Klassisk fysik, teori

Klassisk fysik, teori
Här är teorin för mina övningar i Klassik Fysik, gjord HT-16 till VT-17, kurskod
SK1104 (men delvis baserat på mitt övningsmaterial till SK112N från VT16). Hursomhelst, här är teoridelar, bra formler, och ett par tabeller! Hoppas
det kan vara till hjälp. Dokumentet är uppdelat i de olika övningarna i den
övningsordning som var aktuell den här kursomgången.
Figurer är ritade i Inkscape 0.91.
Frågor och funderingar kan gärna mailas till mig på [email protected], jag svarar
så snabbt och bra jag kan!
Lycka till!
-Håkan Wennlöf
Innehåll
Tabeller
Tabell med enheter . .
Tabell med konstanter
Våglängder . . . . . .
Materialparametrar . .
.
.
.
.
3
3
4
4
4
1 Akustik
1.1 Intensitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ljudintensitetsnivå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Lite om vågor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
5
2 Geometrisk optik
2.1 Brytningsindex . .
2.2 Snells lag . . . . .
2.3 Totalreflektion . .
2.4 Sfärisk gränsyta . .
2.5 Linsmakarformeln .
2.6 Tunn lins . . . . .
2.7 Linsstyrka . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
6
6
7
7
7
3 Optiska system
3.1 Linssystem . . .
3.2 Afokala system .
3.3 Systemfokallängd
3.4 Huvudplan . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
8
9
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Interferens
11
4.1 Optisk väg (optical path length, OPL) . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Fasskillnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Interferens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
INNEHÅLL
4.4
4.5
Tunt skikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vinkelrät reflektion i gränsyta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Diffraktion
5.1 Cirkulär öppning
5.2 Enkelspalt . . . .
5.3 Upplösning . . .
5.4 Gitter . . . . . .
12
12
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
13
13
14
6 Polarisation
6.1 Polarisationsriktning
6.2 Brewstervinkeln . . .
6.3 Malus lag . . . . . .
6.4 Dubbelbrytning . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
15
16
16
7 Elektrostatik
7.1 Coulombs lag . .
7.2 Elektriskt fält . .
7.3 Elektrisk dipol .
7.4 Elektrisk kraft .
7.5 Gauss sats . . . .
7.6 Spänning . . . .
7.7 Potentiell energi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
17
17
18
18
18
18
8 Kondensatorer
8.1 Kondensator . .
8.2 Plattkondensator
8.3 Seriekoppling . .
8.4 Parallellkoppling
8.5 RC-krets . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
19
20
20
20
9 Magnetism
9.1 Magnetfält från laddning q . .
9.2 Magnetfält från rak ledare . . .
9.3 Magnetfält från lång rak ledare
9.4 Spolar . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Magnetisk kraft . . . . . . . . .
9.6 Magnetisk dipol . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
21
21
21
22
23
10 Induktion
10.1 Magnetiskt flöde . .
10.2 Inducerad spänning .
10.3 Självinduktans . . .
10.4 Ömsesidig induktans
10.5 RL-krets . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
24
24
24
24
25
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
INNEHÅLL
Tabeller
Tabell med enheter
Lista på enheter och olika sätt att uttrycka dem. Bra för dimensionsanalys!
Längst till höger står enheten uttryckt i de 7 basenheterna. Ofta finns smidigare genvägar med sammansatta enheter, men man kan alltid skriva ut allt i
basenheterna och få rätt i slutändan.
Storhet
Elektrisk ström
Ljusstyrka
Längd
Massa
Substansmängd
Temperatur
Tid
Enhetsnamn
Ampere
Candela
Meter
Kilogram
Mol
Kelvin
Sekund
Beteckning
A
cd
m
kg
mol
K
s
Varianter
-
I basenheter
A
cd
m
kg
mol
K
s
Effekt
Elektrisk fältstyrka
Energi
Frekvens
Induktans
Intensitet
Kapacitans
Kraft
Laddning
Ljudintensitetsnivå
Magnetfältstyrka
Magnetiskt flöde
Resistans
Spänning
Tryck
Vinkel
Watt
Joule
Hertz
Henry
Farad
Newton
Coulomb
Decibel
Tesla
Weber
Ohm
Volt
Pascal
Radian
W
V/m
J
Hz
H
W/m2
F
N
C
dB
T
Wb
Ω
V
Pa
rad
J s−1
N C−1
N m, V C
T m2 A−1
C V−1
N A−1 m−1
Vs, Tm2
V A−1
J C−1
N m−2
-
kg m2 s−3
kg m A−1 s−3
kg m2 s−2
s−1
kg m2 A−2 s−2
kg s−3
A2 s4 kg−1 m−2
kg m s−2
As
Enhetslös
kg A−1 s−2
kg m2 A−1 s−2
kg m2 A−2 s−3
kg m2 A−1 s−3
kg m−1 s−2
Enhetslös
3
INNEHÅLL
Tabell med konstanter
Konstant
Atommassenheten
Elektriska konstanten
(vakuumpermittiviteten)
Elektronmassan
Elementarladdningen
Ljushastigheten
(i vakuum)
Magnetiska konstanten
(vakuumpermeabiliteten)
Protonmassan
Beteckning
u
ε0
Värde
1.660 539 0 · 10−27 kg
8.854 187 817 · 10−12 F m−1
me
e
c
9.109 383 56 · 10−31 kg
1.602 176 62 · 10−19 C
299 792 458 m s−1
µ0
4π · 10−7 N A−2
mp
1.672 621 9 · 10−27 kg
Våglängder
Ungefärliga. Olika källor säger olika, men för approximationssyfte är det bra!
Tabellen till höger är mer detaljerad, men den vänstra ger en bra indikation.
Synligt ljus har våglängder mellan 400 och 700 nm.
Färg
Blå
Grön
Gul
Röd
Färg
Violett
Blå
Cyan
Grön
Gul
Orange
Röd
Våglängd [nm]
450
500
600
700
Våglängd [nm]
400-450
450-490
490-520
520-560
560-590
590-635
635-700
Materialparametrar
Bra att ha för typiska värden och rimlighetsbedömningar. n står för brytningsindex, εr står för materialets relativa elektriska permittivitet, µr står för materialets relativa magnetiska permeabilitet, och ρ står för materialets resistivitet.
Brytningsindex ges för synligt ljus. Värdena är ungefärliga, eftersom de varierar
med temperatur och liknande, men de ger iallafall en storleksordning. Plasten i
tabellen är polyetylen.
Material
Luft
Vatten
Plast
Glas
Koppar
Järn
n
1
1.33
1.5
1.5
-
εr
1
80
2.3
4
-
µr
1
1
2.3
1
1
>1000
ρ [Ω·m]
2 · 1014
0.1-103
1021
1011 -1015
1.68 · 10−8
9.71 · 10−8
4
1
AKUSTIK
Övning 1: Akustik
1.1
Intensitet
Intensitet är effekt per area.
P
I=
A
W
m2
(1.1)
P effekt, A arean effekten är spridd över (ofta en sfär, ljud utbreds sfäriskt).
För ljudvåg gäller
1 2 2
a ω Z
(1.2)
2
där a är förskjutningsamplituden för vågen, ω = 2πf vinkelfrekvensen (f vågens
frekvens), och Z = ρc är den akustiska impedansen för materialet ljudvågen
rör sig i. ρ densiteten, c ljudhastigheten i materialet.
I=
Exempelvärden på akustisk impedans är
Zluf t ≈ 420
kg
,
m2 s
Zvatten ≈ 1.5 · 106
kg
m2 s
Har även
p2max
2Z
där pmax är den maximala tryckamplituden vågen orsakar.
[pmax ] = Pa = mN2
I=
1.2
(1.3)
Ljudintensitetsnivå
Logaritmisk skala för intensitet.
β = 10 · log10
I
I0
[dB (enhetslös)]
(1.4)
I0 är referensintensitet. Oftast satt till treshold of hearing”;
W
I0 = 10−12 m
2
1.3
Lite om vågor
Harmonisk våg, förskjutningen s ges allmänt av
s(x, t) = a · sin (kx − ωt)
a förskjutningsamplitud [m]
k vågtal, k =
2π
λ
=
ω
c
[radianer/m]
ω = 2πf , vinkelfrekvens [radianer/s]
c våghastighet [m/s], c = λ · f =
ω
k
5
(1.5)
2
GEOMETRISK OPTIK
Övning 2: Geometrisk optik
2.1
Brytningsindex
Materialparameter.
c
v
c ljushastighet i vakuum, v ljushastighet i material.
n=
2.2
(2.1)
Snells lag
Brytning i yta mellan två material med olika brytningsindex.
n · sin i = n0 · sin i0
i, i’ vinklarna mot ytans normal.
i
n
n'
i'
2.3
Totalreflektion
Sker om
n·sin i
n0
> 1, dvs om det inte finns lösning av Snells lag för i’.
För att få gränsfallet kan vi sätta sin i0 = 1 (alltså att den utgående vinkeln är
90◦ ). Vi får då
0
igräns = sin−1 nn
Om i > igräns : totalreflektion.
2.4
Sfärisk gränsyta
s objektsavstånd, s’ bildavstånd.
n n0
n0 − n
+ 0 =
s
s
R
(2.2)
h
Förstoring:
h0
ns0
M=
=− 0
h
ns
n
(2.3)
Minustecknet betyder reell bild, och
uppochned.
6
h'
n'
R
s
s'
2
GEOMETRISK OPTIK
2.5
Linsmakarformeln
R1 , R2 krökningsradier. d linsens
tjocklek.
Teckenkonvention: R negativ om
krökningscentrum till vänster om linsytan. I figuren är alltså R2 negativ, R1
positiv (ger skillnad konvex/konkav).
R2
n
R1
d
För fokallängden gäller
1
= (n − 1)
f
2.6
1
1
(n − 1)d
−
+
R1
R2
nR1 R2
(2.4)
Tunn lins
Approximation!
Linsformeln:
1
1
1
+ 0 =
s s
f
(2.5)
h
f
h'
f
f fokallängd hos linsen.
s'
s
lins
Från linsmakarformeln: Linsens tjocklek d går mot noll, d → 0, så
1
1
1
= (n − 1)
−
f
R1
R2
Förstoring:
M=
2.7
h0
s0
=−
h
s
(2.6)
(2.7)
Linsstyrka
Det mått optiker använder. Ofta symbol P, enhet dioptrier, D
1
1
D=
P =
f
m
För att få styrkan i dioptrier ska f vara angiven i meter.
7
(2.8)
3
OPTISKA SYSTEM
Övning 3: Optiska system
3.1
Linssystem
Flera linser på rad.
Behandla som en lins i taget! Mellanbilder blir objekt för efterföljande linser.
f1
h0
f2
h2
h1
s1
s 1'
s2
s 2'
Om i betecknar linsens ”ordningsnummer” (index) så har vi
1
1
1
+ 0 =
si
si
fi
(3.1)
s0i
hi−1
si
(3.2)
s0
hi
=− i
hi−1
si
(3.3)
hi =
så förstoringen blir
Mi =
3.2
Afokala system
Objekt i oändligheten ger bild i oändligheten. Med andra ord, parallella strålar
in ger parallella strålar ut.
Om två linser: fokus ska sammanfalla!
Avstånd mellan: d = fob + fok (objektiv till okular)
Vinkelförstoring:
Mθ =
θ0
θ
'
små
vinklar
fob
h
=−
h0
fok
(3.4)
θ är vinkeln av synfältet som det observerade objektet upptar utan linserna,
och θ0 är vinkeln av synfältet som den skapade bilden upptar.
8
3
OPTISKA SYSTEM
objektiv
okular
h
θ
θ'
h'
d
fok
fob
3.3
Systemfokallängd
Två tunna linser, fokallängder f1 och f2 .
Får tillsammans fokallängd fsys , givet av
1
1
1
d
=
+
−
fsys
f1
f2
f1 f2
(3.5)
d avståndet mellan linserna
3.4
Huvudplan
System med flera linser kan beskrivas med hjälp av systemfokallängden och de
s.k. huvudplanens positioner. Allt mellan huvudplanen kan behandlas som en
tunn lins med fokallängden fsys . Två huvudplan: främre (FH) och bakre (BH).
Ordningen på dem kan dock variera, men definition av vilket som är vilket finns
nedan.
FH
s
BH
s'
fsys
fsys
Främre huvudplan (FH): Det plan där förlängningen av strålar genom främre
fokus (som ju kommer bli parallella efter linssystemet, precis som för en vanlig
tunn lins) skär förlängningen av den utgående parallella strålen.
Bakre huvudplan (BH): Det plan där förlängningen av parallella inkommande
strålar skär förlängningen av utgående strålarna som går genom fokus.
Avbildning ges av linsformeln;
1
1
1
+ 0 =
S
S
fsys
9
(3.6)
3
OPTISKA SYSTEM
S är avståndet från objektet till främre huvudplan, och S 0 avståndet från bakre
huvudplan till bilden.
För att hitta huvudplanen använder man strålarna som går in i och ut ur hela
linssystemet. För BH tittar man på var förlängningen av en inkommande parallell stråle skär förlängningen av den utgående strålen (man bryr sig alltså inte
om hur strålen studsar runt inne i linssystemet). Främre huvudplanet får man
på samma sätt genom att titta på en stråle som är parallell när den lämnar
systemet (kolla på dess förlängning, och se var den skär förlängningen av den
inkommande strålen).
Rent praktiskt kan det vara hjälpsamt att rita strålar och använda sig av likformiga trianglar för att hitta huvudplanens positioner.
10
4
INTERFERENS
Övning 4: Interferens
4.1
Optisk väg (optical path length, OPL)
Sträckan ljus färdas genom medium, viktat
med mediets brytningsindex.
OPL = nx
I
ΔOPL
(4.1)
∆OPL skillnad i optisk väg mellan interfererande ljusstrålar från samma ljuskälla.
4.2
x
Fasskillnad
∆ϕ. Hur mycket ljusstrålar är förskjutna relativt varandra.
∆ϕ =
4.3
2π
· ∆OPL
λ
(4.2)
Interferens
Kan ske för strålar från samma källa. För två strålar:
Intensitet adderas enligt
Itot = I1 + I2 + 2
p
I1 I2 · cos (∆ϕ)
(4.3)
I1 intensitet för stråle 1, I2 intensitet för stråle 2, ∆ϕ fasskillnaden mellan
dem.
– Maximal konstruktiv interferens: ∆ϕ = 2π · m ⇔ ∆OPL = m · λ.
m heltal; m = 0, ±1, ±2, . . ..
Intensiteten förstärks. Toppar och dalar sammanfaller.
– Maximal destruktiv
interferens (cos-termen ska bli -1): ∆ϕ = 2π·m+π ⇔
∆OPL = m + 12 · λ.
m heltal; m = 0, ±1, ±2, . . ..
Intensiteten minskar. Toppar på ena sammanfaller med dalar på andra.
11
INTERFERENS
4.4
Tunt skikt
n1
i
)
Stråle reflekteras i olika gränsytor.
Bilden: Tre material med olika brytningsindex, n1 , ns och n2 .
)
4
i'
ns
d
n2
(
0
∆OPL = 2 · ns · d · cos (i ) +
λ
2
, om en av refl. mot tätare medium
0 annars
(4.4)
Tätare medium ⇔ större n.
∆OPL vägskillnad mellan ljus reflekterat i första respektive andra gränsytan.
4.5
Vinkelrät reflektion i gränsyta
Reflektivitet (andel av den inkommande intensiteten som reflekteras)
I0
=
R=
I
n2 − n1
n2 + n1
2
(4.5)
där I 0 är den reflekterade intensiteten, och I den inkommande intensiteten. n1 ,
n2 brytningsindex för de två materialen.
I
(Obs, skiss. Egentligen reflekteras
strålen tillbaka samma väg som den
kom in, dvs vinkelrätt ut, men det går
inte riktigt att rita på ett bra sätt)
n1
n2
12
I'
5
DIFFRAKTION
Övning 5: Diffraktion
5.1
Cirkulär öppning
x
λ
Diffraktionsmönster
D
)
α
R >> D, λ
I
(intensitet)
α diffraktionsvinkeln (från centralmaximum till första minimum).
λ inkommande ljusets våglängd, D öppningens diameter.
sin α =
1.22λ
D
(5.1)
(Diffraktionsmönstret egentligen 3D, men svårt att rita tydligt. Hela diagrammet är alltså ”roterat” runt centrala axeln också)
5.2
Enkelspalt
Diffraktionsmönster likt det för cirkulär öppning, men i bara en riktning.
sin α =
λ
a
(5.2)
a spaltbredd (öppningens storlek).
5.3
Upplösning
Vinkeln av synfältet som går att upplösa (dvs när man kan skilja en punkt
från en annan) ges av Rayleighkriteriet;
sin αR =
1.22λ
D
(5.3)
(ögat cirkulär öppning, D pupilldiametern här). αR är alltså den minsta vinkel
(relaterat till minsta avstånd) mellan punkter där man kan skilja på punkterna.
13
5
DIFFRAKTION
5.4
Gitter
(Ger upphov till fenomen som är en kombination av interferens och diffraktion)
Får diffraktionsmönster endast i vissa bestämda riktningar (ordningar), där
interferensen är maximalt konstruktiv. Vinkeln αm till ordning m ges av
m · λ = d · sin (αm )
(5.4)
m heltal, d gitterkonstanten (spaltseparationen i gittret, avståndet mellan spalters centrum).
3
2
1 m=0
1
2
3
m=0
1
Diffraction
envelope
2
3
4
0
0
θ
Utan diffraktion
6 7
θ
Med diffraktion
Intensitet på y-axeln, vinkel från centralmaximum på x-axeln.
Första bilden visar hur det vore med ren interferens, men även diffraktion kommer i allmänhet in! Diffraktionen beror på spaltbredden i gittret. Den ger ett
”diffraction envelope” som trycker ned intensiteterna för de olika ordningarna
(se andra bilden). (Man kan alltså hitta intensiteten i en ordning i gittret genom
att titta på diffraktionens intensitet vid den vinkel där ordningen ligger)
14
6
POLARISATION
Övning 6: Polarisation
6.1
Polarisationsriktning
Ljus är elektromagnetiska vågor, så det har en elektrisk fältkomponent och
en magnetisk fältkomponent. E-fältet oscillerar i en riktning, och B-fältet i en
annan, roterad 90◦ jämfört med E-fältets riktning. De är alltså alltid ortogonala.
Polarisationsriktningen är definierad som det elektriska fältets oscillationsriktning. Ljuset kan vara
Opolariserat - Polarisationen varierar snabbt och slumpmässigt, kan
också sägas vara polariserat i alla riktningar (och på så sätt ingen riktning
mer än nån annan).
Linjärpolariserat - Elektriska fältet oscillerar runt samma axel hela tiden.
Cirkulärpolariserat - Elektriska fältets oscillationsriktning roterar, så
den momentana polarisationsriktningen beror på ”var i vågen” man befinner sig.
z
E-fält
y
B-fält
Ljusvågen i bilden propagerar
i x-riktningen. E-fältsdelen av
ljuset oscillerar i z-led, och Bfältsdelen oscillerar i y-led. Ljuset är alltså linjärpolariserat i zled!
x
Ljus kan polariseras till exempel vid reflektion, där ljus med vissa polarisationsriktningar reflekteras starkare än andra.
6.2
Brewstervinkeln
Polarisationsriktningar
Mängden ljus som reflekteras
och transmitteras i en gränsyta
mellan material med brytningsindex n och n0 beror på infallsvinkel och polarisation. Då
infallsvinkeln är Brewstervinkeln så reflekteras bara det
ljus som har polarisationsriktning vinkelrätt mot infallsplanet.
(opolariserat)
Infallsplan
n
iB
n'
15
Vinkelrätt mot
infallsplan
6
POLARISATION
Infallsplanet är det plan i vilket inkommande och reflekterad ljusstråle ligger.
Brewstervinkeln iB ges av
n0
tan iB =
(6.1)
n
6.3
Malus lag
Malus lag ger den intensitet av inkommande linjärpolariserat ljus som transmitteras genom ett linjärt polarisationsfilter. Med det inkommande ljusets intensitet som I0 och den transmitterade intensiteten som IT så kan Malus lag
skrivas
IT = I0 cos2 ϕ
(6.2)
där ϕ är vinkeln mellan det inkommande ljusets polarisationsriktning och polarisationsfiltrets genomsläppningsriktning (linjära polarisationsfilter släpper bara
igenom en viss polarisationsriktning).
6.4
Dubbelbrytning
Olika polarisationsriktningar bryts i olika
vinklar i vissa material. Olika polarisationsriktningar ”ser” olika brytningsindex i materialet, och tar därför olika vägar genom det.
Förekommer ofta i kristaller, och kan användas
för att dela upp ljus i olika polarisationer.
16
Polarisations- Kristall
riktningar
7
ELEKTROSTATIK
Övning 7: Elektrostatik
7.1
Coulombs lag
Kraften mellan två laddningar med laddning q1 respektive q2 ges av
F =
q1 q2
4πε0 r2
(7.1)
där r är avståndet mellan laddningarna, och ε0 den elektriska konstanten (vakuumpermittiviteten).
ε0 ' 8.85 · 10−12
7.2
~
E
F
m
Elektriskt fält
[N/C = V/m]
(Vektorfält, så det har storlek och riktning överallt i rummet). Vi betraktar
det på avstånd r från laddningen. Finns olika typer av laddningar, och de ger
upphov till olika former på E-fältet:
Punktladdning q [C]:
E=
q
4πε0 r2
(7.2)
Linjeladdning med laddningstäthet λ [C/m]:
E=
λ
2πε0 r
(7.3)
Ytladdning med laddningstäthet σ [C/m2 ]:
E=
σ
2ε0
(7.4)
(avståndsoberoende)
För linje- och ytladdning: gäller då r längd på linje/yta.
E-fält superpositioneras. Lägg ihop E-fälten från alla närvarande laddningar för
att få totala!
7.3
Elektrisk dipol
d
Två motsatta laddningar (+q och -q) på ett litet avstånd d:
-q
17
+q
7
ELEKTROSTATIK
En dipol har ett dipolmoment p~, som ges av
p~ = q · d~ [C · m]
(7.5)
d~ riktad från negativ laddning till positiv (men oftast är vi bara intresserade av
dipolmomentets storlek snarare än riktning ändå).
Elektriskt fält vinkelrätt mot d på avstånd r d från dipolen ges av
E⊥ =
p
4πε0 r3
(7.6)
p är absolutbeloppet (storleken) av dipolmomentet.
7.4
Elektrisk kraft
Elektriska kraften på en laddning q ges av
~
F~ = q · E
(7.7)
~ är det yttre elektriska fältet.
där E
7.5
Gauss sats
‹
~ · dS
~= Q
E
ε0
S
(7.8)
~ över sluten Gaussyta (S) ger totala laddningIntegralen av elektriska fältet (E)
en (Q) som innesluts av ytan. Som Gaussyta kan vilken sluten yta som helst
väljas.
7.6
Spänning
Skillnad i elektrisk potential mellan två punkter, a och b.
ˆ b
~ · d~r [V]
Uab = Ua − Ub =
E
(7.9)
a
Oberoende av väg mellan a och b.
7.7
Potentiell energi
Potentiell energi hos laddning q på potential U är energin som krävs för att
flytta laddningen från potential 0 till potential U .
W =q·U
[J]
(7.10)
Mer allmänt ges energin för att flytta från startpotentialen U1 till slutpotentialen
U2 av
W = q(U2 − U1 )
(7.11)
18
8
KONDENSATORER
Övning 8: Kondensatorer
8.1
Kondensator
Två ledare separerade av annat material. Lagrar laddning Q, och energi W, när man lägger spänning U över
den.
Kapacitans [F, farad] ett mått på lagrade laddningen. Kapacitansen ges av
Q
C
C=
F=
(8.1)
U
V
Den lagrade energin är
W =
1
CU 2
2
(8.2)
och den lagrade laddningen ges av
Q = CU.
8.2
(8.3)
Plattkondensator
Vanlig approximation. Två elektriskt ledande plattor med area A, avstånd d mellan
plattorna, material med relativ permittivitet
εr mellan plattorna.
A
A
εr
d
Kapacitans
C = ε0 εr
A
d
(8.4)
Relativa permittiviteten εr materialparameter. Dimensionslös.
ε0 ' 8.85 · 10−12 F/m elektriska konstanten, vakuumpermittiviteten.
E-fältstyrkan mellan plattorna:
E=
U är spänningen mellan plattorna.
19
U
d
(8.5)
8
KONDENSATORER
8.3
Seriekoppling
C1
C2
Kondensatorer kopplade på rad. Totala kapacitansen ges av
1
1
1
=
+
Ctot
C1
C2
(8.6)
(om vi har två kondensatorer. Annars tillkommer en term för varje kondensator)
8.4
Parallellkoppling
C1
Kondensatorer sitter parallellt. Totala kapacitansen ges av
Ctot = C1 + C2
(8.7)
C2
8.5
RC-krets
Urladdningen (spänningsminskningen) av en kondensator med kapacitans C
över en resistans R sker med en tidskonstant τRC :
τRC = R · C.
(8.8)
U (t) = U0 · e−t/τRC .
(8.9)
Spänningen sjunker som
τRC är alltså tiden då spänningen är 1/e av ursprungliga värdet.
Spänningens tidsberoende kommer av Kirchhoffs strömlag, där strömmen i kondensatorn måste vara samma som strömmen i resistorn;
C·
U
dU
+
= 0 ⇒ U (t) = U0 · e−t/RC
dt
R
I
C
R
20
9
MAGNETISM
Övning 9: Magnetism
Laddning i rörelse ger upphov till magnetfält. Magnetfält är källfria (divergensfria), så magnetfältlinjer är alltid slutna (de har ingen direkt början och slut,
utan sitter ihop).
9.1
Magnetfält från laddning q
Laddning q med hastighet ~v ger magnetfältet
~ = µ0 q ~v × r̂
B
4π r2
B
r
[T]
v
(9.1)
q
r̂ riktningen (enhetsvektorn) till punkten på avstånd r, där vi mäter fältet.
µ0 magnetiska konstanten, vakuumpermeabiliteten.
µ0 = 4π · 10−7 N/A2
9.2
Magnetfält från rak ledare
B
Mätt i punkten r.
r
µ0 I
B=
(cos α − cos β)
4πr
(9.2)
β
α
I
I strömmen genom ledaren.
9.3
Magnetfält från lång rak ledare
Lång: α liten ⇒ cos α ≈ 1, β → 180◦ − α ⇒ cos β → − cos α ≈ −1
Så magnetfältet blir
B=
9.4
µ0 I
2πr
(9.3)
Spolar
Riktningen på magnetfält från spolar fås med hjälp av högerhandsregeln (tummen i magnetfältets riktning, de övriga fingrarna i strömmens riktning).
21
9
MAGNETISM
9.4.1
Lång spole och toroidspole
I
B
Toroidspole
a
B
L
Lång spole: a<<L
Fältet inuti:
B = µ0 I ·
N
L
(9.4)
N/L antal varv per spollängd.
9.4.2
Kort spole
Längs symmetriaxeln
netfältet
z
blir
µ0 N I · a2
Bz =
2(a2 + z 2 )3/2
mag-
z
B
(9.5)
a är spolens radie, N antal varv i spolen,
och I strömmen i spolen.
9.5
I
a
L
a>>L
Magnetisk kraft
B
~
Laddning q med hastighet ~v i magnetfält B
utsätts för kraften
~
F~ = q~v × B.
R
(9.6)
Kraften alltså vinkelrät mot rörelseriktningen,
så kraften kröker banan.
Krökningsradien ges av
mv
R=
|q| · B
där m är den laddningsbärande partikelns massa.
22
q
v
(9.7)
9
MAGNETISM
9.5.1
Kraft på rak ledare
F
Rak ledare med längd L och ström I~ (riktningen
på strömmen/ledaren alltså viktig) i magnetfält
~ påverkas av kraften
B
~
F~ = LI~ × B.
9.6
B
I
(9.8)
L
Magnetisk dipol
En strömslinga (spole) med tvärsnittsarea/ändytearea A, N varv, ström I, har
magnetiskt dipolmoment µ
µ=N ·I ·A
(9.9)
riktat parallellt med inre fältet (eller, med andra ord, riktat vinkelrätt ut från
den ändyta på spolen som ligger i det skapade fältets riktning).
Om spolen har en kärna med relativ permeabilitet µr så får vi istället
µ = µr N IA.
(9.10)
~ utsätts dipolen för ett
I ett yttre magnetfält B
kraftmoment givet av
~ =µ
~
M
~ × B.
(9.11)
23
B (yttre)
µ
M
10
INDUKTION
Övning 10: Induktion
10.1
Magnetiskt flöde
~ = A · n̂, n̂ ytans normalMagnetiska flödet genom area A
~
vektor, i magnetfältet B ges av
~·B
~ = A · B · cos θ
Φ=A
Wb = V · s = T · m2 (10.1)
B
θ
^
n
A
θ vinkeln mellan ytans normalvektor och magnetfältets riktning.
10.2
Inducerad spänning
Inducerade spänningen i slinga/spole ges av
U =N·
dΦ
dt
[V].
(10.2)
N antal varv i spolen, Φ magnetiska flödet. Ändring i magnetiskt flöde ger alltså
upphov till spänning.
10.3
Självinduktans
Spolens eget magnetiska flöde inducerar en spänning i den. Självinduktansen L
ges av
Φ
Wb
T · m2
L=N·
H=
=
(10.3)
I
A
A
I strömmen i spolen.
10.4
Ömsesidig induktans
Två spolar påverkar varandra. Ömsesidig induktans M mellan två spolar 1 och
2 ges av
M = N1
Φ1
I2
[H]
(10.4)
Φ1 magnetiska flödet genom spole 1 (från magnetfältet från spole 2), I2 strömmen
i spole 2.
24
10
INDUKTION
10.5
RL-krets
Ström i spole kopplad i krets med resistor ökar
enligt
(10.5)
I(t) = I0 1 − e−t/τRL .
L
R
τRL RL-konstanten i kretsen.
Strömmen i spolen minskar (laddas ur) enligt
I(t) = I0 · e−t/τRL .
(10.6)
Tidskonstanten τRL ges av
L
(10.7)
R
där L är spolens självinduktans och R är resistorns resistans. I0 är den ursprungliga strömmen i spolen (i urladdningsfallet), och ges av Ohms lag som
τRL =
I0 =
25
U
.
R
(10.8)