1. Den linjära operatorn F : R 3 → R3 ges i basen e1,e2,e3 av F(x1

MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
TENTAMEN I MATEMATIK
MMA129 Linjär algebra
Datum: 12 juni 2013
Skrivtid: 5 timmar
Hjälpmedel: Linjal
Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den
maximalt möjliga poängsumman är således 40. För betygen 3, 4 och 5 krävs minst 18, 26 respektive 34 poäng. Lösningar
förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den
ordning som uppgifterna är givna i. Undvik speciellt att skriva på baksidor av lösningsblad.
1.
Den linjära operatorn F : R3 → R3 ges i basen e1 , e2 , e3 av
F (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x3 , −2x1 + x2 , x1 − x2 − x3 ).
Bestäm F :s matris i basen 2e1 − e2 , 3e1 + 2e2 + e3 , 2e1 + 2e2 + e3 .
2.
Låt h vara en kvadratisk form på E3 definierad genom
h(u) = 2x21 − 4x1 x2 + x22 − 4x2 x3 .
I vilket (slutet) intervall ligger h(u) då kuk = 1, och för vilka u antas respektive
extremvärde?
3.
Avgör och förklara för var och en av mängderna

 M1 = Mängden av alla heltal
M2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0}

M3 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 1}
om den utgör ett linjärt rum över de reella talen eller ej.
4.
Bestäm den ortogonala projektionen av polynomet 1 + x + x2 på
Z 1
{p ∈ P2 :
p(x) dx = 0},
−1
där P2 är rummet av alla polynom av grad högst 2, försett med den skalärprodukten
Z 1
p(x)q(x) dx .
hp|qi =
−1
5.
En triangel har sina hörn i punkterna P : (−1, 3, 1), Q : (2, 1, 3) och R : (1, 0, 2),
där koordinaterna är givna i ett ON-system. Bestäm hörnen för spegelbilden av
triangeln vid spegling i planet π : 3x + 2y − z = 0.
6.
Den linjära operatorn F : R4 → R4 beskrivs

1 −4
2
0
1 −1

3 −7
1
2 −3 −1
i standardbasen av matrisen

0
−1

−5
−5
Bestäm en bas i värderummet till F och en bas i nollrummet till F .
7.
Bestäm en ortonormerad bas i underrummet M = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)] till det euklidiska rum E för vilket skalärprodukten är definierad enligt
hu|vi = x1 y1 + 3x2 y2 + 2x3 y3 .
8.
Ange för varje reellt a den geometriska innebörden av ekvationen
x2 − 2a2 y 2 + (1 − 2a)z 2 − 2xz − 4ayz = 1 .
MÄ
ÄLARDALENS H
HÖGSKOLA
Aka
ademin för utbildning, kultu
ur och kommu
unikation
TENTAM
MEN I MATEM
MATIK
MMA129
9 Linjär algeb ra
Avd
delningen för tillämpad matematik
BEDÖMNINGSPRINCIIPER med POÄ
ÄNGSPANN
Exa
aminator: Larrs-Göran Larss
son
2
Läsår: 2012/13
Tentame
en 2013-06-12
POÄNGSPANN
N (maxpoäng) för
f olika delmom
ment i uppgifterr
1.
F :s maatris i basen
n
1p: Korrektt funnit avbildningsmat
atrisen A fö
ör den linjärra
2e1  e 2 , 3e1  2e 2  e 3 , 2e1  2e 2  e 3
operato
orn F i baseen e1 , e 2 , e 3
1p: Korrektt funnit basb
bytesmatrissen T för by
ytet från
är lika m
med
~
~
basen e1 , e 2 , e 3 till e  2e1  e 2 , e2  3e1  2e 2  e 3 ,
~e  2e  2e  e , dvs korreekt funnit matrisen
m
T i
4
0
 11
3
1
2
3
~
~


samban
ndet
e

eT
T
mellan
bas
serna,
där
e
och
e
är
3
  26  6
radmatrriserna med
d vektorernaa e1 , e 2 , e 3 respektive
 29
6  4 

~e , ~e , ~e som matrriselement
1
2
3
1p: Korrektt funnit/noteerat att F :ss matris i baasen ~e1 , ~e2 , ~e3 ,
~
~
dvs A , ges av relaationen A  T 1 AT
1p: Korrektt bestämt in
nversen till m
matrisen T
~
1p: Korrektt bestämt matrisen
m
A
2.
Den kvaadratiska foormen h(u) ligger i
intervallet [ 2 , 4 ] .
Minimuum antas förr
u   ~e1   13 (e1  2e 2  2e 3 )
och maxximum för
u   ~e3   13 (2e1  2e 2  e 3 )
1p: Korrektt funnit egenvärdena tilll den kvadrratiska form
men
1p: Korrektt identifieraat den diagoonala formen
n för den
kvadrattiska formen
n
2
2
2
x2  4~
x3 av
1p: Korrektt, utifrån fraamställningeen  2x~1  ~
den den
n kvadratisk
ka formen h (u) i basen
n av egenvektoreer, identifierrat det intervvall som h(u
( ) ligger i då
normen
n av u är lik
ka med 1
1p: Korrektt funnit de u för vilka h(u) på u  1 är minnimal
1p: Korrektt funnit de u för vilka h(u) på u  1 är maxximal
3.
M 1 ochh M 3 är intee linjära rum
m över R
M 2 är eett linjärt ruum över R
2p: Korrektt visat att M 1 inte är ettt linjärt rum
m
2p: Korrektt visat att M 2 är ett linj
njärt rum
1p: Korrektt visat att M 3 inte är ettt linjärt rum
m
4.
 13  x  x 2
1p: Korrektt funnit en bas
b u1 , u 2 i underrumm
met till P2
1p: Korrektt noterat att den funna bbasen är orttogonal, elleer
alternattivt ortogonaliserat bassen till att ly
yda f1 , f 2
1p: Korrektt noterat att en ortogonnal projektio
on på under-rummett till P2 är lika
l med sum
mman av dee ortogonalaa
projektiionerna på f1 och f 2
1p: Korrektt beräknat den
d ortogona
nala projektiionen på f1
1p: Korrektt beräknat den
d ortogona
nala projektiionen på f 2 , och
korrekt sammanstäällt den ortoogonala projjektionen påå
underru
ummet till P2
1 (2)
5.
6.
PS : ( 137 , 177 , 97 )
QS : ( 17 , 73 , 267 )
RS : ( 74 , 72 , 157 )
1p: Korrekt noterat att speglingen i planet  förmedlas av en
linjär avbildning som avbildar vektorer parallella med
planet på sig själva och vektorer vinkelräta mot planet på
minus sig själva
1p: Korrekt från ekvationen för planet identifierat vilket
vektorrum som är parallellt med planet och vilket som är
ortogonalt, samt från detta formulerat de villkor som ger
avbildningen
2p: Korrekt bestämt avbildningsmatrisen för speglingen
1p: Korrekt funnit koordinaterna för spegelpunkterna
PS , Q S , RS till punkterna P , Q , R
En bas i F:s nollrum är t.ex.
(2 ,1,1, 0) , ( 4 ,1, 0 ,1)
1p: Korrekt funnit en trappstegsmatris som är radekvivalent
med den linjära operatorns avbildningsmatris
1p: Korrekt bestämt en av två basvektorer i F:s nollrum
1p: Korrekt bestämt en andra av två basvektorer i F:s nollrum
1p: Korrekt bestämt en av två basvektorer i F:s värderum
1p: Korrekt bestämt en andra av två basvektorer i F:s värderum
En bas i F:s värderum är t.ex.
(1, 0 , 3 , 2) , (4 ,1,  7 ,  3)
eller t.ex. (1, 0 , 3 , 2) , (0 ,1, 5 , 5)
7.
En ON-bas i M är t.ex.
1
3
8.
(1, 0 ,1) ,
a  0:
a  0:
0  a  1:
a  1:
a  1:
1
33
( 2 , 3 , 1 )
1p: Korrekt från M valt ut en vektor u1 och korrekt
normerat den till e1
1p: Korrekt från M valt ut en andra vektor u 2 och korrekt
till formen konstruerat en vektor f 2 som tillhör M , som
är skild från nollvektorn, och som är ortogonal mot den
först valda vektorn, dvs t.ex. bestämt f 2  u 2  u 2 e1 e1
2p: Korrekt bestämt det explicita uttrycket för f 2
1p: Korrekt normerat f 2 till e 2
en enmantlad hyperboloid 1p: Korrekt kvadratkompletterat i den kvadratiska formen så
att slutsatser kan dras för olika värden på a
två parallella plan
en enmantlad hyperboloid 1p: Korrekt funnit att ekvationen beskriver en enmantlad
hyperboloid om (a  0)  (0  a  1)
en hyperbolisk cylinder
en tvåmantlad hyperboloid 1p: Korrekt funnit att ekvationen beskriver två parallella plan
om a  0
1p: Korrekt funnit att ekvationen beskriver en hyperbolisk
cylinder om a  1
1p: Korrekt funnit att ekvationen beskriver en tvåmantlad
hyperboloid om a  1
2 (2)