sådan att
är ortogonal mot . Detta
ger
varefter avståndet lätt kan
bestämmas.
PSfrag replacements
&
(
<
&
& I
&
Finns också en avståndsformel som bygger på
kryssprodukt:
. – p.30/53
I
till ett plan
R8
Avståndet från en punkt
3D Linjär algebra
:
"
R
R
"
R
Följer normalriktningen från till planet, dvs bestämmer
så att
ligger i planet. Sedan fås avståndet lätt.
R
"
PSfrag replacements
. – p.31/53
3D Linjär algebra
Avståndet linje-linje:
$
Z
I
"
"
$
och
Avståndet mellan två givna linjer
ges av att kortaste sträckan mellan de två linjerna skall
vara ortogonal mot både och . Detta bestämmer och ,
varefter avståndet kan beräknas.
Exempel: ..
. – p.32/53
3D Linjär algebra
Ett elegantare sätt att beräkna
avståndet från en given punkt till ett plan genom med
normal , är att helt enkelt projicera vektorn
på
planets normal , dvs beräkna
R
I
&
I
som ger det sökta avståndet.
PSfrag replacements
i figuren
I
T ;
R
T ;
och dess belopp
&
T ;
& R & I
8
R
R
I
I
Projektion på ett plans normal:
. – p.33/53
:
ges av (se figur)
R
T ;
8R
på ett plan
Projektionen av en vektor
3D Linjär algebra
T ;
T ;
PSfrag replacements
98R
FB
3
T ; T D3 T
R R
R8
;
T
T ;
T ;
98R
Klart att denna ortogonal mot , dvs ligger i planet, ty
.
Vidare är
ju ortogonal mot planet, dvs
är den angivna projektionen.
. – p.34/53
3D Linjär algebra
"
"
"#
" 8 "#
" 8 "#
" "
" Alternativt måste projektionen av på ett plan genom origo
förstås ges av
för något och . För att
skall bli ortogonal mot såväl som
måste gälla:
" " " "
8 8
dvs
8
"
"
"
vilket ger och , och därmed projektionen. Noterar att i
specialfallet och ortonormerade gäller
.
. – p.35/53
3D Linjär algebra
En punkts spegelbild i ett plan:
R8
R
& 8
R &
R
R
[
kan nu
Spegelbilden av en punkt i ett givet plan
beräknas enligt (se figur)
[
PSfrag replacements
. – p.36/53
3D Linjär algebra
En stråles reflektion i ett plan:
98R
T ;
R
T ;
rag replacements
Infallande ljus (?) med riktning reflekteras i planet
i riktning (se figur)
. – p.37/53
b
b
cb
b
T bb
c
b
b
och
b
b
cb
b
d bb
c
b
b
a
skrivs på kompakt form som
T T T
b
b
cb
b
ed
de b
b
cb
b
de
a
^]\
`
_
\
\
T
3D Linjär algebra
Linjära ekvationssystem:
med
. – p.38/53
3D Linjär algebra
R
plan i -dimensionellt -rum:
`
Geometrisk tolkning:
. – p.39/53
a
dvs
betyder att är en (linjär)kombination av
kolonnerna i .
a
\ \ \ \
\ \
\ \
\ 3D Linjär algebra
Noterar att
. – p.40/53
Matris-vektor multiplikation
S
och
.
med lösning
f
Exempel:
a
Ekvationssystemet har lösning om ingår i ’s “kolonnrum”.
. – p.41/53
3D Linjär algebra
har två 3-dimensionella kolonner
a
Geometrisk tolkning:
och .
PSfrag replacements
a
ingår i ’s kolonnrum,
gör det inte.
. – p.42/53
3D Linjär algebra
och “spänner upp” en parallellogram med “volym”
(area) skild från noll, och därmed ett helt plan! Säger att
och är oberoende och bildar en bas för vektorerna i
planet.
bas “=” oberoende och spänner upp
g
PSfrag replacements
g
och däremot är beroende, spänner (endast) upp en
parallellogram med volym
, och därmed inte hela planet!
. – p.43/53
3D Linjär algebra
och
>?
cos
höjd
<
basarea
,
@ *
&
<
8 &
= ?> <
@ &&
= Analogt spänner tre 3-dimensionella vektorer
upp en parallellogram med volym
*
PSfrag replacements
. – p.44/53
Matrisalgebra
R
a
a
a
_
a
Volymen av den parallellogram som kolonnerna
i en kvadratisk matris spänner upp, räknad
med tecken, kallas matrisens determinant och betecknas
det :
det
k
h
i
j
h
i
8j
h
i
j
8 k
Erinrar oss att detta ger volymen (arean)
av parallellogrammen:
j
j
h
i
h
i
PSfrag replacements
. – p.45/53
det
det
l
a
a
det
@ 8
= 4 >? X
a @ 4D A ?> det
W4
= Matrisalgebra
Analogt:
Noterar att
det
. – p.46/53
Matrisalgebra
det
a
det
am
För determinanter gäller vidare
om två kolonner byter plats byter determinanten tecken
om två kolonner är lika (eller parallella) är determinaten
om en kolonn skalas skalas determinaten lika mycket
två rad/kolonnekvivalenta matriser har samma
determinant
. – p.47/53
u
a
sa
och
sa
u
u
sa
u
a
st
sa
Observera: I allmänhet gäller att
Däremot gäller
sa
b
b
b
c
b
n ?>
o
@
p T
q
]
r
p
p
\ b
bb
c
b
T b
b
b
c
b
@
= b
b
b
c
b
T
o >? \ \
b
b
b
c
b
@
= b
b
b
c
b
n ?> = \
Matrisalgebra
Matrisalgebra:
.
.
. – p.48/53
Matrisalgebra
Gauss eliminationsmetod:
j
ax
t
:
&
wh
v
j
a&
h
a
kvadratisk och det
a
Om
i matlab
8 )
\
8 )
8\ )
\
y
8 )
8\ )
w
där betecknar en “enhetsmatrisen”, med ettor på
diagonalen och nollor för övrigt.
Noterar att
. – p.49/53
Matrisalgebra
Analogt:
w
a
az
har egenskapen
och
w
{za
a
az
där inversmatrisen
.
i matlab
v
inv
a
j
za
&
wh
j
w
a&
h
Jacobis metod:
. – p.50/53
Matrisalgebra
det
|}a
a _
Cramers regel:
det
. – p.51/53
Matrisalgebra
a
a
t
För kvadratiska matriser gäller alltså:
Om det
så är
entydigt lösbart för alla , och
, då ju
az
@ a
za
~ >?
= za
u
u
a
{za
u
u
a w
u
u
a
t
a a
Omvänt, om
är entydigt lösbart för alla så finns
matris sådana att
varav måste gälla att det
(ty kan även visas att det
det det ) varav följer att
är inverterbar med invers
.
. – p.52/53
Minsta kvadratmetoden
Överbestämda ekvationssystem:
Ett överbestämt ekvationssystem
med
i allmänhet exakt lösning , eftersom kolonnerna i
till antalet i ett -dimensionellt rum.
a R
`
R
`

a
saknar
bara är
am
a
am
Minsta kvadratmetoden:
a
R
a
är ortogonal mot ’s kolonner
am
dvs residualen
(raderna i
).
a
a
am
a
a
a
ger den (linjär)kombination
av de kolonnerna i som
ligger närmast , dvs
är projektionen av på det “plan”
som spänns upp av kolonnerna i . Detta framgår av att
. – p.53/53