Räta linjens ekvation
Kompendium 1.13
För alla räta linjer i planet kan vi teckna ekvationen
y = kx + m
(k − form)
Där x och y är variabler och k och m är konstanter.
k-värdet anger lutningen för en linje.
k-värdet kallas för linjens riktningskoefficient.
m-värdet anger y -värdet för linjens skärningspunkt med
y -axeln. Skärningspunktens koordinater är (0, m).
Exempel 1
Rita graferna till följande linjer:
y = 2x + 1,
y = −x,
y = 4.
Bra att veta om linjens lutning
Om linjen är stigande är lutningen k > 0(positivt).
T.ex y = x + 3, där k = 1 och m = 3.
Om linjen är fallande är lutningen k < 0(negativt).
T.ex y = −x + 1, där k = −1 och m = 1.
Om linjen är horisontell är lutningen k = 0.
T.ex y = 2, där k = 0 och m = 2
Om linjen är vertikal saknas k-värde.
Hur bestämmer man lutningen av en linje
Lutningen, k-värdet eller riktningskoefficienten för en linje genom
två punkterna P1 = (x1 , y1 ) och P2 = (x2 , y2 ) beräknas med
formeln
k=
4y
y2 − y1
förändring i y -led
=
=
,
förändring i x-led
4x
x2 − x1
där x1 6= x2 .
Obs! Vi kan börja med vilken punkt vi vill, men vi måste börja
med samma punkt i täljaren och nämnaren.
Exempel 2
Bestäm lutningen för en linje genom punkterna
(a) (3, 6) och (4, 1),
(b) (5, 3) och (5, −1).
Hur bestämmer man ekvationen för en linje
Du vet en punkt på linjen och lutningen k.
Exempel 3
En linje har lutningen 3 och går genom punkten (1, −2).
Bestäm linjens ekvation.
Du vet två punkter på linjen.
Exempel 4
Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna
(−1, 2) och (1, 3).
Olika former för linjens ekvation
Sammanfattning
k-form:
y = kx + m.
En punktsform:
y − y1 = k(x − x1 )
Allmän form:
ax + by + c = 0, där a, b och c är konstanter.
Horisontell linje:
y = b, där b är en konstant.
Vertikal linje:
x = a, där a är en konstant.
Exempel 5
Ekvationen för en linje är 3x + 6y − 1 = 0. Bestäm linjens lutning
samt koordinaterna för de punkter där linjen skär koordinataxlarna.
Parallella och vinkelräta linjer
Linjen L1 :
y = k1 x + m1
Linjen L2 :
y = k2 x + m2
Två linjer är parallella om och endast om k1 = k2 .
Två linjer är vinkelräta om och endast om
1
k1 · k2 = −1, ⇐⇒ k2 = − .
k1
Exempel 6
Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten (1, −2)
och som är parallell med linjen 3x − y + 1 = 0.
Linjära ekvationssystem
Kompendium 1.14
Vad är ett linjärt ekvationssystem?
Ett linjärt ekvationssystem är en uppsättning av två eller flera
linjära ekvationer med två eller flera obekanta(variabler).
Exemplen av linjära ekvationssystem:
x +y −5=0
x −y −1=0
x + 2y + 2z − 6 = 0
2x + y − 21 = 0
2x + 4y + 8z − 8 = 0
x −y +9=0
x − 3y + 5z + 1 = 0
Att lösa linjära ekvationssystem
Grafisk lösning
Exempel 7
Lös ekvationssystemet
x +y −5=0
x −y −1=0
(1)
(2)
Att lösa linjära ekvationssystem
Algebraisk lösning
Substitutionsmetoden(insättning)
1. Lös ut en variabel i en av ekvationerna(x eller y ).
2. Ersätt variabeln i den andra ekvationen med detta uttryck
och lös ekvationen.
3. Lösningen till ekvationen sätts in i någon av de ursprungliga
ekvationerna, som därefter löses.
Exempel 8
Lös ekvationssystemet
2x + y = 21
x − y = −9
(1)
(2)
Att lösa linjära ekvationssystem
Additionsmetoden
1. Multiplicera vardera ekvationen med lämpliga tal, så att
koefficienterna för x ( eller y ) blir motsatta tal.
2. Addera ekvationerna ledvis så att x-termerna ( eller
y -termerna) försvinner. Lös ekvationen.
3. Lösningen till ekvationen sätts in i någon av de ursprungliga
ekvationerna, som därefter löses.
Exempel 9
Lös ekvationssystemet
x +y −2=0
2x − y − 1 = 0
(1)
(2)
Att lösa linjära ekvationssystem
Exempel 10
Undersök om ekvationssystemet har någon lösning.
3x + 3y − 9 = 0
(1)
x + y +2=0
(2)
