MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA129 Linjär algebra Datum: 12 juni 2013 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Linjal Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den maximalt möjliga poängsumman är således 40. För betygen 3, 4 och 5 krävs minst 18, 26 respektive 34 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. Undvik speciellt att skriva på baksidor av lösningsblad. 1. Den linjära operatorn F : R3 → R3 ges i basen e1 , e2 , e3 av F (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x3 , −2x1 + x2 , x1 − x2 − x3 ). Bestäm F :s matris i basen 2e1 − e2 , 3e1 + 2e2 + e3 , 2e1 + 2e2 + e3 . 2. Låt h vara en kvadratisk form på E3 definierad genom h(u) = 2x21 − 4x1 x2 + x22 − 4x2 x3 . I vilket (slutet) intervall ligger h(u) då kuk = 1, och för vilka u antas respektive extremvärde? 3. Avgör och förklara för var och en av mängderna M1 = Mängden av alla heltal M2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0} M3 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 1} om den utgör ett linjärt rum över de reella talen eller ej. 4. Bestäm den ortogonala projektionen av polynomet 1 + x + x2 på Z 1 {p ∈ P2 : p(x) dx = 0}, −1 där P2 är rummet av alla polynom av grad högst 2, försett med den skalärprodukten Z 1 p(x)q(x) dx . hp|qi = −1 5. En triangel har sina hörn i punkterna P : (−1, 3, 1), Q : (2, 1, 3) och R : (1, 0, 2), där koordinaterna är givna i ett ON-system. Bestäm hörnen för spegelbilden av triangeln vid spegling i planet π : 3x + 2y − z = 0. 6. Den linjära operatorn F : R4 → R4 beskrivs 1 −4 2 0 1 −1 3 −7 1 2 −3 −1 i standardbasen av matrisen 0 −1 −5 −5 Bestäm en bas i värderummet till F och en bas i nollrummet till F . 7. Bestäm en ortonormerad bas i underrummet M = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)] till det euklidiska rum E för vilket skalärprodukten är definierad enligt hu|vi = x1 y1 + 3x2 y2 + 2x3 y3 . 8. Ange för varje reellt a den geometriska innebörden av ekvationen x2 − 2a2 y 2 + (1 − 2a)z 2 − 2xz − 4ayz = 1 . MÄ ÄLARDALENS H HÖGSKOLA Aka ademin för utbildning, kultu ur och kommu unikation TENTAM MEN I MATEM MATIK MMA129 9 Linjär algeb ra Avd delningen för tillämpad matematik BEDÖMNINGSPRINCIIPER med POÄ ÄNGSPANN Exa aminator: Larrs-Göran Larss son 2 Läsår: 2012/13 Tentame en 2013-06-12 POÄNGSPANN N (maxpoäng) för f olika delmom ment i uppgifterr 1. F :s maatris i basen n 1p: Korrektt funnit avbildningsmat atrisen A fö ör den linjärra 2e1 e 2 , 3e1 2e 2 e 3 , 2e1 2e 2 e 3 operato orn F i baseen e1 , e 2 , e 3 1p: Korrektt funnit basb bytesmatrissen T för by ytet från är lika m med ~ ~ basen e1 , e 2 , e 3 till e 2e1 e 2 , e2 3e1 2e 2 e 3 , ~e 2e 2e e , dvs korreekt funnit matrisen m T i 4 0 11 3 1 2 3 ~ ~ samban ndet e eT T mellan bas serna, där e och e är 3 26 6 radmatrriserna med d vektorernaa e1 , e 2 , e 3 respektive 29 6 4 ~e , ~e , ~e som matrriselement 1 2 3 1p: Korrektt funnit/noteerat att F :ss matris i baasen ~e1 , ~e2 , ~e3 , ~ ~ dvs A , ges av relaationen A T 1 AT 1p: Korrektt bestämt in nversen till m matrisen T ~ 1p: Korrektt bestämt matrisen m A 2. Den kvaadratiska foormen h(u) ligger i intervallet [ 2 , 4 ] . Minimuum antas förr u ~e1 13 (e1 2e 2 2e 3 ) och maxximum för u ~e3 13 (2e1 2e 2 e 3 ) 1p: Korrektt funnit egenvärdena tilll den kvadrratiska form men 1p: Korrektt identifieraat den diagoonala formen n för den kvadrattiska formen n 2 2 2 x2 4~ x3 av 1p: Korrektt, utifrån fraamställningeen 2x~1 ~ den den n kvadratisk ka formen h (u) i basen n av egenvektoreer, identifierrat det intervvall som h(u ( ) ligger i då normen n av u är lik ka med 1 1p: Korrektt funnit de u för vilka h(u) på u 1 är minnimal 1p: Korrektt funnit de u för vilka h(u) på u 1 är maxximal 3. M 1 ochh M 3 är intee linjära rum m över R M 2 är eett linjärt ruum över R 2p: Korrektt visat att M 1 inte är ettt linjärt rum m 2p: Korrektt visat att M 2 är ett linj njärt rum 1p: Korrektt visat att M 3 inte är ettt linjärt rum m 4. 13 x x 2 1p: Korrektt funnit en bas b u1 , u 2 i underrumm met till P2 1p: Korrektt noterat att den funna bbasen är orttogonal, elleer alternattivt ortogonaliserat bassen till att ly yda f1 , f 2 1p: Korrektt noterat att en ortogonnal projektio on på under-rummett till P2 är lika l med sum mman av dee ortogonalaa projektiionerna på f1 och f 2 1p: Korrektt beräknat den d ortogona nala projektiionen på f1 1p: Korrektt beräknat den d ortogona nala projektiionen på f 2 , och korrekt sammanstäällt den ortoogonala projjektionen påå underru ummet till P2 1 (2) 5. 6. PS : ( 137 , 177 , 97 ) QS : ( 17 , 73 , 267 ) RS : ( 74 , 72 , 157 ) 1p: Korrekt noterat att speglingen i planet förmedlas av en linjär avbildning som avbildar vektorer parallella med planet på sig själva och vektorer vinkelräta mot planet på minus sig själva 1p: Korrekt från ekvationen för planet identifierat vilket vektorrum som är parallellt med planet och vilket som är ortogonalt, samt från detta formulerat de villkor som ger avbildningen 2p: Korrekt bestämt avbildningsmatrisen för speglingen 1p: Korrekt funnit koordinaterna för spegelpunkterna PS , Q S , RS till punkterna P , Q , R En bas i F:s nollrum är t.ex. (2 ,1,1, 0) , ( 4 ,1, 0 ,1) 1p: Korrekt funnit en trappstegsmatris som är radekvivalent med den linjära operatorns avbildningsmatris 1p: Korrekt bestämt en av två basvektorer i F:s nollrum 1p: Korrekt bestämt en andra av två basvektorer i F:s nollrum 1p: Korrekt bestämt en av två basvektorer i F:s värderum 1p: Korrekt bestämt en andra av två basvektorer i F:s värderum En bas i F:s värderum är t.ex. (1, 0 , 3 , 2) , (4 ,1, 7 , 3) eller t.ex. (1, 0 , 3 , 2) , (0 ,1, 5 , 5) 7. En ON-bas i M är t.ex. 1 3 8. (1, 0 ,1) , a 0: a 0: 0 a 1: a 1: a 1: 1 33 ( 2 , 3 , 1 ) 1p: Korrekt från M valt ut en vektor u1 och korrekt normerat den till e1 1p: Korrekt från M valt ut en andra vektor u 2 och korrekt till formen konstruerat en vektor f 2 som tillhör M , som är skild från nollvektorn, och som är ortogonal mot den först valda vektorn, dvs t.ex. bestämt f 2 u 2 u 2 e1 e1 2p: Korrekt bestämt det explicita uttrycket för f 2 1p: Korrekt normerat f 2 till e 2 en enmantlad hyperboloid 1p: Korrekt kvadratkompletterat i den kvadratiska formen så att slutsatser kan dras för olika värden på a två parallella plan en enmantlad hyperboloid 1p: Korrekt funnit att ekvationen beskriver en enmantlad hyperboloid om (a 0) (0 a 1) en hyperbolisk cylinder en tvåmantlad hyperboloid 1p: Korrekt funnit att ekvationen beskriver två parallella plan om a 0 1p: Korrekt funnit att ekvationen beskriver en hyperbolisk cylinder om a 1 1p: Korrekt funnit att ekvationen beskriver en tvåmantlad hyperboloid om a 1 2 (2)