Endimensionell analys (FMAA05) Anders Källén Föreläsning 10 Innehåll: Trigonometriska funktioner Satser om trianglar Kapitel 8.4, T.3-T.4 1. Definition av de trigonometriska funktionerna 2. Samband mellan de trigonometriska funktionerna 3. Ekvationslösning 4. Satser om trianglar 5. Halva och dubbla vinkeln Efter dagens föreläsning måste du kunna - definiera de trigonometriska funktionerna med hjälp av enhetscirkeln. - de grundläggande trigonometriska sambanden (trigonometriska ettan och hur man får sinus ur cosinus) - formulera och bevisa areasatsen, sinusssatsen och cosinussatsen för trianglar - formulera och härleda de trigonometriska formlerna för dubbla och halva vinklen Definition av de trigonometriska funktionerna c a β γ α b bc sin α 2 Bevis: beräkna höjden med hjälp av sinusfunktionen sin α sin β sin γ Sinussatsen: = = a b c Bevis: areasatsen! (alt: dra höjder) Cosinussatsen: a2 = b2 + c2 − 2bc cos α Bevis: Pythagoras sats 2 gånger + lite algebra Areasatsen: Arean = Halva och dubbla vinkeln Betrakta nedanstående triangel. x 1 x 1 tan x sin x x cos x 2 sin x Areasatsen medför att Anmärkning Tangens är inte definierad för ±π/2 och är π-periodisk istället för 2π-periodisk som sinus och cosinus är. Anmärkning Om en linje lutar α (radianer) relativt x-axlen, så är dess riktningskoefficient tan α. 1 1 sin 2x = 2 sin x cos x 2 2 ⇔ sin 2x = 2 sin x cos x och cosinussatsen att (2 sin x )2 = 1 + 1 − 2 cos 2x ⇔ sin2 x = 1 − cos 2x . 2 Anmärkning Röd triangel ≤ cirkelsektor ≤ Rätvinklig triangel (areor) ⇒ 1 x 1 sin x sin x ≤ ≤ tan x ⇔ cos x ≤ ≤ 1. 2 2 2 x Den första ger första likheten i Relevant då | x | är litet. Medför att andra och tredje följer ur trigonometriska ettan. Tillsammans med cos 2x = 1 − 2 sin2 x = cos2 x − sin2 = 2 cos2 x − 1; sin 2x = 2 cos x sin x sin x → 0 då x → 0. x Samband mellan de trigonometriska funktionerna Självklara samband direkt ur definitionen ovan (VV-fall för triangel) 1. cos2 x + sin2 x = 1, sin x 2. tan x = , cos x 1 3. 1 + tan2 x = , cos2 x 4. cos( π2 − x ) = sin x och sin( π2 − x ) = cos x 5. cos( π2 + x ) = − sin x men sin( π2 + x ) = cos x 6. sinus är en udda och cosinus en jämn funktion Ekvationslösning A och O här är att rita figur! Lös sin x = 1 , 2 cos x = 1 , 2 tan x = 1, Exempel Att mäta höjden på ett berg... cos 2x = sin 5x. ger detta formlerna för dubblan vinkeln. Vi får också formlerna för halva vinkeln: sin2 x = 1 − cos x , 2 cos2 x = 1 − sin2 x = 1 + cos 2x . 2 Exempel Lös ekvationen cos 2x = 1 + sin x. Att fundera på till nästa gång 1. Ett högt berg står vid stranden vid Atlanten. Du mäter dess höjd (över havet) på toppen till h m. Hur kan du nu genom att bestämma en vinkel bestämma jordens omkrets? Vilken är vinkeln och vilken formel får man för jordradien? 2. Beräkna sin π8 . 3. Varför är arcsin x + arccos x = π2 ? Vad gäller för arctan x + arccot x?