2201 a Till varje vinkel i enhetscirkeln kan vi konstruera en rätvinklig

2201 a
b
Till varje vinkel i enhetscirkeln kan vi
konstruera en rätvinklig triangel med
hypotenusan 1
Till varje vinkel i enhetscirkeln kan vi
konstruera en rätvinklig triangel med
hypotenusan 1
Pythagoras sats som gäller i varje
rätvinklig triangel ger oss resultatet.
sin2 x + cos 2 x = 1
Detta samband kallas vanligen
Trigonometriska ettan
Så oavsett vinkel kommer resultatet att bli 1
då hypotenusan i enhetscirkeln är 1.
Pythagoras sats som gäller i varje
rätvinklig triangel ger oss resultatet.
sin2 x + cos 2 x = 1
Detta samband kallas vanligen
Trigonometriska ettan
Så oavsett vinkel kommer resultatet att bli 1
då hypotenusan i enhetscirkeln är 1.
sin2 315° + cos2 315° = 1
sin2
π
π
+ cos2 = 1
7
7
c
2202 a
Som i de två tidigare deluppgifterna ger
Trigonometriska ettan att
Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1 ger
9π
9π
+ cos2
=1
8
8
och då blir bråket
sin2
9π
9π
sin2 8 + cos2 8
1
=
2
2
0.12 + cos2 v = 1
cos2 v = 1 − 0.12
cos2 v = 1 − 0.01
cos2 v = 0.99
cos v = ±√0.99
Då cos v ≥ 0 fås
99
9 ⋅ 11
cos v = √0.99 = √
=√
=
100
100
√9√11
√100
=
3√11
3
=
√11 ≈ 0.995
10
10
Svar: cos v = √0.99 =
3
√11
10
b
c
Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1 ger
Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1 ger
sin2 v + 0.22 = 1
sin2 v = 1 − 0.22
sin2 v = 1 − 0.04
sin2 v = 0.96
sin v = ±√0.96
Då sin v ≥ 0 fås
96
16 ⋅ 6
sin v = √0.96 = √
=√
=
100
100
√16√6
√100
=
4√6 2
= √6 ≈ 0.98
10
5
2
Svar: sin v = √0.96 = √6
5
0.72 + cos2 v = 1
cos2 v = 1 − 0.72
cos2 v = 1 − 0.49
cos2 v = 0.51
cos v = ±√0.51
Då cos v ≥ 0 fås
51
√51
cos v = √0.51 = √
=
=
100 √100
√51
≈ 0.714
10
Svar: cos v = √0.51 =
√51
10
2203 a
b
Trigonometriska ettan
sin2 x + cos 2 x = 1 ger
2 2
2
sin x + (− ) = 1
3
2 2
2
sin x = 1 − (− )
3
4
2
sin x = 1 −
9
5
sin2 x =
9
√5
sin x = ±
3
Då sin x ≥ 0 fås
√5
sin x =
≈ 0.745
3
Trigonometriska ettan
sin2 x + cos 2 x = 1 ger
2 2
2
sin x + (− ) = 1
3
2 2
2
sin x = 1 − (− )
3
4
2
sin x = 1 −
9
5
sin2 x =
9
√5
sin x = ±
3
Då sin x ≤ 0 fås
√5
sin x = −
≈ −0.745
3
Svar: sin x =
√5
3
Svar: sin x = −
√5
3
2204
3
sin v =
5
Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1 ger
3 2
( ) + cos2 v = 1
5
3 2
cos2 v = 1 − ( )
5
9
2
cos v = 1 −
25
16
cos2 v =
25
16
cos v = ±√
25
4
cos v = ±
5
⋮
⋮
Fall 1
4
ger
5
sin v + cos v =
3 4 7
+ =
5 5 5
cos v =
Fall 2
4
ger
5
sin v + cos v =
3
4
1
+ (− ) = −
5
5
5
cos v = −
Svar:
7
1
eller −
5
5
2205 a
cos v =
b
1
2
sin v = −
Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1 ger
1 2
sin v + ( ) = 1
2
1
2
sin v + = 1
4
1
sin2 v = 1 −
4
3
sin2 v =
4
2
3
sin v = ±√
4
√3
2
Då vinkeln ligger i 4: e kvadranten
så måste den positiva lösningen förkastas.
sin v = ±
sin v = −
√3
2
2
5
Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1 ger
2 2
(− ) + cos2 v = 1
5
4
+ cos2 v = 1
25
4
cos2 v = 1 −
25
21
cos2 v =
25
√21
cos v = ±
5
Då vinkeln ligger i 4: e kvadranten
så måste den negativa lösningen förkastas.
cos v =
√21
5
Svar: cos v =
Svar: sin v = −
√3
2
√21
5
c
2206
cos v =
1
cos v =
√2
Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1 ger
2
1
2
sin v + ( ) = 1
√2
1
sin2 v + = 1
2
1
sin2 v = 1 −
2
1
sin2 v =
2
1
sin v = ±√
2
sin v = ±
2
5
Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1 ger
2 2
sin v + ( ) = 1
5
4
2
sin v +
=1
25
4
sin2 v = 1 −
25
21
sin2 v =
25
√21
sin v = ±
5
2
Enligt villkoret ligger vinkeln i 4: e kvadranten
och då måste den positiva lösningen förkastas.
1
√2
Då vinkeln ligger i 4: e kvadranten
så måste den positiva lösningen förkastas.
1
sin v = −
√2
sin v = −
√21
5
Svar: Villkoret gör att vi endast får
en lösning −
Svar: sin v = −
1
√2
√21
5
2207
2209
(sin v − cos v)(sin v + cos v) =
konjugatregeln ger
sin2 v − cos2 v … (1)
(1 + cos x)(1 − cos x)
= sin x
sin x
(1 + cos x)(1 − cos x) = sin2 x
utrycket kan om så önskas omvandlas
med hjälp av trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1
sin2 v = 1 − cos 2 v sättes in i (1) ger
1 − cos2 v − cos 2 v
1 − 2 cos2 v … (2)
eller …
sin2 v + cos2 v = 1
cos2 v = 1 − sin2 v sättes in i (1) ger
sin2 v − (1 − sin2 v)
2 sin2 v − 1 … (3)
VL =
(1 + cos x)(1 − cos x) =
konjugatregel
12 − cos 2 x =
1 − cos2 x =
Trigonometriska ettan
sin2 x =
HL v. s. v.
Svar:
sin2 v − cos2 v
alternativt
1 − 2 cos2 v
2 sin2 v − 1
2208
(sin x + cos x)2 + (sin x − cos x)2 = 2
VL = (sin x + cos x)2 + (sin x − cos x)2 =
sin2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x +
sin2 x − 2 sin x cos x + cos 2 x =
sin2 x + cos 2 x + sin2 x + cos 2 x =
1 + 1 = 2 = HL v. s. v.
2210
⋮
π
<v<π
2
90° < v < 180°
Vinkeln ligger i
andra kvadranten och då är
sinus positiv och cosinus 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣.
tan v =
sin v =
sin v
cos v
1
√3
bestäm cos v för samma vinkel v
med trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1
cos2 v = 1 − sin2 v
2
1
2
cos v = 1 − ( )
√3
1
cos2 v = 1 −
3
2
cos2 v =
3
2
cos v = ±√
3
då cosinus negativt i andra kvadranten
förkastas den positiva lösningen
2
√2
cos v = −√ = −
3
√3
⋮
1
1
tan v = √3 = −
√2
√2
−
√3
Svar: tan v = −
1
√2
2211
⋮
Koordinaterna för punkten
x2 =
P = (x, y)
36 27
−
4
4
9
x2 =
4
3
x=±
2
då punkten är i första kvadranten
förkastas den negativa lösningen
3
x=
2
3 3√3
Svar: P = ( ,
)
2 2
2212
motstående katet
sin v =
hypotenusan
y
sin v =
r
Lös ut y
1 − sin2 v
= cos v
cos v
VL =
1 − sin2 v
=
cos v
Trigonometriska ettan
y = r ⋅ sin v
1 = sin2 v + cos 2 v
√3
Då sin v =
och r = 3 fås
2
=
sin2 v + cos2 v − sin2 v
=
cos v
=
cos2 v
= cos v = HL v. s. v.
cos v
√3
y=3⋅
2
3√3
y=
2
Det finns flera sätt att beräkna x ,
låt oss använda Pythagors sats
2
3√3
x +(
) = 32
2
27
x2 +
=9
4
27
x2 = 9 −
4
2
⋮
2213
1
1
+
=
1 + cos x 1 − cos x
Gör liknämnigt genom förlängning
2215
sin v
cos v
sin v = 0.2
tan v =
1 ⋅ (1 − cos x)
1 ⋅ (1 + cos x)
+
=
(1 + cos x) ⋅ (1 − cos x) (1 − cos x) ⋅ (1 + cos x)
Bestäm cos v
Använd konjugatregel i nämnare
1 − cos x
1 + cos x
+ 2
=
2
2
1 − cos 𝑥 1 − cos2 𝑥
Sätt på gemensamt bråkstreck
1 − cos x + 1 + cos x
=
1 − cos 2 𝑥
2
=
1 − cos2 𝑥
Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1 ger
1 = sin2 x + cos 2 x
2
=
2
sin x + cos 2 x − cos2 𝑥
2
sin2 x
96 = 4 ⋅ 4 ⋅ 6 = 16 ⋅ 6
2214
cos2 x
1
=
2
sin x sin2 x
1
HL =
=
sin2 x
Trigonometriska ettan
1+
Trigonometriska ettan
0.22 + cos2 v = 1
cos2 v = 1 − 0.04
cos2 v = 0.96
cos v = ±√0.96
96
cos v = ±√
100
16 ⋅ 6
cos v = ±√
100
cos v = ±
√16 ⋅ 6
√100
4√6
cos v = ±
10
4
⋅ √6
cos v = ± 2
10
2
2√6
cos v = ±
5
1 = sin2 x + cos 2 x
sin2 x + cos 2 x
=
sin2 x
sin2 x cos 2 x
+
=
sin2 x sin2 x
cos2 x
1+
= VL v. s. v.
sin2 x
⋮
⋮
2216
Dags att bestämma tan v
1 + tan2 x =
Fall 1
tan v =
0.2
2√6
5
=
0.2 ⋅ 5
2√6
⋅5
5
=
𝟏
𝟐√𝟔
≈ 𝟎. 𝟐𝟎𝟒
1
cos 2 x
1
=
cos2 x
Trigonometriska ettan
HL =
sin2 x + cos 2 x = 1
sin2 x + cos 2 x
=
cos2 x
sin2 x cos2 x
=
+
=
cos2 x cos2 x
= tan2 x + 1 =
=
= 1 + tan2 x = VL v. s. v.
2217
1
1
−
=1
2
sin x tan2 x
sin2 x
tan2 x =
cos 2 x
1
1
VL =
−
=
sin2 x sin2 x
cos 2 x
2
1
cos x 1 − cos2 x
−
=
=
sin2 x sin2 x
sin2 x
Trigonometriska ettan
Kommentar:
För små vinklar är tan v ≈ sin v
vilket kan förstås av att
cos v ≈ 1 för små vinklar
Fall 2
tan v =
Svar:
0.2
2√6
−
5
1
2√6
=−
eller −
0.2 ⋅ 5
2√6
⋅5
5
1
2√6
=−
𝟏
𝟐√𝟔
≈ −𝟎. 𝟐𝟎𝟒
sin2 x + cos 2 x = 1
1 − cos2 x = sin2 x
sin2 x
=
= 1 = HL v. s. v.
sin2 x
2218
2220
1
1
(
+ tan x) (
− tan x) = 1
cos x
cos x
1
1
VL = (
+ tan x) (
− tan x) =
cos x
cos x
Konjugatregel (a + b)(a − b) = a2 − b2
1
− tan2 x =
cos2 x
sin2 x
tan2 x =
cos 2 x
1
sin2 x
−
=
cos2 x cos2 x
1 − sin2 x
=
cos 2 x
Trigonometriska ettan
cos4 α − sin4 α = 1 − 2 sin2 α
sin2 x + cos 2 x = 1
1 − sin2 x = cos 2 x
cos2 x
= 1 = HL v. s. v.
cos2 x
2219
cos3 x ⋅ tan2 x + cos3 x = cos x
VL = cos3 x ⋅ tan2 x + cos3 x =
sin2 𝑥
cos2 𝑥
sin2 x
= cos3 x ⋅
+ cos 3 x =
cos2 x
= cos x ⋅ sin2 x + cos3 x =
tan2 𝑥 =
= cos x ⋅ (sin2 x + cos2 x) =
Trigonometriska ettan
sin2 x + cos 2 x = 1
= cos x ⋅ 1 = cos x = HL v. s. v.
VL = cos4 α − sin4 α =
(cos2 α)2 − (sin2 α)2 =
Konjugatregeln: a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(cos2 α + sin2 α)(cos 2 α − sin2 α)
Trigonometriska ettan
sin2 α + cos2 α = 1
1 ⋅ (cos 2 α − sin2 α) =
cos2 α − sin2 α =
Trigonometriska ettan
sin2 α + cos2 α = 1
cos2 α = 1 − sin2 α
1 − sin2 α − sin2 α =
1 − 2 sin2 α = HL v. s. v.
2222
2221
2
tan v = −√
3
1
2
sin v
tan v =
cos v
sin v 1
=
cos v 2
cos v = 2 sin v
tan v =
3π
< v < 2π ⇔ 270° < v < 360°
2
vinkeln ligger i fjärde kvadranten.
tan v =
sättes in i
Trigonometriska ettan
sin v
cos v
sin v
2
= −√
cos v
3
sin2 v + cos2 v = 1
sin2 v + (2 sin v)2 = 1
sin2 v + 4 sin2 v = 1
2
sin v = −√ ⋅ cos v
3
sättes in i
5 sin2 v = 1
1
sin2 v =
5
Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1
2
1
sin v = ±√
5
2
(−√ ⋅ cos v) + cos 2 v = 1
3
Då 0° < v < 90° är sin v > 0
och den negativa lösningen förkastas
2
⋅ cos 2 v + cos2 v = 1
3
2
3
⋅ cos 2 v + cos2 v = 1
3
3
5
⋅ cos 2 v = 1
3
3
cos2 v =
5
3
cos v = ±√
5
Då vinkeln ligger i fjärde kvadranten är
cos v > 0 och den negativa lösningen förkastas
Svar: sin v =
1
√5
3
cos v = √
5
Sättes in i Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1
2
3
sin2 v + (√ ) = 1
5
⋮
⋮
3
=1
5
3
sin2 v = 1 −
5
2
sin2 v =
5
sin2 v +
2
sin v = ±√
5
Då vinkeln ligger i fjärde kvadranten
är sin v < 0
och den positiva lösningen förkastas
2
sin v = −√
5
2223
cos x
sin x
1
+
=
2
cos x + sin x cos x − sin x cos x − sin2 x
cos x
sin x
+
=
cos x + sin x cos x − sin x
Gör liknämnigt genom förlängning
cos x ⋅ (cos x − sin x)
=
(cos x + sin x) ⋅ (cos x − sin x)
sin x ⋅ (cos x + sin x)
+
=
(cos x − sin x) ⋅ (cos x + sin x)
Använd konjugatregeln i nämnaren
VL =
cos2 x − sin x cos x + sin x cos x + sin2 x
=
cos 2 x − sin2 x
cos2 x + sin2 x
1
=
=
= HL v. s. v.
cos2 x − sin2 x cos2 x − sin2 x
=
2224
1
1
2
+
=
1 + sin v 1 − sin v cos2 v
1
1
VL =
+
=
1 + sin v 1 − sin v
Gör liknämnigt genom förlängning
1 ⋅ (1 − sin v)
1 ⋅ (1 + sin v)
+
=
(1 + sin v) ⋅ (1 − sin v) (1 − sin v) ⋅ (1 + sin v)
Använd konjugatregeln i nämnaren
1 − sin v + 1 + sin v
=
1 − sin2 v
Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v = 1
1 − sin2 v = cos 2 v
2
=
= HL v. s. v.
cos2 v
2
3
Svar: sin v = −√ och cos v = √
5
5